正方形与全等模型

1．（垂直相等）如图，在正方形ABCD中．

（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由； （2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQ⊥MN成立吗？为什么？

2．（三垂）如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D，AM⊥MN于M，CN⊥MN于N，BR⊥MN于R． （1）求证：△ADM≌△DCN： （2）求证：MN=AM+CN；

（3）试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想． 3．（三垂）如图，在平的直角坐标系中，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线y=在第一象限经过点D．求双曲线表示的函数解析式．

4．（三垂）如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（ ）

A． 70 144 B．7 4 C． D．1 48 5．（三垂）如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC，OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点B在双曲线y=﹣上，直线y=kx﹣k（k＞0）交y轴与F．

（1）求点B、E的坐标；

（2）连接BE，CF交于M点，是否存在实数k，使得BE⊥CF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；

（3）F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化．若变化，求出变化的范围；若不变，求其值．

6．（对角互补）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AB、BC上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为 _________ cm．

7．（对角互补）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为 _________ ；

（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明； （3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为 _________ ；位置关系为 _________ ．

8．（对角互补）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．

（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；

（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．

9．（对角互补）如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP=，Q为CD中点，则下列结论： ①∠PBC=∠PQD；②BP=PQ；③∠BPC=∠BQC；④正方形ABCD的面积是16； 其中正确结论的个数是（ ）

A． 4 2 B．3 C． D．1 10．（对角互补）如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立；

（1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由； （2）如图（3）将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写出

的值．

11．（对角互补）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④中一定成立的是（ ） ①②③ ④ A． B．① ②为定值．其

②③④ C． ③④ D．① ② 12．（等角共顶点）（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC边上一点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．可猜想线段CF，BD之间的数量关系是 _________ ，位置关系是 _________ ；

（2）当点D在线段BC的延长线时，如图②，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立，说明理由．

13．（等角共顶点）已知点O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD． （1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果； （2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由．

14．（等角共顶点）以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：

（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

15．（等角共顶点）在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=则AC的长为（ ） A． 2 4 B．3 C． D． ，

16．（等角共顶点）如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接FC，求证：∠FCN=45°；

（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．