6．2.3 平面向量的坐标及其运算

考点 向量的正交分解 学习目标 了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示 理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则 掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系 能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法 核心素养 数学抽象 平面向量的坐标 数学抽象、数学运算 两种坐标的区别 数学抽象 向量共线 逻辑推理、数学建模

问题导学

预习教材P160－P166的内容，思考以下问题： 1．两个向量垂直如何定义？ 2．一个向量如何正交分解？ 3．向量的坐标定义是什么？

4．如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？ 5．如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？

1．平面向量的坐标

平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．

如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的→

两个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量OA对→

应的坐标也为(x，y)，即OA＝(x，y)；反之结论也成立．

2．平面上向量的运算与坐标的关系

设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＝b?x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．

设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)． 如果向量a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2． ■名师点拨

(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．

(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 3．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式

→

设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB＝(x2－x1，y2－y1)； →

AB＝|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．

?

设线段AB中点为M(x，y)，则?

y＋y?y＝2Ｗ.

12x1＋x2x＝，24．向量平行的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x2y1＝x1y2． ■名师点拨

两向量的对应坐标成比例，这种形式较易记忆，而且不易出现搭配错误．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

→

(1)若O为坐标原点，OA＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．( ) (2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．( ) (3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．( ) x1y1

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0，则＝.( )

x2y2答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×

1→→→

已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是( )

21

－4，? A.?2??

C．(－8，1)

1

4，－? B.?2??D．(8，1)

→→→

解析：选A.AB＝OB－OA＝(－5，－1)－(3，－2) ＝(－8，1)， 11→?

AB＝?－4，2??. 2

下列各对向量中，共线的是( ) A．a＝(2，3)，b＝(3，－2) C．a＝(2，－1)，b＝(1，2)

B．a＝(2，3)，b＝(4，－6) D．a＝(1，2)，b＝(2，2)

解析：选D.A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝2a，两个向量共线． 已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________． 6y

解析：因为a∥b，所以＝，解得y＝－4.

－32答案：－4

平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB

→→

＝105°，OA＝a，AB＝b，四边形OABC为平行四边形．

(1)求向量a，b的坐标； →

(2)求向量BA的坐标； (3)求点B的坐标．

【解】 (1)作AM⊥x轴于点M，

则OM＝OA·cos 45°＝4×AM＝OA·sin 45°＝4×

2

＝22， 2

2

＝22， 2

所以A(22，22)，故a＝(22，22)． 因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，

所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3， 333?

所以C?－，，

?22?333?→→

所以AB＝OC＝?－，，

?22?333?

即b＝?－，.

?22?333?→→

(2)BA＝－AB＝?，－.

2??2→→→

(3)因为OB＝OA＋AB 333?

＝(22，22)＋?－，

?22?333?

＝?22－，22＋.

22??

333

所以点B的坐标为(22－，22＋)．

22

平面内求点、向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．

(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点的坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．

→

已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°.

→

(1)求向量OA的坐标；

→

(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．

解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos 60°＝23， →

y＝43sin 60°＝6，即A(23，6)，所以OA＝(23，6)． →

(2)BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．

平面向量的坐标运算

(1)已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝________，b＝________．