1x2又{vn(x)}单调减，且由0≤≤→0(n→∞)知，vn(x)?0 (n→∞)， 2nn(1?x)(-1)n-1x2由狄利克雷判别法知?在R上一致收敛. 2n(1?x)(3)?|x|>r>1, 有∴?un?1n?11nnn<,记u=,则=→<1 (n→∞)， nnnnunxrnrrrnn收敛，∴在|x|>r>1上一致收敛. ?nnrx1xn1xn(4)?x∈[0,1], 有2≤2, 又?2收敛，∴?2在[0,1]上一致收敛.

nnnn(5)方法一：记un(x)=(-1)n-1, vn(x)=

n1，则对任意的x∈R，有 x2?n|?uk(x)|≤1, (n=1,2,…)，即{un(x)}的部分和函数列在R上有界；

k?1又{vn(x)}单调减，且由0<

11≤→0(n→∞)知，vn(x)?0 (n→∞)， nx2?n(-1)n-1由狄利克雷判别法知?2在R上一致收敛.

x?n(-1)k-1112方法二：|?2|≤2+2≤.

nx?n?1x?n?pk?n?1x?kn?p2??ε>0，只要取N=???，则当n>N及任意自然数p，就有

?ε?(-1)k-1(-1)n-1|?2|<ε，由柯西准则知，?2在R上一致收敛.

x?nk?n?1x?kn?p(-1)n-1方法三：由莱布尼兹判别法知，对R上的任意一点x，?2收敛.

x?n1(-1)n-1supRn(x)=lim又nlim=0，∴?2在R上一致收敛. ??∞x?Rn??∞n?1x?n

(6)当x≠0时，该函数项级数的部分和函数

1x2x222

Sn(x)=x++…+=1+x-→1+x=S(x) (n→∞)， 2n-122n-1(1?x)1?x(1?x)2

∴sup|Rn(x)|=supx?Rx?R1=1→ 0 (n→∞)， /

(1?x2)n-1x2∴?在R上不一致收敛. 2n-1(1?x)

4、设函数项级数?un(x)在D上一致收敛于S(x)，函数g(x)在D上有界. 证明：级数?g(x)un(x)在D上一致收敛于g(x)S(x).

证：可设|g(x)|≤M，x∈D. ∵?un(x)在D上一致收敛于S(x)， ∴?ε>0，?N>0，当n>N时，对一切x∈D，都有|?uk(x)-S(x)|<

k?1nε. M∴|?g(x)uk(x)- g(x)S(x)|=|g(x)|·|?uk(x)-S(x)|< ε. 得证！

k?1nnk?1

5、若区间I上，对任何正整数n，|un(x)|≤vn(x)，证明： 当?vn(x)在I上一致收敛时，级数?un(x)在I上也一致收敛. 证：∵|un(x)|≤vn(x)，∴?|un?k(x)|≤?vn?k(x).

k?1k?1pp又?vn(x)在I上一致收敛，∴?ε>0，?N>0，当n>N时， 对一切x∈I和一切自然数p，都有|?vn?k(x)|<ε.

k?1p∴|?un?k(x)|≤?|un?k(x)|≤?vn?k(x)≤|?vn?k(x)|<ε，得证！

k?1k?1k?1k?1pppp

6、设un(x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数，证明：

若?un(a)与?un(b)都绝对收敛，则?un(x)在[a,b]绝对且一致收敛. 证：∵un(x)(n=1,2,…)在[a,b]上单调，∴|un(x)|≤|un(a)|+|un(b)|， 又?|un(a)|与?|un(b)|都收敛，∴正项级数?(|un(a)|?|un(b)|)收敛； 根据优级数判别法知，?un(x)在[a,b]绝对且一致收敛.

7、证明：{fn} 区间I上内闭一致收敛于f的充要条件是：

对任意x0∈I，存在x0的邻域U(x0)，使{fn}在U(x0)∩I上一致收敛于f. 证： [必要性]设{fn} 区间I上内闭一致收敛于f，

对任意x0∈I，任意邻域U(x0)∩I?I，根据内闭一致收敛的定义， {fn}在U(x0)∩I上一致收敛于f.

[充分性]设任意x0∈I，存在x0的一个邻域U(x0)， 使得{fn}在U(x0)∩I上一致收敛于f，即 对一切x∈I，{fn}一致收敛于f，

∴{fn}在I上一致收敛，从而内闭一致收敛.

1?1，x??n，证明： 8、在[0,1]上定义函数列un(x)=?n1?0， x?n?级数?un(x)在[0,1]上一致收敛，但它不存在优级数.

11?1x??0???0?，?n?1n?1n?1?111?0?x????0?，pn?2， n?2n?2证：∵|?un?k(x)|=????k?1?111?0????，x?n?pn?pn?p???0?0?0???0?0，其它点∴当0≤x<1时，恒有|?un?k(x)|<，

k?1p1n于是?ε>0，取N=[]，则当n>N时，

对一切x∈[0,1]和一切自然数p，都有|?un?k(x)|<ε，

k?1p1ε∴级数?un(x)在[0,1]上一致收敛.

若?un(x)在[0,1]上存在优级数?Mn，取x=，则

Mn≥|un(x)|=|un()|=>0. 由?Mn收敛知?收敛，不合理! ∴?un(x)不存在优级数.

9、讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上的一致连续性： (1)?1-2nx+n, D=[-1,1]；(2), D=R； 2sin?2222n3n?2(x?n)[x?(n-1)]?1n1n1n1nxnx2+

(3)?, D=R；(4)?, D=[-1,0]； 22[1?(n-1)x](1?nx)n?x2n?1sinnx(5)?(-1), D=(-1,1)；(6)?, D=(0,2π).

2n?1nn?1n解：(1)∵

111-2k11=<≤； ??22222222222x?nnx?(n?p)x?nk?n?1(x?k)[x?(k-1)]1εn?p∴?ε>0，取N=[都有

n?p]+1，当n>N时，对一切x∈[-1,1]和一切自然数p，

1-2k<ε，∴原级数在[-1,1]上一致收敛. ?2222k?n?1(x?k)[x?(k-1)](2)对任意自然数n，取xn=?3n∈R+，有|2nsin∵原级数在R+上不一致收敛. (3)Sn(x)=??π2xn|=2→ 0 (n→∞)， /n3?111?=1-→1(n→∞)， ?222?1?nx1?kx?k?1?1?(k-1)xn