y3?11 若x?y，则a?2?y??Z，所以x?y?2,a?3；

y?1y?1 若x?y，则因为y3?1?1(mody),xy?1??1(mody)，所以存在b?N，使得：

1y3?1y3?11，by?1? ?1。y?1?(xy?1)(by?1)，所以by?1??2?y?y?1xy?1y?1y?13因为y?2,b?N，所以必有b?1。所以y3?1?(xy?1)(y?1)，故

y3?xy2?xy?y,y2?xy?y?1

y2?12所以x??y?1??N，所以y?2或y?3

y?1y?1当y?2时，x?5；

当y?3时，x?5，对应的a为1或2。

由条件（*）知x?2,y?5以及x?3,y?5也是原方程的解，对应的整数a为14或9。 综上，当a?1,2,3,9,14时原方程有整数解，它们分别是：（3，1），（5，2）；（2，1），（5，3），（2，2）；（1，2），（3，5）；（1，3），（2，5）。

例8．求证：边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数。

证明：假设结论不成立，在所有的面积为平方数勾股三角形中选取一个面积最小的，设其边长为x?y?z，则

2221xy是平方数，则必有(x,y)?1。 2因为x?y?z，故存在整数a?b?0,a,b中一奇一偶，(a,b)?1，使得（不妨设y是偶数）x?a?b,y?2ab,z?a?b。 由于

22221xy?(a?b)(a?b)ab是完全平方数，而知a?b,a?b,ab两两互素，故它们是平方222222222数，即a?p,b?q,a?b?u,a?b?v，所以u?v?2q即(u?v)(u?v)?2q 因为u,v是奇数，易知(u?v,u?v)?2，于是u?v与u?v中有一个是2r，另一个是

2(2s)2，而q2?4r2s2；

22222另一方面，a?p,b?q,a?b?u,a?b?v得p?a?1221(u?v)?[(u?v)2?(u?v)2] 241?[(2r2)2?(2s)4]?r4?4s4 4所以，以r2,2s2,p为边的三角形都是直角三角形，其面积等于

12r?2s2?(rs)2是平方数， 2q2b1??(a2?b2)ab?xy，于是构造出了一个面积更小的勾股三角形，矛但是(rs)?4422盾！

参考文献 1．奥林匹克数学中的代数问题 冷岗松 沈文选 唐立华等著 湖南师范大学出版社 2．数学奥林匹克教程 张军著 湖南师范大学出版社 3．高中数学竞赛2000题 虞金龙著 浙江大学出版社 4．中国华罗庚学校数学课本 周敏泽著 吉林教育出版社 5．奥林匹克小从书数学竞赛中的数论问题 熊斌 余红兵著

编后语

本书是作者在辅导山东省济宁一中奥林匹克竞赛班时所编写的教材，由于时间较为仓促，作者水平有限，许多地方编写地不尽如人意，未尽事项请大家谅解！另外，本书参考了大量的方献资料，在此向文献的作者表示感谢！再者，本来本书应配有习题，可是由于作者的计算机水平有限，再加之时间紧迫，所以所有的习题，都是我用手写完成的，未能向大家列出，向大家致歉！