锲而不舍，方能水滴石穿！

平行线的判定与性质（二）

（拓展训练）

一、【基础知识精讲】

一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面：

1. 由角定角

性质 判定 已知角的关系 两直线平行 确定其它角的关系

2. 由线定线

判定 性质 已知两直线平行 角的关系 确定其它两直线平行 二、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析：

1. 由因导果（综合法）：

即——从已知条件出发，推出相应的结论。 2. 执果溯因（分析法）：

即——要得到结论需要具备什么条件。

所以：解题时，我们即要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与未知的转化与沟通。

三、简单的面积问题：

1. 计算图形面积的常用方法：① 和差法 ② 运动法 ③ 等积变形法

2. 求图形面积的常用技巧： 寻找共高或共底的三角形。

二、【例题精讲】

例1 已知O为平面上一点，过O在这个平面上引2005条不同的直线l1、l2、l3、…l2005，

则可形成 对以O为顶点的对顶角。 （山东省竞赛题）

变式训练：1. 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有 对同旁内角。 （第17届江苏省竞赛题）

2. 在同一平面内有2002条直线a1、a2、…a2002，如果a1⊥a2, a2∥a3、 a3⊥a4、a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是 。

例2 如图，某人从A点出发，每前进10米，就向右转18°，

A 再前进10米，又向右转18°，这样下去，他第一次回到

A 18o A2 118o 1

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出发地A点时，一共走了________米．

变式训练：

1. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过， 如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°， A 第三次拐的角是∠C，这时恰好和第一次拐弯之前的道路 C B 平行，则∠C= ．

2． 一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）．

（A）第一次向左拐30°，第二次向右拐30° （B）第一次向右拐50°，第二次向左拐130° （C）第一次向右拐50°，第二次向右拐130° （D）第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

例3 如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，

求 ∠A的度数． A D E 1 2 A? B C

变式训练：1.如图, 已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6. D E C 求证: AD∥BC. 6 4

F

2 5 1 3

A B

C 2．如图2—95，已知CD⊥AB于D，EF⊥AB于F， ∠DGC=105°，∠BCG=75°，求∠1+∠2的度数． G E 1

2

A D F B

例4 如图，将长方形ABCD纸片沿BD折叠，使点C落在C?处， A B

BC?交AD于点E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的

E 2

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情况下，图中45°的角有（ ）． （虚线也视为角的边） （A）6个 （B）5个 （C）4个 （D）3个

C

D

C?

变式训练：如图 ①，已知长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图案②，

再沿BF折叠成图案③，则③中的∠CFE的度数是__________。

A E A A E D D E C F B G B G F C F C B ② ① ③ D

（2009 深圳）

例5. 如图，已知M是AB的中点，N是BC上的一点,CN=2BN, A 连接AN交MC于O点，若四边形BMON的面积为14cm2.

求：（1）CO:OM的值。 M O （2）⊿ABC的面积

B N

变式训练：如图,已知⊿ABC的面积是60，BE:CE=1:2，AD:CD=3:1， 求四边形ECDF的面积。 D A 过点D做AE的平行线DG，交BC于点G ∵AD:DC=3:1 且S△ABC=60 ; CE:BE=2:1 且S△ABC=60 ∴S△CDB=15 ; S△CAE=40 在△CAE中 ∵DG//AE 且AD:DC=3:1 ∴DG:AE=1:4 ; CG:GE=1:3 ∴S△CDG:S△CAE=(DG:AE)2=(1:4)2=1:16 ; GE=(3/4)CE ∴S△CDG=5/2 在△CDB中 ∵S△CDG=5/2 且S△CDB=15 ∴S△DGB=15-(5/2)=25/2 C

C E F B 3

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∵GE=(3/4)CE 且CE:BE=2:1

∴GE:BE=3:2 即BE:GE=2:3 即BE:BG=2:5

在△DGB中 ∵FE//DG 且BE:BG=2:5 ∴S△BFE:S△DGB=(BE:BG)2=(2:5)2=4:25 而S△DGB=25/2 ∴S△BFE=2

S四边形DFEG=S△DGB-S△BFE=(25/2)-2=21/2

S四边形ECDF=S四边形DFEG+S△CDG=(21/2)+(5/2)=13

【中考在线】

1. 如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，EF交AB于点G，交CA的延长线于点E，且∠1=∠2．AD平分∠BAC吗？说说你的理由． E 2 A 1 G

B F D C

2. 如图，若AB∥CD，∠1=∠2，则∠E=∠F，为什么？ B 1 A

E

F D 2 C

3．如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．）

（1）当动点P落在第①部分时，试说明：∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？

（直接回答成立或不成立）

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