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2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）x1(n)??(n?n0) （2）x12(n)?2?(n?1)??(n)?12?(n?1) （3）x3(n)?anu(n?2),
0?a?1
（4）x4(n)?u(n?3)?u(n?4)
?n（5）x?1?5(n)????4???(n?3k)
k?0（6）x?cos??n3?,?1?n?46(n)???0,其他
解： （1） Xj?1(e)?0
n???(n?n?j?n0)e?e?j?n?????
（2） X2(ej?)?x2(n)e?j?n?1ej??1?1e?j??1?jsin? n???222
（3） Xj??n?3(e)?n(n?2)e?j??n?j?n?a?e2j?n?au???n?ae??21?ae?j?， 0?a?1 ?
（4） Xj???u(n?3)?u(n?4)?e?j?n3???j?n334(e)?e??j?n??nn???n??3?en?0?ejn?1（
等
比
数列求解1?e?j4?1?ej3??sin??7??1?e?j??1?ej?ej?=1?e?j71?e?j?ej3???2???((1-e^a)提出e^(0.5a)) sin??1??2?????n （5） Xj??1??jn????1?3k
5(e)??????k?0??4???(n?3k)e??k?0??4??e?j3k?
n??3k ????1e?j???1k?0?4??3
1???14e?j?????j??44（6） X6(e)?cos???jn?n??43ne??1??ej?3?e?j3??e?jn? n??42?? 2－1
）
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??)9j(??)n)9j(??)n1j4(???1j4(???333 ?e e?ee3??22n?0n?0??j(??)9?j(??)9????1j4(??3)?1?e31j4(??3)?1?e3?? ?e?e????j(??)?j(??)?2233?????1?e??1?e??2－2 设信号x(n)?{?1,2,?3,2,?1}，它的傅里叶变换为X(ej?)，试计算
(1)X(e)（２）解： （１）X(e)?j0j0??X(e?n???j?)d?（３）????X(e)d?。
j?2n????x(n)??1
??（２）x(0)?12?j???2X(ej?)d???3，?X(ej?)d???6?
??n?22?（３）2－3 已知
????X(e)d??2??x(n)?38?
n??2|?|??0?1, X(ej?)???0,?0?|?|??求X(e解：
j?)的逆傅里叶变换x(n)。
1x(n)?2?j?????0ej?nd??0sin?0n ?n2－4 设X(e试求下面序列的傅里叶变换。 )和Y(ej?)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，
?（1）x(n?n0) （3）x(?n)
?j?n
（2）x(n) （4）nx(n)
*解：(1) DTFT[x(n?n0)]?n?????x(n?n)e0， 令n'?n?n0,n?n'?n0,则：
DTFT[x(n?n0)]??n????x(n?)e*?j?(n??n0)?e?j?n0X(ej?)
?*(2) DTFT?x?(n)???n????x(n)e?j?n??????x(n)ej?n??X?(e?j?) ?n???? 2－2
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(3) DTFT?x(?n)??n????x(?n)e??j?n，令n??n，则：
' DTFTx)?n??(??n?????X(ej?)，得??j?nx(n)e?j?n??jFT?nx(n)?
??n????'?'j?n(x)ne?'??j(X e)(4) 由X(e)?j?n????x(n)e?j?n?X(ej?)所以 DTFT?nx(n)??j
??2－5 已知序列x(n)?2nu(?n)，求其傅里叶变换DTFT。 解：X(e)?j?n????2u(?n)en??j?n?n????2e0n?j?n11??(ej?)n?
12j?n?01?e2?2－6 设x(n)?R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)；并分别
用图表示。 解：
1R4?n??R4??n??, ???21R4?n??R4??n?? x0?n??? ??2
xe?n??图形如下题2-6图所示：
题2-6图 xe(n)与xo(n)序列图
n2－7 设系统的单位脉冲响应h(n)?2au(n)，0?a?1，输入序列为
x(n)?2?(n)??(n?1)
完成下面各题：
2－3
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（1） 求出系统输出序列y(n)；
（2） 分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。
解：（1）y(n)?h(n)?x(n)?2anu(n)??2?(n)??(n?1)??2anu(n)?2an?1u(n?1)
（2）X(e)?j??j?n?j? 2?(n)??(n?1)e?2?e????n????
H(e)?j?n????2au(n)enj??j?n??2ane?j?n?n?0?2 ?j?1?ae2(2?e?j?)Y(e)?H(e)?X(e)? ?j?1?aej?j?2－8 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
HR(ej?)?1?cos? 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej?)。 解：HR(e)?1?cos??1?
j?1j?1?j?e?e 22?DTFT?he(n)??n????h(n)ee??j?n
?1?2,n??1?he(n)??1,n?0
?1?,n?1?2?0,n?0?0,n?0,n?1??h(n)??he(n),n?0??1,n?0
?2h(n),n?0?1,n?1??e
H(e)?j?n????h(n)e?j?n?1?e?j??2e?j?/2cos??2
2－9 试用定义计算周期为5，且一个周期内x(n)?{2,1,3,0,4}的序列x(n)的DFS。
解：X(k)??x(n)en?04kn?j2?5＝2?ek?j2?5?3ek?j4?5?4ek?j8?5
2－4
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2－10 求出周期序列x(n)?{解：由题知x(n)周期为4
0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,}的DFS。
X(k)??x(n)en?03kn?j2?4??x(n)en?03kn?j?2 ?e?j?2k?2e?j?k?3ej?2kk?j3?2
?2(?1)k?2ek?j3?2?e?j?k(e?e?j?2k)
nl2－11 已知周期为N的信号x(n)，其DFS为X(k)，证明DFS的调制特性DFS[WNx(n)]
?X(k?l)。
证明：DFS[Wx(n)]?nlN?WNnlx(n)en?0N?1n?0N?1kn?j2?N
??x(n)e?x(n)en?0N?1kn?j2?nl?j2?NNe
?k?l)n?j2?(N
?X(k?l) 命题得证。 2－12 设
?1,n?0,1 x(n)???0,其他x(n)，画出x(n)和~x(n)的波形，求将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列~x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。 出~解： x(k)?DFS?x(n)??~?x(n)en?03?j2?k?4??en?01?jkn2??1?e?jk2?
?ex(k)以4为周期。
?jk4???k?jk??jk?j????444 ?e?e??2cos?k??e?4???2?X(e)?DTFT?x(n)??4j?2????x(k)?(??k)?x(k)?(??k) ??42k???2k???? 2－5
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??cos(k)e?4k??????jk4??(???2k)
x(n)波形图如下题2-12图所示： x(n)和~
x(n)波形图 题2-12图 x(n)和~2－13 如果x(n)是一个周期为N的周期序列，其DFS为X1(k)，将x(n)看作周期为2N的
周期序列，其DFS为X2(k)。试利用X1(k)确定X2(k)。 解： 按照题意，可以写出：
X1(k)=
x(n)W?~n?0N?1n?0N?1knN=
x(n)e?~n?0N?1?j2?knN
X2(k)??x(n)W2Nkn ??~x(n)en?0N?1?j2?knN22N?1+
n?Nx(n)e?~?j2?knN2
令n??n?N，则 X2(k)??x(n)en?0N?1?j2?knN2?j(n'?N)~2+?x(n'?N)eN n'?0N?12?k ?(1?e?jkn)?~x(n)en?0N?1?j2?knN2
?k? ?(1?e?jkn)X1??
?2? 所以
2－6
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??k?2X?1??,k?even X2(k)?? ?2??0，k?odd?2－14 根据下列离散时间信号的傅里叶变换，确定各对应的信号x(n)。
（1）X(e)?j?e?j?111?e?j??e?2j?66
（2）X(e)?j?k????(?1)k?(??e?j???k2)
?6e?j? ?j??3)(e?2)解： （1）X(e)?j?111?e?j??e?2j?66?(e?j?6655 ? ?1?j?1?j?1?e1?e32611x(n)?[()n?()n]u(n) 因此
532（2）因为X(e)含有冲激函数，因此，对应的信号为周期信号，设为x(n)，其周期为N，DFS为X(k)?ak，则有：
2?jkn1N?1x(n)?IDFS[X(k)]??X(k)eN
Nk?0j?x(n)的DTFTX(ej?)，有
2? X(e)?Nj?k????X(k)?(????2?k) N即
2?jk()n1N?12?Nae??kNk?0NN?1k?02?)nNk?????ak?(??2?k) N2?k) N 而已知
?akejk(?2?k????ak?(???k2X(e)?
j?k????(?1)k?(???)
2－7
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可见
N?4,2?ak?(?1)k
即
(?1)kak?
2?所以
??k3jknjkn131(?1)x(n)??ake2??e2
4k?04k?02??3?jnjn1j?n2?[1?e?e?e2]，n?0，1，2，3 8?得x(n)是以{0,0,1,0}为周期的周期函数。 2?2－15 计算以下诸序列的N点DFT，在变换区间0?n?N?1内，序列定义为
（1）x(n)?1 （3）x(n)?ej2?mnN
（2）x(n)?Rm(n)，0?m?N （4）x(n)??(n?n0),其中0?n0?N
,0?m?N
（5）x(n)?u(n)?u(n?n0) ，其中0?n0?N
N?1n?0N?1?j2?knNn?0解： （1）X(k)??1?WNkn??em?1n?0?1?e?j2?kNN2?kN1?e?j?N,k?0 ??0,k?1,2,?N?1?（2）X(k)??WknN1?WNkm?k1?WN???sinmk????jk?m?1?N?? N?e???sin?k??N?N?1n?02?j?m?k?nN（3）X(k)??en?0N?12?jmnN?WknN??e?1?e?j2??m?k?NN1?e2??j?m?k?N
?N,k?m ， 0?k?N?1 ???0,k?m（4） 由DFT的定义直接计算序列的DFT，对Z变换采样。由于X(z)?z?k在z?WN， k?0,1,2?N?1上采样，求得:
n0k X(k)?WN?n0，对X(z)
k?0,1,2,,N?1
2－8
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（5） X(k)?n0?1n?0?W?jnkNkn0?kn02kn021?WN?WNk?n0?1?2WN ??WNk?k2k21?WNWN?WN=ej2?k?n0?1???N?2?sin?n0?kN?, k?0,1,2,sin??kN?,N?1
2－16 已知x(n)?e解: X(k)?2?mnN,0?m?N，0?n?N，求其N点DFT。
?en?0N?1j2?mnNWknN??en?0N?1j2?(m?k)nN?N,k?m，0?k?N?1 ???0,k?m2－17 设X(k)?1?2?(k),0?k?9，求其原序列x(n)=IDFT[X(k)]。
knDFT[?(n)]=1,DFT[1]=?1?WN?N?(k)
n?0N?1解：
?x(n)?1??(n )52－18 已知下列X(k)，0?k?N?1，求x(n)?IDFT[X(k)]，其中
?Nj?k?m?2e,??NX(k)??e?j?,k?N?m
?2其他?0,??0?m?N。
2?2?1?Nj?jNmnN?j?jN?N?m?n?1N?1?kn?ee解：x(n)?IDFT?X(k)???X(k)WNx(n)??ee?
N?22Nk?0?mn????j?mn????1?j??2???N??N???e?emn??? ??cos?2??N???????2??2?2－19 已知序列x(n)的4点离散傅里叶变换为X(k)?{2?j,3,2?j,1}，求其复共轭序
列x(n)的离散傅里叶变换X1(k)。
***解：X1(k)?X(N?k)?{(2?j),1,(2?j),3}?{2?j,1,2?j,3}
*2－20 证明DFT的对称定理，即假设
X(k)?DFT[x(n)]
2－9
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证明： DFT[X(n)]?Nx(N?k)
kn X(k)??x?n?WNn?0N?1证明：
?DFT?X(n)???X(n)Wn?0N?1N?1n?0N?1knN?N?1mn?kn????x(m)WN?WN
n?0?m?0?
N?1
??x(m)?WN?m?0nm?k?
?N,m?N?kn?m?k? ??WN??0,m?N?k,0?m?N?1n?0?N?1
?DFT?X(n)??Nx(N?k),k?0,1,2...N?1
2－21 如果X(k)?DFT[x(n)]，证明DFT的初值定理
1N?1x(0)??X(k)
Nk?0证明：由IDFT定义式
1N?1?knx(n)??X(k)WN,n?0,1,2..N?1
Nk?0知
1N?1x(0)??X(k)
Nk?02－22 证明离散帕斯维尔定理。若X(k)?DFT[x(n)]，则
?n?0N?11N?12x(n)??X(k)
Nk?02证明：
1N?11N?12X(k)??X(k)X?(k) ?Nk?0Nk?0?
1N?1?N?1kn? ? X(k)??x(n)WN??Nk?0?n?0?1N?1?kn ??x(n)?X(k)WN
Nk?0n?0?N?1
2－10
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??x(n)x(n)??x(n)?n?0n?0N?1N?12
2－23 令X(k)表示N点序列x(n)的N点离散傅里叶变换。X(k)本身也是个N点序列。
如果计算X(k)的离散傅里叶变换得一序列x1(n)，试用x(n)求x1(n)。 解：按照题意，可以写成
x1(n)??X(k)WN
k?0N?1N?1k?0N?1kn?N?1?????x(n')WNkn'?WNknk?0?n'?0?
k?n?n'?N?1??x(n')?WNn'?0 因为
?WNk?0N?1k?n?n'??N,n?n'?N ???0,其他 所以
x1(n)??Nx(?n?Nl)?Nx???n??NRN?n?
n'?0N?12－24 一个长度为8的有限时宽序列的8点离散傅里叶变换X(k)，如题2-24图所示。
X(k)
k01234567??n??x??,n为偶数令y(n)???2?
?0，n为奇数?
题2-24图
求y(n)的16点DFT，并画出其图形。 解：按照题意，当n为奇数时y(n)为零，故可写出
Y(k)??y(n)W16?nkm?0715m?0,2,?14?n?x??W16nk?2?
??x(l)W8lk,0?k?15l?0
2－11
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?7lk??x(l)W8,0?k?7而 X(k)??l?0
?0，其他??7lkx(l)W,0?k?7??lk8?x(l)W,0?k?15?l?0??8 所以Y(k)??l?0 ??7?x(l)Wlk,8?k?15?0，其他?8???l?07?X(k),0?k?7?X(k),0?k?7? ??7 ??l(k?8)X(k?8),8?k?15x(l)W,8?k?15?8???l?0?X(k),0?k?7?8?k?15 即Y(k)??X(k?8)，?0，其他?所以Y(k)的图形如题2-26（a）图所示：
k0123456789101112131415题2-26（a）图
2－25 已知序列
x(n)?4?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)??(n?3)
X(k)是x(n)的6点DFT。
（1） 若有限长序列y(n)的6点DFT 是Y(k)?W64kX(k),求y(n)。
Q(k)?X(2k)，k?0,1,2，（2） 若有限长序列q(n)的3点DFT 满足，求q(n)。
解： （1）序列y(n)的DFT由x(n)的DFT与复指数W64k相乘组成，这相当于是将x(n)圆
周移位了4点：y(n)?x((n?4))6，所以：
y(n)?4?(n?4)?3?(n?5)?2?(n)??(n?1)
（2）序列q(n)长度为3，DFT变换为Q(k)?X(2k)，k?0，其中X(k)是x(n) 1，2，的6点DFT。由于系数X(k)是对X(z)在单位圆上等间隔采样6点的结果，所以
2－12
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Q(k)?X(2k)，k?0，1，2，相当于是对X(z)在单位圆上等间隔采样3点，所以
???q(n)???x(n?3r)?R3(n)
?r????在0?n?3区间外x(n)?0,因而q(0)?x(0)?x(3)?5;q(1)?x(1)?3;q(2)?x(2)?
2就得到q(n)?5?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)。
2－26 在很多实际应用中都需要将一个序列与窗函数w(n)相乘。设x(n)是一个N点的序
列，w(n)是汉明窗：
w(n)?11?2??cos?22?NN???n????
2???试用x(n)的DFT求加窗序列x(n)w(n)的DFT。 解：首先用复指数表示汉明窗
n??n??11jN?1?jN?2?2???w(n)??e?e244??nn11?j?j2N1j??j2N ??ee?ee244??nn11j2N1?j2N ??e?e2442??N?2??N?因此
??nn11j2N1?j2Nx(n)w(n)?x(n)?ex(n)?ex(n)
244如果
DFT[x(n)]?X(k)
则
DFT[ej2?nNx(n)]?X((k?1))N DFT[e?j2?nNx(n)]?X((k?1))N
所以加窗序列x(n)w(n)的DFT为
DFT[x(n)w(n)]?111X(k)?X((k?1))N?X((k?1))N 2442－27 已知x1(n)?{0,1,?1,2},x2(n)?{0,1},求y1(n)?x1(n)*x2(n)和y(n)?x1(n)?
x2(n)；欲使两卷积相同，则循环卷积的长度L的最小值应为多少？
2－13
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解： y1(n)?{0,0,1,?1,2},y(n)?{2,0,1,?1}， L=4+2-1=5
2－28 已知序列x(n)??(n)?2?(n?2)+?(n?3)，若y(n)是x(n)与它本身的4点循环卷
积，求y(n)及其4点的DFTY(k)。
nk2k3kx(n)W?1?2W?W?444 n=03解：x(n)的4点DFT：X(k)=
y(n)?x(n?)x( n)22k3k4k5kk?Y(k)?X2(k)=(1?2W42k?W4k3)?1?4W?2W?4W?44W? 46W444k ?5?4W4?5W42k?2W43k
?(n)??4n(?+1)?5n?( ?y(n)?5?2?)n2? (2－29 x(n)和h(n)都是长度为6点的有限长序列，X(k)和H(k)分别是x(n)和h(n)的8
点DFT。若组成乘积Y(k)?X(k)H(k)，对Y(k)作8点IDFT得到序列y(n)，问y(n)在哪些点上等于以下线性卷积：
z(n)?k????x(k)h(n?k)
?解： x(n)和h(n)都是长度为6点，则z(n)?x(n)?h(n)的长度为11点，而y(n)为x(n)
与h(n)的8点循环卷积。根据线性卷积与循环卷积的关系，8点的循环卷积中，前3个点将由线性卷积的叠加，而后5个点等于线性卷积。 2－30 序列
x(n)??(n)?2?(n?2)??(n?3) （1） 求x(n)的4点DFT；
（2） 若y(n)是x(n)与它本身的4点循环卷积，求y(n)及其4点DFTY(k)； （3） h(n)??(n)??(n?1)?2?(n?3)，求x(n)与h(n)的4点循环卷积。 解： 由题可知：x(n)?{1,0,2,1}
2－14
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（1） X(k)??x(n)en?03?j2?4kn
?1?2e?j?k?ekk?j3?2
?1?2(?1)?ekk?j3?2?3?(?1)2当k?0,?2,?4,???（2） 得到 即 （3）由题知 ?????1?(?1)k?21j当k?1,3,5,???
????1?(?1)?k2?1j当k??1,?3,?5,???y(n)?x(n)?x(n)
1021y(0)?11201040?5
取和1021y(1)?01120022?4
取和1021y(2)?20112021?5
取和1021y(3)?12011001?2
取和y(n)?{5,4,5,2}
3Y(k)??y(n)e?j2?kn4
n?0?5?4e?j?2k?5e?j?k?2e?j3?2k
?5?5(?1)k?2e?j?2k?4(?1)kcos(?k2)?10?6(?1)k2当k?0,?2,???4,?????2j(?1)k?12当k?1,3,5,???
??k?2j(?1)2?1当k??1,?3,?5,???h(n)?{1,1,0,2}
2－15
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z(n)?x(n)?h(n)
10211201 z(0)??2
1001取和10211120 z(1)??5
1040取和10210112 z(2)??4
0022取和1021 z(3)?2011?5
2021取和得 z(n)?{2,5,4,5} 2－31 序列x(n)为
x(n)?2?(n)??(n?1)??(n?3)
计算x(n)的5点DFT，然后对得到的序列求平方：
Y(k)?X2(k)
求Y(k)的5点DFT反变换y(n)。
解：序列y(n)的5点DFT等于乘积Y(k)?X(k)X(k)，所以y(n)是x(n)与本身5点圆周
卷积的结果：
?4? y(n)???x(k)x((n?k))?R(n)
55???k?0?一个简单的计算圆周卷积的方法是先进行线性卷积y?(n)?x(n)?x(n)，然后将结果叠加：
??? y(n)???y?(n?5k)?R(n)
5???k????x(n)与本身的线性卷积的结果为
2－16
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y?(n)??4,4,1,4,2,0,1? 用表格法计算圆周卷积，就会得到 题2-31表
n y?(n) y?(n?4) z(n) 所以
0 1 2 3 4 4 4 1 4 2 0 1 0 0 0 4 5 1 4 2 5 6 7 0 1 0 0 0 0 — — — y(n)?4?(n)?5?(n?1)??(n?2)?4?(n?3)?2?(n?4)
2－32 考虑两个序列：
x(n)?4?(n)?3?(n?1)?3?(n?2)?2?(n?3) h(n)??(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)
若组成Y(k)?X(k)H(k)，其中X(k)、H(k)分别是x(n)和h(n)的5点DFT，对
Y(k)作DFT反变换得到序列y(n)，求序列y(n)。
解： 因为Y(k)是两个5点DFTX(k)和H(k)的乘积，所以y(n)是x(n)和h(n)的5点圆
周卷积。可以用图解法计算圆周卷积y(n)，也可以用先线性卷积再重叠的方法，还可以用先将DFT相乘再对乘积作DFT反变换的方法。本题中，h(n)是一个简单序列，我们可以用分析法。x(n)和h(n)的5点圆周卷积是：
y(n)?x(n)?h(n)??h(k)x((n?k)) ，n?0,1,2,3,4
5k?04因为h(n)?1，n?0,1,2,3，且h(4)?0，5点圆周卷积是：
y(n)?x(n)?h(n)??x((n?k))k?035 ，n?0,1,2,3,4
圆周卷积等于圆周移位序列x((n?k))5的值从k?0到k?3求和的结果，因为x(n)是
2－17
数字信号处理学习拓展
x(n)??1,3,3,2,0?
（x(n)可以看作是长度为5 的序列）x((n?k))5可以通过反向读取序列得到，从
n?0开始：x((?n))5??1,0,2,3,3?
y(0)是x((?n))5的前5个 值相加的结果，得到y(0)?6。将此序列圆周右移1后，就有
x((1?n))5??3,1,0,2,3?
前4个值相加后得到y(1)?6。继续求解，求得：
y(2)?7,y(3)?9,y(4)?8。
2－33 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)?0,n?0,n?8;y(n)?0,n?0,
n?20。对每个序列作20点DFT，得X(k)和Y(k)，如果F(k)?X(k)?Y(k)， k?0，1，
，19。f(n)?IDFT[F(k)]，n?0，1，
，19。试问在哪些点
上f(n)?x(n)*y(n)？为什么？
解： 设fl(n)?x(n)?y(n)，而f(n)?IDFTF?k()??x(n)?y(n)，fl(n)的长度为27，
f(n)的长度为20，
且 f(n)?m?????fl(n?20m）?R20(n)
当上述周期延拓序列中无混叠的点上有：
f(n)?fl(l)?x(n)?y(n)，7?n?19
2－34 两个有限长序列x1(n)和x2(n)，在区间?0,99?以外的值为0，两个序列圆周卷积后
得到的新序列y(n)为
y(n)?x1(n)?x2(n)
其中N?100。若x1(n)仅在10?n?39时有非零值，确定n为哪些值时，y(n)一定等于x1(n)和x2(n)的线性卷积？
2－18
数字信号处理学习拓展
解： 由于y(n)??x(k)x((n?k))21k?099100，
y(n)等于x1(n)和x2(n)的线性卷积的点n是在
区间?0,99?内，圆周移位x1((n?k))100等于线性移位x1(n?k)的那些点。由于x1(n)仅仅在区间?10,39?内有非零值，我们可以看到杂区间?39,99?内x1((n?k))100?
x1(n?k)。所以当39?n?99时线性卷积与圆周卷积相等。
2－35 求证循环卷积定理。设有限长序列x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，取N?
max[N1,N2]，且X1(k)和X2(k)分别是两个序列的N点DFT。
（1） 若X(k)?X1(k)?X2(k)，求证x(n)?IDFT[X(K)]?x1(n)?x2(n)； （2） 若x(n)?x1(n)?x2(n)，求证：X(k)?DFT[x(n)]?证明：（1）N点DFT等于X(k)?X1(k)X2(k)的序列为:
1X1(k)?X2(k)。 N1N?1?nk,n?0,1, x(n)??X1(k)X2(k)WNNk?0需要用x1(n)和x2(n)来表示x(n)，由于X1(k)?,N?1
?x(l)W1l?0N?1lkN， 将X1(k)代入到
x(n)的表达式中，有：
N?11N?1lk?nk，n?0,1, x(n)??X2(k)?x1(n)WNWNNk?0l?0,N?1
交换求和顺序，则
1N?1?k(n?l)x(n)??x1(n)[?X2(k)WN]，n?0,1,
Nl?0k?0括号内的项等于x2((n?l))N，有：
N?1,N?1
x(n)??x1(n)x2((n?l))N，n?0,1,
l?0N?1,N?1
=[?x(k)x(n?k)]R12k?0N?1~~N(n)=x1(n)?x2(n)
2－19
数字信号处理学习拓展
（2） 由定义X(k)??x(n)x(n)W12n?0N?1nkN，k?0,1,,N?1 。若想用X1(k)和X2(k)
1N?1?nl来表示X(k)，将下面x2(n)??X2(l)WN的表达式代入上式得：
Nl?0N?11N?1nk?nl，k?0,1,X(k)??x1(n)WN?X2(l)WNNn?0l?0,N?1
交换求和顺序，上式变成：
N?11N?1nk?l X(k)?X2(l)?x1(n)WN?? ?Nl?0n?0第二个求和就是X1((k?l))N，有：
1N?1 X(k)??X2(l)X1((k?l))NRN(k)
Nl?0所以，X(k)是X1(k)和X2(k)圆周卷积的1N倍： 问题得证。
2－36 若x1(n)和x2(n)都是长为N点的序列，X1(k)和X2(k)分别是两个序列的N点
X(k)?1X1(k)?X2(k) N1N?1?DFT。证明： ?x1(n)x(n)?X(k)X?12(k)
Nk?0n?0?2N?1?X(k)是x(n)?x1(n)x2证明：令X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N点DFT ，(n)的
??N点DFT，则x2(n)的DFT是X2(N?k)，k?0,1,N?1n?0N?1n?0,N?1，
?X(0)??x(n)??x1(n)x2(n)
由性质有
1N?1*X(k)??X1(l)X2((N?(k?l)))N ，k?0,1,Nl?0让k?0计算X(k)，就可以得到结论：
,N?1
2－20
数字信号处理学习拓展
1N?11N?1??x1(n)x(n)??X1(l)X2(l)??X1(k)X2(k) ?Nl?0Nk?0n?0?2N?12－37 已知实序列x(n)的８点DFT前５个值为0.25,0.125?j0.3,0,0.125?j0.05,0．
求X(k)其余三点的值。
解：x(n)为实序列，满足共轭对称性，X*(N?K)?X(k)得其余三点：
0.125?j0.05 , 0 0.125?j0.3
2－38 已知x(n)、y(n)是长度为4的实序列，f(n)?x(n)?jy(n)，F(k)?DFT?f(n)?
??1,1?4j,1?4j,1?，求序列x(n)，y(n)。
解：由F(k)??1,1?4j,1?4j,1?，得：
F(N?k)??1,1,1?4j,1?4j?， F?(N?k)??1,1,1?4j,1?4j?
所以X(k)?DFT?x(n)??Fep(k)?
1?F(k)?F?(N?k)?????1,1?2j,1,1?2j? 21jY(k)?DFT?jy(n)??Fop(k)??F(k)?F?(N?k)???0,2j,?4j,2j?
2
Y(k)?1Fop(k)??0,2,?4,2? j由上知X(k)??1,1?2j,1,1?2j?
2?2??2?2?jknjnj2nj3n??131j0 x(n)??X(k)e4??e??1?2j?e4?e4??1?2j?e4?
4k?04??
2??1? ?x(0)???1?j??1?
11??j??2 ?141 x(1)??1?(1?2j)j?1?(1?2j)(?j)???1
41 x(2)??1?(1?2j)(?1)?1?(1?2j)(?1)??0
41 x(3)??1?(1?2j)(?j)?(?1)?(1?2j)j??1
4
Y(k)??0,?2,?4 ,2
?2??2nj2nj3n?1?j24 ?y(n)??2e?4e4?2e4?
4?? 2－21
数字信号处理学习拓展
y(0)?1?2?4?2??0 4
?3?j?11?j24j?y(1)??2e?4e?2e2???2j?4?2j??1
4??4
y(2)?11j?j2?j3???2e?4e?2e??4??2?4?2???2 4?
?4?j?11?j32j3?y(3)??2e?4e?2e2????2j?4?2j??1
4??4
综上可得： x(n)??1,?1,0,1?， x(n)??1,?1,0,1?
2－39 已知序列
x(n)?4?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)??(n?3)
X(k)是x(n)的6点DFT， 若有限长序列?(n)的6点DFT等于X(k)的实部，即
W(k)?Re?X(k)?，求?(n)。
解： X(k)的实部是Re?X(k)??1X(k)?X*(k)????，为了计算Re?X(k)?的DFT反变换， 2我们需要计算X*(k)的DFT反变换。由于
N?1?N?1nk?X(k)???x?n?WN???x??n?WN?nkWNnk ?n?0?n?0*N?1N?1???x(n)WN?n?0?N?n?k??x?((N?n))N
n?0X*(k)是x*((N?n))N的DFT，所以Re?X(k)?的DFT反变换是：
*?(n)??x(n)?x((N?n))N???
12N?6，所以?(n)为：
?(n)??4,,1,1,1,?
2??22－40 如何用一个N点DFT变换计算两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT变换？ 解： 两个实序列的DFT可以由一个N点DFT求得：首先，我们组成一个N点复序列
?33?x(n)?x1(n)?jx2(n)
计算x(n)的N点DFT后，利用DFT的共轭对称性质从X(k)中提取出X1(k)和
2－22
数字信号处理学习拓展
X2(k)。实序列的DFT有共轭对称性：
X(k)?X?((N?k))N
虚序列的DFT有共轭反对称性：X(k)??X?((N?k))N 由于
X(k)?X1(k)?X2(k)
X1(k)是实序列的DFT：
X1(k)?1??X(k)?X((N?k))N?? 2?这是X(k)的共轭对称部分。同样，X2(k)是虚序列的DFT： X2(k)?这是X(k)的共轭反对称性。
1??X(k)?X((N?k))N? ??2?2??k?，2－41 一个有限长序列x(n)??1,1,1,1,1,1?，设其Z变换是X(z)。如果在zk?exp?j?4?k?0，1，2，3点上对X(z)采样，就得到一组DFT系数X(k)。求4点DFT等
于这些采样值的序列y(n)。
解：对X(z)在单位圆上等间隔采样4点将造成x(n)的混叠：
???y(n)???x(n?4k)?R4(n)
?k????利用表格法计算上式中的求和，注意只有序列x(n)和x(n?4)在0?n?3时有非零值，所以有 题2-41表
n x(n) x(n?4) y(n) 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 4 5 6 7 1 1 0 0 0 0 0 0 — — — — y(n)?2?(n)?2?(n?1)??(n?2)??(n?3)
2－23
数字信号处理学习拓展
2－42 设x(n)?1?2j,3,1?2j,1，试画出时域基2FFT流图，并根据流图计算每个碟形
运算的结果，最后写出X(k)?DFT[x(n)]的序列值。 解： 2FFT流图如题2-42图所示：
??x(0)x(2)1?2j1?2j2046X(0)X(1)W?4j?6jx(1)x(3)34W401W4?2?2jX(2)X(3)
1W042题2-42图 时域基2FFT流图
x(0)?W40x(2)?2 2?W40?4?6
0 x(0)?W4x(2)??4j 2?W40?4??2
1x(1)?W40x(3)?4 ?4j?W4?2??6j 1x(1)?W40x(3)?2 ?4j?W4?2??2j
X(k)?{6,?6j,?2,?2j} k?0,1,2,3
2－43 已知序列x(n)={0,1,0,1,1,1,0,0}，用FFT蝶形运算方法计算其8点的DFT。画出计
算流图，标出各节点数值。 解： X3(0)?x(0)?W80x(4)?1
X3(1)?x(0)?W80x(4)??1 X4(0)?x(2)?W80x(6)?0 X4(1)?x(2)?W80x(6)?0 X5(0)?x(1)?W80x(5)?2 X5(1)?x(1)?W80x(5)?0 X6(0)?x(3)?W80x(7)?1 X6(1)?x(3)?W80x(7)?1
用
NN点DFT计算点的DFT 420 X1(0)?X3(0)?W8X4(0)?1
2－24
数字信号处理学习拓展
X1(1)?X3(1)?W82X4(1)??1 X1(2)?X3(0)?W80X4(1)?1 X1(3)?X3(1)?W82X4(1)??1
X2(0)?X5(0)?W80X6(0)?3 X2(1)?X5(1)?W82X6(1)??j X2(2)?X5(0)?W80X6(0)??1 X2(3)?X5(1)?W82X6(1)?j
计算8点的DFT
X(0)?X1(0)?W80X2(0)?4
X(1)?X1(1)?W81X2(1)??22 ?1?j22X(2)?X1(2)?W82X2(2)?1?j
X(3)?X1(3)?W83X2(3)?1?22?j 22X(4)?X1(4)?W80X2(4)??2
X(5)?X1(5)?W81X2(5)?1?22?j 22X(6)?X1(5)?W81X2(6)?1?j
X(7)?X1(7)?W83X2(7)?22?1?j 22
所以其计算流图如题2-43图所示：
2－25
数字信号处理学习拓展
题2-43图 FFT蝶形运算流图
2－44 设序列x(n)的长度为200，对其用时域基2FFT来计算DFT，请写出第三级蝶形
中不同的旋转因子。
8M解: 由于序列x(n)的长度为200，所以取N?256?2?2,得M?8。
又因为L?3，P?J?2M?L?J?28?3?32J,J?0,1,…,2L-1-1=0，1，2，3
0326496第3级蝶形运算中不同的旋转因子为：W256 ， W256 ，W256 ，W256
2－45 如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5?s，每次复数加需要1?s，用来计算
N?1024点DFT，问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢？照这样计算，用FFT
进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。 解： 当N?1024?2时，直接计算DFT的复数乘法运算次数为N?1024次
直接计算1024点DFT需要时间TD为
1022TD?5?10?6?10242?1047552?10?6?6.290432s
用FFT计算1024点DFT所需计算时间为
TF?5?10?6?Nlog2N?Nlog2N?10?6 21024?5?10?6??10?1024?10?10?6
2 ?35.84ms
快速卷积时，要计算一次N点FFT（考虑到H(k)?DFT?h(n)?已计算好存入内存），一次N点IFFT和N次频域复数乘法。所以，计算1024点快速卷积的计算时间约为
2－26
数字信号处理学习拓展
Tc?2TF?1024
?71680?s?5?1024?s
?s ?76800所以，每秒钟处理的采样点数（即采样速率）fs?由采样定理知，可实时处理的信号最高频率为 fmax?1024?13333.3次/秒。
76800?10?6fs13333.3??6666.7Hz 22应当说明，实际实现时，fmax 还要小一些。这是由于实际采样频率高于奈奎斯特速率，而且在采用重叠相加法时，重叠部分要计算两次。重叠部分长度与h(n)长度有关，而且还有存取数据指令周期等。
2－46 序列x(n)长240点，h(n)长10点。当采用直接计算法和快速卷积法（用基2FFT）
求它们的线性卷积y(n)?x(n)?h(n)时，各需要多少次乘法？ 解： （1）已知N1?240,N2?10,直接线性卷积复乘的次数为
N1?N2?240?10?2400（次）
（2）因为N1?N2?1?240?10?1?249,取N?256。快速卷积中复乘的次数： 1）x(n)????X(k),h(n)????H(k)，需2? 2）Y(k)?X(k)H(k)，需N次复乘； 3）y(n)?IFFT?Y(k)?，需 总的复乘的次数为：
FFTFFTNlog2N次复乘； 2Nlog2N次复乘； 23?Nlog2N?N?3?128?8?256?3328(次) 22－47 设有限长序列x(n)的DFT为X(k)，我们可使用FFT来完成该运算.现假设已知
X(k)，k?0,1,?,N?1,如何利用FFT求原序列x(n)?IDFT[X(k)]。
解：
1x(n)?N?X(k)Wk?0N?1?kn，n?0,1,?,N?1
2－27
数字信号处理学习拓展
1N?1*?x(n)?[?X(k)Wkn]，n?0,1,?,N?1
Nk?0 因此，利用FFT求x(n)的步骤为： (1) (2) (3)
对X(k)求共轭 对X(k)*进行FFT变换 对变换后的序列取共轭，并乘以
*1即得到x(n)。 N2－48 已知X(k)和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(n)的DFT，若要从X(k)和Y(k)
求x(n)和y(n)，为提高运算效率，试设计用一次N点IFFT来完成。 解：
x(n),y(n)为实序列。
?X(k),Y(k)为共轭对称序列，jY(k)为共轭反对称序列。
将X(k)，jY(k)作为序列F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量
F(k)?X(k)?jY(k)?Fep(k)?Fop(k)
计算一次N点IFFT得到
f(n)?IFFT?F(k)??Re?f(n)??jIm?f(n)?
由DFT的共轭对称性
11x(n)?Re[f(n)]?[f(n)?f*(n)]，y(n)?Im[f(n)]?[f(n)?f*(n)]
22j2－49 设x(n)是长度为2N的有限长实序列，X(k)为x(n)的2N点DFT。
（1） 试设计用一次N点DFT完成计算X(k)的高效算法。
（2） 若已知X(k)，试设计用一次N点IDFT实现求x(n)的2N点IDFT运算。 解： 本题的解题思路就是DIF-FFT思想
（1） 在时域分别抽取偶数点和奇数点x(n)得到两个N点实序列x1(n)和x2(n)
x1(n)?x(2n),n?0,1,,N?1 x2(n)?x(2n?1),n?0,1,,N?1
2－28
数字信号处理学习拓展
根据DIT-FFT思想，只要求得x1(n)和x2(n)的N点DFT，再经过简单的一级碟形运算就可以得到x(n)的2N点DFT。又
x1(n),x2(n)为实，所以根据DFT的共轭对
称性，可用一次N点DFT求得X1(k)和X2(k)，方法如下： 令y(n)?x1(n)?jx2(n)
Y(k)?DFT?y(n)?,k?0,1,,N?1
则X1(k)?DFT?x1(n)??Yep(k)?1??Y(k)?Y(N?k)? ??21?jX2(k)?DFT?jx2(n)??Yop(k)??Y(k)?Y(N?k)?? 2?2N点DFT[x(n)]?X(k)可由X1(k)、X2(k)得到
k??X(k)?X1(k)?W2NX2(k) k?0,1,?k??X(k?N)?X1(k)?W2NX2(k),N?1
这样通过一次N点DFT计算完成2N点DFT
?x1(n)?x(2n),?x(n)?x(2n?1),?2（2） 设?
X(k)?DFTx(n),?1??1?X(k)?DFT?x(n)?,2?2
k?0,1,,N?1, n?0,1,,N?1
k??X(k)?X1(k)?W2NX2(k),则? k??X(k?N)?X1(k)?W2NX2(k)
k?0,,N?1
?X1(k)?X2(k)?1?X(k)?X(k?N)? 21?X(k)?X(k?N)?W2?Nk 2?过程如下
①由X(k)计算出X1(k)，X2(k)
②由X1(k)，X2(k)构成N点频域序列Y(k)
Y(k)?X1(k)?jX2(k)?Yep(k)?Yop(k)
其中Yep(k)?X1(k)，Yop(k)?jX2(k) 进行N点IDFT得到
2－29
数字信号处理学习拓展
y(n)?IDFT?Y(k)??Re?y(n)??jIm?y(n)? 由DFT的共轭对称性
n?0,1,,N?1
1??y(n)?y(n)??IDFT?Yep(k)??x1(n) ????21y(n)?y?(n)? jIm?y(n)????Yop(k)???jx2(n) ???IDFT?2 Re?y(n)??③由x1(n)和x2(n)定义得x(n)。
2－50 一个3000点的序列输入一个线性时不变系统，该系统的单位脉冲响应长度为60。为
了利用快速傅里叶变换算法的计算效率，该系统用128点的离散傅里叶变换和离散傅里叶反变换实现。如果采用重叠相加法，为了完成滤波器运算，需要多少DFT？ 解： 采用重叠相加法，将x(n)分成若干个长度为M的不重叠的序列xi(n)。若h(n)的长
度为L，则xi(n)?h(n)的长度为L?M?1，所以DFT变换的长度N?L?M?1。由题设，N?128，L?60，x(n)必须分成长度为M的序列：
M?N?L?1?69
x(n)的长度为3600点，所以共有44个序列（其中最后一个序列仅有33个非零值）。
为了计算卷积共需要： 1． 2． 3．
一个DFT用于计算H(k)。 44个DFT用于?i(k)的计算。
44个用于?i(k)??i(k)H(k) IDFT变换的计算。
一共需要45个DFT变换和44个IDFT变换。 2-51 已知信号x(t)=e-t10[cos(10t)+cos(12t)]u(t)，用DFT分析信号的频谱。
解：利用MATLAB分析信号的频谱画出频谱图如题2-51图所示：
N1=128;N2=512;
ws=100;w1=10;w2=12; fs=ws/(2*pi);
n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;
xn1=exp(-n1/10).*(cos(w1/ws*n1)+cos(w2/ws*n1));8点有效x(n)数据 %在128点有效数据不补零情况下的分辨率演示 xk11=fft(xn1,N1);
mxk11=abs(xk11(1:N1/2)); figure(1);
2－30
数字信号处理学习拓展
subplot(211);plot(n1,xn1);
xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=127');axis([0,128,-3,3]); k1=(0:N1/2-1)*fs/N1; subplot(212); plot(k1,mxk11);
xlabel('频率 单位rad/s');title('X1(k)的幅度谱');
%在128点有效数据且补零至512点情况下分辨率演示 xn2=[xn1,zeros(1,N2-N1)]; xk12=fft(xn2,N2);
mxk12=abs(xk12(1:N2/2)); figure(2);
subplot(211);plot(n2,xn2);
xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=511');axis([0,512,-3,3]); k2=(0:N2/2-1)*fs/N2; subplot(212); plot(k2,mxk12);
xlabel('频率 单位Hz');title('X1(k)补零后的幅度谱'); %%在512点有效数据下分辨率演示
xn3=exp(-n2/10).*(cos(w1/ws*n2)+cos(w2/ws*n2));;Q2点有效x(n)数据 xk2=fft(xn3,N2);
mxk3=abs(xk2(1:N2/2)); figure(3);
subplot(211);plot(n2,xn3);
xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=511');axis([0,512,-3,3]); k3=(0:N2/2-1)*fs/N2; subplot(212); plot(k3,mxk3);
xlabel('频率 单位rad/s');title('512点有效数据的幅度谱'); 运行结果如题2-51图：
2－31
数字信号处理学习拓展
2－32
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题2-51图 频谱图
2－52 设模拟信号xa(t)?cos(2??1000t??)，以时间间隔Ts?0.25ms进行均匀采样，
假设从t?0开始采样，共采样N点。
（1）求采样后序列x(n)的表达式和对应的数字频率。 （2）在此采样下?值是否对采样失真有影响？
（3）对x(n)进行N点DFT，说明N取哪些值时，DFT的结果能精确地反映x(n) 的频谱。
（4）若要求DFT的分辨率达到1Hz，应该采样多长时间的数据？ 解： （1）采样后序列x(n)的表达式为
x(n)?xa(t)t?nT?cos(2??1000?nTs??)?cos(0.5?n??)
s其对应的数字频率w?0.5?。 （2）因为采样频率
fs?1?4000Hz?4f0 Ts因此保证在一个周期内抽样四点（三点以上），无论?取何值，根据抽样定理，都可以由x(n)准确重建xa(t)。
（3）对x(n)进行DFT，要DFT的结果能精确地反映x(n)的频谱，根据fs?4f0，所以当N?4m (m?1,2,（4）因为分辨率为
)时，就可以保证DFT结果的精确。
2－33
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fs1? NT因此若要求DFT的分辨率达到1Hz，应该采样T?1 s多的数据。
?f?2－53 用微处理机对实数序列做谱分析，要求谱分辨率F?50Hz，信号最高频率为
1kHz，试确定以下各参数：
（1） 最小记录时间Tp,min； （2） 最大取样间隔Tmax； （3） 最少采样点数Nmin；
（4） 在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。 解： （1）已知F?50Hz TP,min?（2）Tmax?11??0.02s F501fsminTpT??11??0.5ms 2fmax2?103（3）Nmin?0.02s?40 ?30.5?10（4）频带宽度不变意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频带分辨率提高1倍。
2－54 以20kHz的采样率对最高频率为10kHz的带限信号xa(t)采样，然后计算x(n)的
N?1000个采样点的DFT，即
X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN，N?1000
（1）k?150对应的模拟频率是多少？ k?800呢？ （2）频谱采样点之间的间隔是多少？
解： （1）采样率?s?2?Ts?2?(20?103)，离散频率?与模拟频率?的关系是：
?。N点DFT是对DTFT在N个频率点上的采样：
200002?k k?0,1,,N?1 ?k?N????s，或??所以，X(k)对应的模拟频率为
?k?20000， ?k?2?20000k N 2－34
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或
fk?20000k NN?1000时，序号k?150对应f?3kHz。
对于k?800要特别注意，因为X(ej?)具有周期性： X(ej?)?X(ej(??2?))
k?800对应的频率为
?k?2?2??k?N???2002? k?NNNN?1000，?k??0.4?。对应的模拟频率为
?k??0.4??20000??8000? 或
（2）频谱采样点之间的间隔为
?f?
fk??4000Hz
20000?20Hz N 2－35