DP+PG>MG;当M,P,G三点在同一条直线上时,PM+PG=MG,即DP+PG=MG,因此,当PD+PG取最小值时,M,P,G三点在同一条直
线上,此时DP+PG=MG.进一步得到:当MG取得最小值时,DP+PG随之取得最小值.下面分析MG何时取得最小值.注意到问题与点G有关,点G是△BCG的直角顶点,△BCG的斜边为定值,因此,其斜边的一半也为定值,因此取BC中点N,连结GN,则GN的长为2.连结MN,结合定点M,可知MN也为定值.再分析点G,无论点E怎样变化,点G始终在以N为圆心,NG长为半径的圆上.根据三角形两边之差小于第三边,可知,当点M,G,N不在同一直线上时,MG>MN-GN,进一步可知,当点G在线段MN上时,MG=MN-GN,此时MG最小,最小值为MN-GN.如图②,易知MN的长,进一步可得结果.
如图②,作点D关于AB轴对称的点M,取BC中点N,连结MN,交AB于点P, 以BC为直径画圆,交MN于点G,则DP=MP, ∴DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.
作NQ⊥AD于Q,则MN==2,∴MN-GN=2-2,∴PD+PG的最小值为2-2.
10.解:(1)∵抛物线y=x+bx+c经过点A(0,3),C(-3,0),∴
2
解得
∴抛物线的解析式为y=x+x+3.
(2)根据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要求|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形两边之差小于第
2
三边,得当点B,C,M在同一条直线上时,|MB-MD|的值最大.由一次函数和二次函数的图象交于A,B两点,得x+x+3=x+3,解得x=-4或x=0.当x=-4时,y=1,即点B(-4,1).
2
∵点C(-3,0),∴BC==,
∴|MB-MD|的最大值为.
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11.解:(1)如图:
(2)①证明:如图,延长DE,AB相交于点F.∵∠ABC=∠C=90°, ∴∠ABC+∠C=180°. ∴AB∥CD.∴∠CDE=∠F. ∵DE平分∠ADC, ∴∠ADE=∠CDE. ∴∠ADE=∠F. ∴AD=AF=AB+BF. 又AD=AB+CD,
∴AB+BF=AB+CD.∴BF=CD.
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在△CED和△BEF中,∴△CED≌△BEF.∴DE=EF. 又AD=AF,∴AE⊥DE.
②如图,作DH垂直AB于点H,作点N关于AE的对称点N',连结MN',则MN=MN'.∴BM+MN=BM+MN'.由①可得AE平分∠DAB,∴点N'在AD上.∴当点B,M,N'共线且BN'⊥AD时,BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值.在Rt△ADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH=∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN',
==4.
∴△DAH∽△BAN',∴=,∴=.
∴BN'=.∴BM+MN的最小值为.
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