正方形与全等模型(含答案) 下载本文

考点: 专题: 分析: 全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的判定与性质. 数形结合. 延长CB过点D作CB延长线的垂线,交点为F,过点O作OM⊥CF,先证明RT△ACB≌RT△BFD,然后分别表示出OM、CM的长度,在RT△OCM中利用勾股定理可得出答案. 解答: 解:延长CB过点D作CB延长线的垂线,交点为F,过点O作OM⊥CF, 则可得OM是梯形ACFD的中位线, ∵∠ABC+∠FBD=∠CAB+∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠FBD, 在RT△ACB和RT△BFD中, ∵, ∴RT△ACB≌RT△BFD, ∴AC=BF,BC=DF, 设AC=x,则OM=,CM==, =在RT△OCM中,OM+CM=OC,即2(2222)点评: =18, 解得:x=4,即AC的长度为4. 故选C. 此题考查了正方形的性质、勾股定理、梯形的中位线定理、全等三角形的判定和性质,解答本题的关键是正确作出辅助线,构造全等三角形,难度较大. 16.如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,以AE为边作正方形AEFG. (1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE; (2)连接FC,求证:∠FCN=45°;

(3)请问在AB边上是否存在一点Q,使得四边形DQEF是平行四边形?若存在,请证明;若不存在,请说明理由.

考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定. 证明题;开放专题: 分析: 解答: 型. (1)根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE,再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE; (2)过F作BN的垂线,设垂足为H,首先证△ABE、△EHF全等,然后得AB=EH,BE=FH;然后根据AB=BC=EH,即BE+EC=EC+CH, 得到CH=BE=FH,即可得证. (3)在AB上取AQ=BE,连接QD,首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等,易证得AG、QD平行且相等,又由于AG、EF平行且相等,所以QD、EF平行且相等,即可得证. 证明:(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形, ∴DA=BA,EA=GA,∴∠BAD=∠EAG=90°, ∴∠DAG=∠BAE,∴△ADG≌△ABE; (2)过F作BN的垂线,设垂足为H, ∵∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠HEF, ∵AE=EF,∴△ABE≌△EHF,∴AB=EH,BE=FH, ∴AB=BC=EH,∴BE+EC=EC+CH,∴CH=BE=FH,∴∠FCN=45°; (3)在AB上取AQ=BE,连接QD, ∵AB=AD,∴△DAQ≌△ABE, ∵△ABE≌△EHF, ∴△DAQ≌△ABE≌△ADG,∴∠GAD=∠ADQ, ∴AG、QD平行且相等, 又∵AG、EF平行且相等,∴QD、EF平行且相等, ∴四边形DQEF是平行四边形. ∴在AB边上存在一点Q,使得四边形DQEF是平行四边形.