历年高考数学真题汇编专题01 函数的图像与性质(解析版) 下载本文

知识点拨:综合考查函数的性质,单调性、周期性和奇偶性,对于这类问题要善于挖掘隐含的条件,如给出函数周期性可以运用周期性做出函数的图像,也可以得出某些数对应的函数值相等,或者运用周期性把不在给定的范围转化为给定的范围,进而求解。

?x?a,?1≤x?0,?例3、(2016江苏高考题)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[?1,1)上,f(x)??2

?x,0≤x?1,?5?59其中a?R,若f(?)?f() ,则f(5a)的值是 .

22【答案】?2 551911123【解析】 f(?)?f(?)?f()?f(),则??a??,得a?,

22222255因此f(5a)?f(3)?f(1)?f(?1)??1?考点三 判断函数零点个数问题

32??. 55运用函数的图像判断零点的个数是近几年江苏高考的热点也是难点,2018、2019年江苏高考的填空题的压轴题均考查了。运用函数的图像研究函数的零点问题的关键要正确做出函数的图像,观察图像交点的个数。由于答案依赖于图像因此,要正确规范的做出图像,该标的关键的点、线要标出,另外有时为了更好地作图也要多对函数进行调整,变成常见的函数。

例4、(2019苏州三市、苏北四市二调)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在区间[2,4)上

?2?x,2?x?3则函数y?f(x)?logx的零点的个数为 f(x)??5?x?4,3?x?4【答案】5

【解析】因为f(x+4)=f(x),可得f(x)是周期为4的奇函数,先画出函数f(x)在区间[2,4)上的图像,根据奇函数和周期为4,可以画出f(x)在R上的图像,由y=f(x)-log5| x|=0,得f(x)=log5| x|,分别画出y=f(x)和y=log5|x|的图像,如下图,由f(5)=f(1)=1,而log55=1,f(-3)=f(1)=1,log5|-3|<1,而f(-7)=f(1)=1,而log5|-7|=log57>1,可以得到两个图像有5个交点,所以零点的个数为5.

解后反思 本题考查了函数的零点问题,以及函数的奇偶性和周期性,考查了转化与化归、数形结合的思想,

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函数的零数问题,常转化为函数的图像的交点个数来处理,其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像,找到临界点是解题的关键也是难点. 考点四 通过函数的图像判断参数的零点问题

通过图像研究函数中的参数范围问题,是体现数形结合思想的主要体现,也是运用数形结合解决含参问题的主要方法,因此对于这类问题要把参数独立出来,然后运用函数的图像解决。为了方便起见,转化后的两个函数,其中一个是不含参数的函数,另一个是含有参数的函数,即转化为“一静一动”两个函数,这样,通过研究“动”函数的图像与“静”函数的图像的相对位置关系就可以得到问题。

x-1,1≤x<2,??

例5、(2019宿迁期末)已知函数f(x)=??1? 如果函数g(x)=f(x)-k(x-3)恰有2个不同

??2f?2x?,x≥2,的零点,那么实数k的取值范围是________.

168?

【答案】 (-1,0)∪??29,13?

【解析】 思路分析 函数g(x)=f(x)-k(x-3)恰有2个不同的零点,表示函数y=f(x),y=k(x

-3)的图像有2个交点,所以关键是画出函数y=f(x)的图像,将函数y=f(x)在区间[1,2)上的图像每一点的横坐标和纵坐标都伸长2倍,就得到了y=f(x)在区间[2,4)上的图像,将函数y=f(x)在区间[2,4)上的图像每一点的横坐标和纵坐标都伸长2倍,就得到了y=f(x)在区间[4,8)上的图像,依次类推,然后考察两函数图像有两个交点时直线的斜率.

函数g(x)=f(x)-k(x-3)恰有2个不同的零点,表示函数y=f(x),y=k(x-3)的图像有2个交点.画出y=f(x)和y=k(x-3)的图像,可以看出.当k>0时,当且仅当点(16,8)在直线y=k(x-3)的上方且点(32,168

16)在直线y=k(x-3)的下方(或在其上)时,两图像有两个公共点,可求出≤k<;当k<0时,当且仅当

2913点(2,1)在直线y=k(x-3)的上方时,两图像有两个公共点,可求出-1

是(-1,0)∪??29,13?.

解后反思 这个函数题型是2015年,2016年的热点,又出现在今年的复习迎考中,难点在于y=f(x)第二段图像的寻找和画出,其实是图像的平移与变换的应用,注意观察其特征,即可轻易得出后一段图像均为前一段图像的模.纵坐标伸长到原来2倍所得.本题为填空题,也可直接用具体的数去算,发现规律,

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然后再画出示意图,最后是利用数形结合寻找到符合题意的临界位置,最后进行求解最终的答案.

第1讲 函数的图像与基本性质

专题测试卷

一、填空题

1、(2019泰州期末) 函数y=1-x2的定义域是________. 【答案】 [-1,1]

【解析】要使函数式有意义,则有1-x2≥0,即x2-1≤0,解得-1≤x≤1,所以函数的定义域为[-1,1].

?2x, x≤0

2、(2019南京三模)若函数f(x)=?,则f(log23)= .

?f(x-2),x>0

3

【答案】 4

【解析】因为1<log23<2,所以f(log23)=f(log23-2)=2

??log2(3-x),

3、(2019苏锡常镇调研(一))已知函数f(x)=?

?2x-1,?

log23?22log233?2?.

24x≤0,

1若f(a-1)=,则实数a=________.

2x>0,

【答案】 log23

1

【解析】当a-1≤0,即a≤1时,f(a-1)=log2(4-a)=,解得a=4-2(舍);当a-1>0,即a>1时,f(a

21-

-1)=2a1-1=,解得a=log23.

2

4、(2019南通、泰州、扬州一调)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(x).当0

【解析】因为f(x+2)=f(x),则f(-1)=f(1),又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1),则有f(1)=-f(1),即f(1)=0,所以1-a+1=0,则a=2,故答案为2.

5、(2019南京、盐城一模)已知y=f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ex+1,则f(-ln2)的值为________.

6、(2018苏州期末) 已知4a=2,logax=2a,则正实数x的值为________.

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1

【答案】

2

1?1111?【解析】由4=2,得2=2,所以2a=1,即a=.由logx=1,得x=?2?=.

222

a

2a

1

a

7、(2018苏州暑假测试)已知函数f(x)=x+(a>0),当x∈[1,3]时,函数f(x)的值域为A,若A?[8,16],

x则a的值是________. 【答案】15

思路分析 题设“当x∈[1,【解析】3]时,函数f(x)的值域为A,若A?[8,16]”等价于“对于任意的x∈[1,a

3],不等式8≤x+≤16恒成立.

x

a

解法1(分离变量法) 由题意,对于任意的x∈[1,3],不等式8≤x+≤16恒成立,也就是说,不等式

xx(8-x)≤a≤x(16-x)恒成立,故[x(8-x)]max≤a≤[x(16-x)]min,即15≤a≤15,所以a=15.

8≤f(1)=1+a≤16,????7≤a≤15,

?解法2(特值法) 由题意,当x=1,3时,?即所以a=15. a

?15≤a≤39,8≤f(3)=3+≤16,??3?

3222525358、(2019镇江期末)设a?(),b?(),c?(),则a,b,c的大小关系是 【答

555案】.a?c?b

2【解析】先比较a与c,构造函数f(x)=x,Q0<,\\f(x)=x5为增函数,

532Q>,\\a>c,再比较b与c,由解法一可得c>b,综上a?c?b, 551

9、(2019镇江期末)已知函数f(x)=x-2x,则满足f(x2-5x)+f(6)>0的实数x的取值范围是________.

2【答案】 (2,3)

【解析】思路分析 用函数的单调性和奇偶性解答.

111-

函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x-2x=-x+2x=-f(x),故f(x)在R上是奇函数.又x与-2x在R上

222都是单调递减的,从而f(x)在R上单调递减,从而由题意可得f(x2-5x)>-f(6)=f(-6),故x2-5x<-6,解得2

x-1,1≤x<2,??

10、(2019宿迁期末)已知函数f(x)=??1? 如果函数g(x)=f(x)-k(x-3)恰有2个不同的

x2f,x≥2,???2?零点,那么实数k的取值范围是________. 168?

【答案】 (-1,0)∪??29,13?

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