.\\

=

∴|∴

|=1，|

=（

|=

﹣1， ）（

===||=，

）==﹣=﹣

2++2=，

故答案为： 点评：本 题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量

的和的形式，本题是一个中档题目． 10．（5分）（2012?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f

（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为 ﹣10 ．

考点：函 数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题：函 数的性质及应用． 分析：

由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）

=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到

a，b的值，从而得到答案． 解答：

解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=

，

∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=∴1﹣a=

①

；又=，

又f（﹣1）=f（1），

∴2a+b=0，②

由①②解得a=2，b=﹣4； ∴a+3b=﹣10． 故答案为：﹣10． 点评：本 题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到

a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．

11．（5分）（2012?江苏）设α为锐角，若cos（α+

）=，则sin（2α+

）的值为 ．

考点：三 角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍

.\\

角的正弦． 专题：三 角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：

先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦

公式得到sin（2α+解答：

解：设β=α+

，

）的值．

∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=∴sin（2α+故答案为：

）=sin（2α+

．

﹣

，cos2β=2cos2β﹣1=）=sin（2β﹣

，

﹣cos2βsin

=

．

）=sin2βcos

点评：

本题要我们在已知锐角α+

的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两

角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．

12．（5分）（2012?江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是

．

考点：圆 与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系． 专题：直 线与圆． 分析： 于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx由

﹣2有公共点即可． 解答： ：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：解（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）

为圆心，1为半径的圆；

又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， ∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可． 设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，

则d=

≤2，即3k2﹣4k≤0，

∴0≤k≤． ∴k的最大值是． 故答案为：．

点评： 题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公本

共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．

.\\

13．（5分）（2012?江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 9 ．

考点：一 元二次不等式的应用． 专题：函 数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析：根 据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为

m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可． 解答： ：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞）解，

∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6）， 即为x2+ax+则x2+ax+

＜c解集为（m，m+6）， ﹣c=0的两个根为m，m+6

=6

∴|m+6﹣m|=

解得c=9

故答案为：9 点评：本 题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解

的能力和计算能力，属于中档题．

14．（5分）（2012?江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是 [e，7] ．

考点：导 数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合． 专题：导 数的综合应用；不等式的解法及应用． 分析：

由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0

＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极

小值，也就是的最小值，于是问题解决． 解答：解 ：∵4c﹣a≥b＞0

∴

＞，

∵5c﹣3a≤4c﹣a， ∴

≤2．

.\\

从而 ≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．

又clnb≥a+clnc， ∴0＜a≤cln，

从而≥，设函数f（x）=（x＞1），

∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e

时，f′（x）=0，

∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值． ∴f（x）min=f（e）=

=e．

等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1． 从而的取值范围是[e，7]双闭区间． 点评：

本题考查不等式的综合应用，得到≥

，通过构造函数求的最小值是关键，也是

难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）（2012?江苏）在△ABC中，已知（1）求证：tanB=3tanA； （2）若cosC=

，求A的值．

．

考点：解 三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用． 专题：三 角函数的求值；解三角形；平面向量及应用． 分析：（ 1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c

化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；

（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正