目 录
第一讲 分数基本计算 ................................................................................. 2 第二讲 比例初步 ......................................................................................... 2 第三讲 循环小数 ......................................................................................... 2 第四讲 共边模型 ......................................................................................... 2 第五讲 共角模型 ......................................................................................... 2 第六讲 牛吃草问题（一） ............................................................................ 2 第七讲 牛吃草问题（二） ............................................................................ 2 第八讲 数的整除的综合运用（一） ............................................................... 2 第九讲 数的整除的综合运用（二） ............................................................... 2 第十讲 数学思想与方法 ............................................................................... 2 第十一讲 数学思想与方法 ............................................................................ 2 第十二讲 多次相遇与追及（一） .................................................................. 2 第十三讲 多次相遇与追及（二） .................................................................. 2 第十四讲 复杂抽屉原理 ............................................................................... 2 第十五讲 质数与合数 ................................................................................... 2 第十六讲 蝴蝶模型 ...................................................................................... 2 第十七讲 数学思想与方法 ............................................................................ 2 第十八讲 本期重、难点归纳总结 .................................................................. 2
1
第一讲 分数基本计算
一、分数的定义：把整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。 二、分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。
三、约分及技巧：
四、分数四则运算：
2
★★ 计算下列各
24式： ?＝ ； 515315?＝ ； 7112815?＝ ； 7549833?3?＝ 。 2147
★★ 计算下列各式：
2747?＝ ； 11111174?＝ ； 1521231?＝ 。 58
3
★★★ 计算下列各式： 99123?＝＝________；
1242010?20102010＝＝________。 2011
★★★ 计1023 31?(算：?1.5)?1?1.9＝________。 19725
4
★★★★ 计算：
1?2?4?2?4?8?3?6?12??10?20?401?3?6?2?6?12?3?9?18??10?30?60
116，，5312，715，，111221，1324，_____。
5
6
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 例1 (★★)计算下列各式：15856?4960? ( )；
413?17?( )。
A．71732，26
B．
635，1526
C．
4137，77
D．
41135，35
例2 ★★★计算下列各式：393577?11?( )；36?45?( )
A．96147964777，
185
B．
77，60
C．
8677，
147180
D．
9677，4960
例3 (★★)计算：2009?200920092010?12011?___。 A．0 B．1
C．2 D．3
例4 14?(4.85?518?3.6+6.15?335)=( )
A．1 B．5 C．9 D．10
例5 (★★★)
计算下列各式1?2?3?....?91?2?3?....?10023410?( )
2?4?6?....?200?( )；
A．
1,1B．511102 3,12
C．,D．532
6,12
7
第二讲 比例初步
8
9
★
⑴把144∶63化成最简单的整数比是_____，读作_____。
10
⑵把
3∶0.75化成最简单的整数比是______，读作______，比值是______。 10111⑶把比化成最简比：24∶36∶40 ∶∶
345
★★
下面4个数，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例：3.5，5，7，10
★★★ 解下列的方程 2x⑴4:?
325 ⑵
⑶(3x?2):(2x?3)?4:7
★★★★
11已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等
235于甲、乙两数和的，求甲∶乙∶丙。
71?x3? 7?x5
11
★★★★★(2008年第13届华杯赛初赛)
将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友。原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5∶4∶3。实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7∶6∶5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果。那么这位小朋友是____(填“甲”、“乙”或“丙”)，他
实际所得的糖果数为____块。
12
★★★★★
甲乙丙三车分别从A地出发，开往B地，已知甲车的速度是5米/秒，乙车的速度是4
米/秒，丙车的速度是6米/秒，已知三人到达B地共用18.5分，则A、B间的距离是多少？
在原始丛林中，一只大猩猩冲你直冲过来。你身边的四种武器：长枪，手枪，大刀和两把匕首，哪种能帮你最快地脱离困境，秒杀大猩猩呢？
13
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 例1 测：
(★)化简下面的比，结果分别为( )
7487 3.6∶2.1； ∶；11178
A．2∶3；12∶7；64∶49 C．2∶3；12∶7；1∶1 例2测：
已知一个比例的两个外项分别是3和( )。
11A．6:3?:84
11B．3:6?:84
B．74∶111；12∶7；1∶1 D．2∶3；3∶1；1∶1
11，组成比例的两个比的比值是，这个比例是4211C．3:6?:48
11D．6:3?:
48例3 测：
(★★)解方程，正确答选项是( )
2x∶3＝ ∶5；
32A．1；
5B．
5； 23C．；
5D．
2； 5例4测：
判断下题成什么比例关系。
平均每小时制作零件的个数一定，工作时间与所能完成零件的总个数成( )比例关系。 A．正比例 例5测：
B．反比例
C．不成比例
D．不确定
14
24已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等
975于甲、乙两数和的，求甲∶乙∶丙。
6A．1∶4∶6 例6测：
B．2∶3∶6 C．2∶4∶5 D．3∶4∶4
将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为3:2:1．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为4:3:2，其中有一位小朋友比原计划多得了10块糖果。那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块。 A．甲、40
例7测：
小明从甲地到乙地，去时每时走2千米，回来时每时走3千米，来回共用了2小时。小明去时用了多长时间？
B．乙、40 C．丙、40 D．丙、60
A．1.2 B．1.5 C．1.3 D．0.8
15
第三讲 循环小数
16
★★
a约等于0.46，这样说对吗？不对请纠错。 7
★★
将下列循环小数化为分数： ⑴0.7 ⑷0.407 ⑺0.51 ⑽0.4189
★★★
⑴计算：0.01＋0.12＋0.23＋0.34＋0.78＋0.89
⑵将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？
★★★★
⑵0.81 ⑸4.3861 ⑻0.409 (11) 0.7612
⑶1.216 ⑹0.86 ⑼0.2954 (12) 0.7857142
17
a真分数化为小数后，如果从小数点后第一位开始连续若干个数字之和为1992，那么
7是多少？
18
a
在线测试题
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例1测：
如果A?3?33?333??3332013个3，那么A的各位数字之和等于 。
A．6705 例2测：
B．6732 C．6725 D．6700
把循环小数化成分数 0.215 A．171330
???B．
7133
??C．
71330
D．
31 33例3测：计算 0.1?0.125?0.3?0.16 A．
5371
B．15372
C．
3372
D．
53 72例4、5测： 真分数
a化为小数后，如果从小数点后第一位开始连续若干个数字之和为1991，那么7a?_____。下面选项中正确的是( )
19
A．2
例6测：
B．5 C．1 D．3
给小数0.782169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。
A．0.782169453 B．0.782169453 C．0.782169453
D．0.782169453
20
第四讲 共边模型
⑴直线AB平行于CD，可出现三对面积相等的三角形，如图⑴ ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
21
(★★)
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
(★★★)
图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，H是任意点。如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______。
22
(★★★★ )
(2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是 。
23
(★★★)
影部分的面积是 平方厘米。
⑴如图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴
⑵(第三届“华杯赛”初赛试题)一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2。问：长方形的面积是多少平方厘米？
(★★★★)
如图，正方形ABCD的边长为6，AE＝1.5，CF＝2。长方形EFGH的面积为 。
(★★★★★)
如图，已知BD＝DC，EC＝2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积。
24
25
请用一条直线把它分成两个三角形，不允许有剩余呦！
在线测试题
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1．如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别为10厘米和12厘米。求阴影部分的面积。 A．45cm2 C．60cm2
B．50cm2 D．48cm2
2．下图是一个长为8cm，宽为6cm的长方形，其中E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD边上边上的中点，求阴影部分的面积？
26
A．12cm2 C．14cm2
B．10cm2 D．20cm2
3．长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB?8cm，AD?15cm，四边形
EFGO的面积为多少？
A．12cm2 C．15cm2
B．10cm2 D．18cm2
4．下图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为多少平方厘米。
A．30cm2 C．25cm2
B．35cm2 D．20cm2
5．如图，ABCD是梯形，ABFD是平行四边形，CDEF是正方形，AGHF是长方形。又知AD＝14厘米，BC＝22厘米，那么，阴影部分的总面积是多少平方厘米？ A．45cm2 C．60cm2
B．50cm2 D．56cm2
27
6．如图，AD＝DE＝EC，F是BC中点，G是FC中点，如果三角形ABC的面积是24平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米。 A．14cm2 C．12cm2
B．13cm2 D．11cm2
28
第五讲 共角模型
★★(2008年四中考题)
如右图，AD＝DB，AE＝EF＝FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是 _______平方厘米。
★★★
⑴如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD∶AB=2∶5，AE∶AC=4∶7，△ADE的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。
29
⑵如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB∶AD＝5∶2，AE∶EC＝3∶2，△ADE的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。
★★★
已知△DEF的面积为7 平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面积。
★★★★
一只小鸟ABC，后来长成大鸟XYZ了。
AB先长出一倍到X；BC再长出两倍到Y；CA再长出三倍到Z； 问大鸟是小鸟面积的几倍?
★★★★★(2009年清华附中入学试题)
30
长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大？
★★★★★
如右图，过平行四边形ABCD内的一点作边的平行线EF、GH，若△PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？
在线测试题
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1．如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的( )倍？
31
AE甲乙BA．5
B．6
DC．1
C
D．2
2．如图，三角形ABC中，AB是AD的4倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于12，那么三角形ABC的面积是多少？
ADBA．120
1113．设AD?AB,BE?BC,FC?AC,如果三角形DEF的面积为19平方厘米，那么三
345角形ABC的面积是多少平方厘米？
CFEC
C．96
D．156
B．144
EADB
D．46.5
A．46.7
B．45.3 C．45.6
4．如下图，将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB的边延长2倍到E，AC边延长
1倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是多少？
DAEBCF
D．11
A．10 B．8 C．9
32
5．如图，已知长方形ABCD的面积是96，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是
CD边上靠近C点的四等分点，G、H分别是AB，BC边上的中点，图中阴影部分的面积是( )
AGBA．48
B．50
EDFC
HC．36
D．56
6．如图，在平行四边形ABCD中，BE＝EC，CF＝2FD。求阴影面积和空白面积的比？
ADHFGBEC
C．1∶3
D．2∶1
A．1∶1 B．1∶2
33
第六讲 牛吃草问题（一）
1．这么大的草原，如果要10天吃完的话，要有多少奶牛一起吃呢？
2．还是这么大的草原。如果有100头奶牛，要多少天能将草原吃光呢？
34
35
(★★)
有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃 25天，或可供24头牛吃10天。那么它可供几头牛吃20天？可供29头牛吃几天？
(★★)
牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。那么这片牧场可供几头牛吃25天？
(★★★)
由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？
36
(★★★★)
(2008年希望杯六年级二试试题)
有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊1天的吃草量相当于1头牛1天的吃草量)。那么，17头牛和2只羊多少天可将草吃完？
37
(★★★★★)
有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天？
(★★★★★)
如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长。牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)。之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光。
12然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，结果
33发现它们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃
完这些草需要多少时间？
38
一头牛带着青蛙去超市买水果，他们买的啥？
39
在线测试题
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1．牧场上长满牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草每天可供54头牛吃12天，或者可供44头牛吃16天，那么这片牧草可供38头牛吃多少天？ A．24
2．牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它
可供多少头牛吃18周？ A．19
3．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供40头牛吃5天，或可供30头牛吃6天.照此计算，可以供多少头牛吃10天? A．5
4．牧场有一片青草，每天生长速度相同。已知这片青草可供18只羊吃20天，或可供
100只兔子吃12天。如果一只羊的吃草量等于4只兔子的吃草量，那么10只羊和70只兔子一块吃这片青草，可以吃几天？ A．10
5．牧场有三块草地，面积分别是4、8、12公亩，草地上的草一样密，生长一样快。第一块地可供10只小鹿吃15天，第二块地可供14只小鹿吃25天，第三块地可供15只小鹿吃多少天？ A．45
6．120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？
B．40
C．43
D．50
B．11
C．12
D．10.5
B．10
C．15
D．18
B．25
C．15
D．30
B．20
C．25
D．21
40
A．340 B．320 C．360 D．380
41
第七讲 牛吃草问题（二）
★★★
一个水池有一根进水管不间断地进水，还有若干根相同的抽水管。若用24根抽水管抽
水，6小时即可把池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小时可把池中的水抽干。若用16根抽水管，需要_______小时可把水池中的水抽干。
★★★
一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？
42
★★★ (10年希望杯六年级初赛第8题)
某超市平均每小时有60人排队付款，每一个收银台每小时能应付80人。某天某时间段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始4小时就没有顾客排队了。如果当时有两个收银台工作，那么付款开始_____小时就没有人排队了。
★★★
画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
★★★★
快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车的小偷，这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟，追上小偷，现在知道快车的速度是每小时24千米，中车的速度是每小时20千米，问慢车的速度是多少？
★★★★★
43
有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完。现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完。问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？
崔气球家里养着一群牛，有一天牛栏坏了，小牛们跑了出来，该怎么办？(打一歌手名字)
44
在线测试题
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1．水池装有一个排水管和若干个每小时注水量相同的注水管，注水管注水时，排水管
同时排水。若用8个注水管注水，16小时可注满水池；若用5个注水管注水，36小时可注满水池。现在用3个注水管注水，那么需要多少小时可注满水池？ A．216
2．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀
及一个排水阀，则50分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则20分钟把水池的水排完。问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？ A．
100 3B．180 C．172 D．160
B．
100 9C．12 D．10
3．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等
候检票的队伍消失，同时开3个检票口需50分钟，同时开5个检票口需25分钟。如果同时打开11个检票口，那么需多少分钟？
A．8
B．9 C．10 D．12
4．画展8∶30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观
众一样多，如果开3个入场口，9点10分就不再有人排队；如果开5个入场口，8点50分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。 A．7∶40
5．甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60
千米和50千米，甲、乙、丙三辆车分别在它们出发后的3小时，4小时，6小时先后追上一骑车人，则丙车的速度为( ) A．55千米/小时
B．40千米/小时
C．35千米/小时
D．20千米/小时
B．7∶35
C．7∶20
D．7∶10
45
6．一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？ A．5
B．4
C．8
D．6
46
第八讲 数的整除的综合运用
★★
在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。 ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；
47
⑵一共有多少种满足条件的填法？
48
★★ (第2届华杯赛初赛第14题)
用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
★★★
在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有____个。
★★★★
下图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘
以它上面方格中的数。比如a＝5×10＝50，b＝50×12＝600。那么c方格内所填的自然数的末尾有____个连续的0。
(2008年数学解题能力展示初赛试题)★★★★★
已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？
49
50