数学精品复习资料

中考数学专题训练：解直角三角形的应用

1. （2012山西省）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：

）

∵PC=30m，∠CPE=45°，∴sin45??∴CE=PC?sin45°=30×CE。 PC2。 =152（m）

2∵点C与点A在同一水平线上，∴AB=CE=152≈21.2（m）。 答：居民楼AB的高度约为21.2m。 （2）在Rt△ABP中，∵∠APB=60°，∴tan60??AB152AB==56（m）。 ∴BP?。 tan60?BP3∵PE=CE=152m， ∴AC=BE=152+56≈33.4（m）。 答：C、A之间的距离约为33.4m。

【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，

∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°。 ∴四边形ABFE为矩形。∴AB=EF，AE=BF。 由题意可知：AE=BF=100，CD=500。 在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100， ∴CE?3. （2012湖南）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，

≈1.732）．

100100==3。

3tan6003AE

100在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100，∴DF?==100。 01tan45100100∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）。 3≈600﹣33答：岛屿两端A．B的距离为542.3米。

2. （2012江苏）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°， 然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30 m，点C与点A恰好在同一水平线上， 点A、B、P、C在同一平面内．

（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离．

BF【答案】解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米。

设AG=x米，GF=y米，

在Rt△AFG中，tan∠AFG=tan60°=

AGx?=3， FGyAGx3?=， BGy+83在Rt△ADG中，tan∠ADG=tan30°=

二者联立，解得x=43，y=4。

∴AG=43米，FG=4米。∴AB=AG＋GB=43＋1.5≈8.4（米）。

（精确到0.1m，参考数据：2?1.41,3?1.73,6?2.45）

【答案】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，在Rt△CPE中，

∴这棵树AB的高度为8.4米。

4.（2012四川）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所

学科王

0

示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60，背水坡面CD的长为163米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米。

（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？

（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度。

【答案】解：（1）如图，分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G。在Rt△ABF中，

AB=16米，∠B=60°，sin?B?AFAB， ∴AF?16?32?8 3，即DG=8 3。

又∵CE=8，∴S11?DCE?2?CE?DG?2?8?8 3?32 3。

又∵需加固的大坝长为150，∴需要填方：150?323=48003。 答：需要填土石方150?323=48003立方米。

（2）在Rt△DGC中，DC=163，DG=8 3，∴GC?DC2?DG2?24。

∴GE=GC+CE=32。∴DE的坡度i?DG833GE?32=4。 答：加固后的大坝背水坡面DE的坡度为34。

5. （2012山东）某市规划局计划在一坡角为16o的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意 图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28o，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O 的圆心，AB＝12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考 数据：cos28o≈0.9，sin62o≈0.9，sin44o≈0.7，cos46o≈0.7)．

【答案】解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。

在Rt△AOB中，cos?OAB?AB12OA，即cos280?OA，

∴OA?1212cos280?0.9?13.333。 ∵∠BAE=160

，∴∠OAE=280

＋160

=440

。 在Rt△AOE中，sin?OAE?OEOA，即sin440?OE13.333， ∴OE?13.333?sin440?13.333?0.7?9.333 9.333＋1.5=10.833≈10.83（m）。

答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m。

6. （2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22o时， 教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45o时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．

(1)求教学楼AB的高度；

(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．

(参考数据：sin22o≈3，cos22o≈

152816，tan22o≈5)

【答案】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M。设AB为x．

在Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x。∴BC=BF＋FC=x＋13。

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2， 又∵tan220?AMx?2ME，∴x?13?25，解得：x≈12。 ∴教学楼的高12m。

（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25。

在Rt△AME中，cos220?MEAE， ∴AE=ME cos22°≈25?1516?27。

∴A、E之间的距离约为27m。

7. （2012江西省9分）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB．CD相交于点O，B．D两点立于地面，经测量：

AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．

（1）求证：AC∥BD；

（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；

（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；）

【答案】（1）证明：∵AB．CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=12（180°﹣∠BOD）。 同理可证：∠OBD=∠ODB=12（180°﹣∠BOD）。

∴∠OAC=∠OBD。∴AC∥BD。

（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；

作OM⊥EF于点M，则EM=16cm ∴cos∠OEF=

EM16OE?34≈0.471。 用科学记算器求得∠OEF=61.9°。

（3）小红的连衣裙会拖落到地面。理由如下：

在Rt△OEM中， OM?OE2?EM2?342?162?30（cm）。 过点A作AH⊥BD于点H，同（1）可证：EF∥BD， ∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH ∴

OEOMOM?ABAB?AH，AH?30?136OE?34?120（cm）

。 ∴小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH（120cm）。

8. （2012山东潍坊10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数

学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=300

，∠CBD=600

．

(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：3?1.73， 2?1.41)； (2)已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．

【答案】解：（1）由題意得，

在Rt△ADC中，AD?CD21tan300?3 21?3 ，

3在Rt△BDC中，BD?CDtan600?213?73， ∴AB=AD－BD= 213 ?73=143?14?1.73=24.22?24.2（米）。 （2）∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），

∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时。

∵43.56千米/小时大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速。

9. （2012内蒙古包头8分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽AD = 5 米，斜坡AB 的坡度

i =1：3 （指坡面的铅直高度AE 与水平宽度BE 的比），斜坡DC 的坡度i=1：1 . 5 ，已知该拦水坝的高

为6 米。

（1）求斜坡AB 的长； （2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长。 （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【答案】解：（1）∵

AEBE=13，AE=6，∴BE=3AD=18。 在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AB?AE2?BE2?610。 答：斜坡AB 的长为610米。 （2）过点D作DF⊥BC于点F， ∴四边形AEFD是矩形。 ∴EF=AD。

∵AD=5，∴EF=5。 又∵

DFCF=23， DF=AE=6，∴CF=32DF=9。 ∴BC=BE＋EF＋CF=18＋5＋9=32。

在Rt△DCF中，根据勾股定理得，DC?DF2?CF2?313。

∴梯形ABCD 的周长为AB＋BC＋CD＋DA=610+32+313+5?37+610+313。 答：拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为37+610+313米。

10、(2013年河北三摸)如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm.。

（1）风车在转动过程中，点为A到桌面的最远距离为_____cm，最近距离为_____cm； （2）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保留根号)．

（3）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保留π)．

解：（1）35，15；

（2）点A运动到点A1的位置时∠AOE＝45°.

作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，∴ A1F＝GE. 在Rt△A1OG中，

∵∠AOG＝OA2

1OG＝45°，OA1＝10， ∴1·cos45°＝10×2

＝52.

∵OE＝25，∴GE＝OE－OG＝25－52. ∴A1F＝GE＝25－52. 答：点A到桌面的距离是(25－52)厘米

（3）点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米. 作A2H⊥MN于H，则A2H＝20. 作A2D⊥OE于点D， ∴DE＝A2H. ∵OE＝25， ∴OD＝OE－DE＝25－20＝5. 在Rt△A ∵OAOD51

2OD中，2＝10， ∴cos∠A2OD＝OA＝＝2102.

∴∠A2OD＝60°. 由圆的轴对称性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°. ∴点A所经过的路径长为120π×1020π180＝3

.

答：点A所经过的路径长为20π

3厘米．

11、(2013·吉林中考模拟)已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A

处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．

求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．

∵斜坡AP的坡度为1∶2.4，∴

．

设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k． ∴13k=26．解得k=2．∴AH=10． 答：坡顶A到地面PQ的距离为10米． （2）延长BC交PQ于点D．

∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ． ∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH． ∵∠BPD=45°，∴PD=BD． 设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x－14．

在Rt△ABC中，

，即

．

解得，即．

答：古塔BC的高度约为19米．

2013中考数学专题训练：方案设计型