(2)过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，(在第一象限)，且是线段

交椭圆于点.

的中点.过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长①设直线②求直线

、

的斜率分别为

，证明为定值; 的方程.

斜率取最小值时，直线

【答案】（1）【】 【分析】 (1) 利用长轴长为

（2）①详见②

，离心率为分别求出的值，再求出的值，即可求出椭圆方程；(2)

的坐标，分别求出

的

① 设出的坐标，表示出直线方程，联立方程组，求出直线的值即可.

【详解】（1）由题意得：所以

，

，

. ，（的斜率，所以为定值，

，直线，整理得

. ，

，

的斜率，作比即可；②设出

的斜率的式，根据不等式的性质计算出的最小值，再求出

故椭圆方程为（2）①设所以直线此时②设联立

），由，直线

，可得的斜率

，

的方程为，直线的方程为.

，

由，可得，

同理，.

所以，，

，

所以由由

，，

此时由

得，

，即

， ，所以

，可知，

，所以在椭圆：

，

，当且仅当上得

时取得等号. ，

时，的方程为

符合题意.

.

所以直线的斜率最小时，直线

【点睛】本题主要考查椭圆的方程，椭圆的定值问题、最值问题，以及直线圆椭圆的位置关系，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 20.已知函数(1)求(2)当(3)求证：

在

，

处的切线方程；

在

上的最大值；

.

时，求

的极大值小于1.

；（2）故当

；当

时，

时，；（3）详见.

；当

时，

【答案】（1）

【】 【分析】

(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率再由点斜式可得结果；(2)求出式，求出

，分别令

可得函数

增区间，令

可得函数

的

的减区间，分类

，两次求

讨论，根据函数的单调性可求出的最大值；(3)求出函数的导数

导可判断函数的单调性，利用单调性求出函数的极值，判断即可. 【详解】（1）∵

，

∴即（2）在区间在区间故当当当（3）

，∴

，

在处的切线方程为，

，（

上，上，时，时，时，

在

在

），令，函数，函数上递减，

是增函数；

，得，

是减函数；

. . .

，

先增后减，故上递增，此时，令

，则函数，所以存在唯一的

当当其中函数

时，时，，所以函数的极大值是

，所以函数有极大值.

，由

在，

上单调递减，，

的单调递增区间是，单调递减区间是，

，得，

所以所以

的极大值小于1.

，因为，所以，即，

【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.