第十三章 函数列与函数项级数
1 一致收敛性
一、函数列及其一致收敛性
概念：设f1,f2,…,fn,…是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，也可以简单地写作{fn}或fn, n=1,2,…. 设x0∈E，以x0代入函数列可得数列：f1(x0),f2(x0),…,fn(x0),…. 若该数列收敛，则称对应的函数列在点x0收敛，x0称为该函数列的收敛点. 若数列发散，则称函数列在点x0发散. 若函数列在数集D?E上每一点都收敛，则称该函数列在数集D上收敛. 这时D上每一点x都有数列{fn(x)}的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为原函数的极限函数. 若把此极限函数记作f，则有
n??∞limfn(x)=f(x), x∈D，或fn(x)→f(x) (n→∞), x∈D.
使函数列{fn}收敛的全体收敛点集合，称为函数列{fn}的收敛域.
函数列极限的ε-N定义：对每一个固定的x∈D，任给正数ε， 恒存在正数N(ε,x)，使得当n>N时，总有|fn(x)-f(x)|< ε.
例1：设fn(x)=xn, n=1,2,…为定义在R上的函数列，证明它的收敛域是(-1,1]且有极限函数f(x)=??0，|x|?1.
?1，x?1 证：任给正数ε<1, 当|x|<1时，∵|fn(x)-f(x)|=|x|n， ∴只要取N(ε,x)=
lnε，当n>N时，就有|fn(x)-f(x)|< ε. ln|x|当x=0或x=1时，对任何正整数n，都有|fn(x)-f(x)|=0< ε. ∴fn(x)在(-1,1]上收敛，且有极限函数f(x) =??0，|x|?1.
?1，x?1 又当|x|>1时，有|x|n→∞ (n→∞)，当x=-1时，对应的数列为： -1,1,-1,1…发散. ∴函数列{xn}在(-1,1]外都是发散的. 得证！
例2：证明：函数列fn(x)=
sinnx, n=1,2,…的收敛域是R，极限函数f(x)=0. nsinnx11≤，∴任给ε>0，只要n>N=, nnε证：∵对任意实数x，都有就有
sinnx?0< ε，得证！ n定义1：设函数列{fn}与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N，使得当n>N时，对一切x∈D，都有 |fn(x)-f(x)|< ε，则称函数列{fn}在D上一致收敛于f，记作 fn(x)?f(x) (n→∞), x∈D.
注：反之，若存在某正数ε0，对任何正数N，都有D上某一点x’与正整数n’>N，使|fn(x’)-f(x’)|≥ε0，则函数列{fn}在D上不一致收敛于f. 如：例1中的函数列{xn}在(0,1)上收敛于f(x)=0，但不一致收敛.
1?11?∵令ε0=，对任何正数N，取正整数n>N+1及x’=???∈(0,1)，
122?n?则有|x’2 -0|=1-≥. ∴函数列{xn}在(0,1)上不一致收敛于f(x)=0.
1n12函数列一致收敛于f的几何意义：对任何正数ε，存在正整数N，对于一切序号大于N的曲线y=fn(x)，都落在以曲线y=f(x)+ ε与y=f(x)- ε为边(即以y=f(x)为“中心线”，宽度为2ε)的带形区域内(如图1).
(图1)
(图2)
函数列{xn}在(0,1)内不一致收敛，即对于某个事先给定的正数ε<1， 无论N多么大，总有曲线y=xn(n>N)不能全部落在以y=ε与y=-ε为边的带形区域内(如图2). 若函数列{xn}只限于在区间(0,b) (b<1)内讨论，则只要n>
lnε(其中0<ε<1)，曲线y=xn就全部落在y=ε与y=-ε为边的lnb带形区域内，所以{xn}在区间(0,b)内一致收敛.
定理13.1：(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{fn}在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给ε>0，总存在正数N，使得当n,m>N时， 对一切x∈D，都有|fn(x)-fm(x)|< ε.
证：[必要性]若fn(x)?f(x) (n→∞), x∈D，则?ε>0，?正数N， 使得当n,m>N时，对一切x∈D，都有|fn(x)-f(x)|<及|fm(x)-f(x)|<∴|fn(x)- fm(x)|≤|fn(x)-f(x)|+ |fm(x)-f(x)|<+= ε. [充分性]若|fn(x)-fm(x)|< ε, 则由数列收敛的柯西准则知， {fn}在D上任一点都收敛，记其极限函数f(x)，则有
ε2ε2ε2ε. 2m??∞lim|fn(x)-fm(x)|=|fn(x)-f(x)|<ε，由定义1知fn(x)?f(x) (n→∞), x∈D.
定理13.2：函数列{fn}在区间D上一致收敛于f的充要条件是：
n??∞x?Dlimsup|fn(x)-f(x)|=0.
证：[必要性]若fn(x)?f(x) (n→∞), x∈D，则
?ε>0，?正整数N，当n>N时，有|fn(x)-f(x)|<ε, x∈D.
sup|fn(x)-f(x)|=0. 由上确界定义，有sup|fn(x)-f(x)|≤ε. ∴nlim??∞x?Dx?Dsup|fn(x)-f(x)|=0，则?ε>0，?正整数N， [充分性]若nlim??∞x?D使得当n>N时，有sup|fn(x)-f(x)|<ε. 又对一切x∈D，总有
x?D|fn(x)-f(x)|≤sup|fn(x)-f(x)|<ε，∴{fn}在D上一致收敛于f.
x?D
推论：函数列{fn}在D上不一致收敛于f的充要条件是： 存在{xn}?D，使得{fn(xn)-f(xn)}不收敛于0.
例3：设fn(x)=nxe-nx, x∈D=R+,n=1,2,….判别{fn(x)}在D上的一致收敛性.
2解法一：对任意x∈R, limnxen??∞+
-nx2n-2n2x2=0=f(x). 又当f’n(x)==0时， 2ex=
12n，且f”(
12n)=-
2n2n<0， e22∴在R+上，每个nxe-nx只有一个极大值点xn=
limsup|fn(x)-f(x)|=limfn(xn)=limn??∞12n，而
n??∞x?Dn??∞n=+ ∞≠0， 2e∴{fn(x)}在D上不一致收敛于f.