若真假，则，解得；

若假真，则，解得或.

所以，综上所述：的取值范围为.

【点睛】本题通过判断或命题、且命题真假，综合考查双曲线的方程以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.

16.某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭.在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额.为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为

，

，

，

，

，

其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：

（1）求的值； （2）求余额不低于

元的客户大约为多少人？

（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？(用组中值代替各组数据的平均值)． 【答案】（1）【】 【分析】

(1)由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出的值；(2) 由直方图的性质求得余额在

之间的频率为

，由此能估计余额不低于900元的客户数量；（3）利用频率分布（2）300人（3）765元

直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，能求出客户人均损失的估计值.

【详解】（1）由（2）余额在

，解得.

之间的频率为0.1，故可估计余额不低于900元的客户大约为（人）.

（3）客户人均损失的估计值为：

（元）.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 17.在平面直角坐标系

中，直线

，

.

(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由; (2)已知点

，若直线上存在点满足条件

；（2）

或

，求实数的取值范围. .

【答案】（1）过定点，定点坐标为【】 【分析】

(1) 假设直线过定点(2)直线上存在点

，则,求得

关于 ,故点在以

恒成立，利用即可结果；

为圆心，2为半径的圆上，根据

题意，该圆和直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）假设直线过定点则关于∴

，即

恒成立， ，∴

，

， ，

,∴

， 上，

与圆

有公共点，

，

所以直线过定点，定点坐标为（2）已知点则∵所以点又点

,∴

,，

，设点

的轨迹方程为圆在直线：

所以直线：

设圆心到直线的距离为，则解得实数的范围为

或

.

，

【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.

18.2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心，，，均在圆弧上，

、之间的距离为于点．设

米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点.

当 (2)求

时,求喷泉的面积;

的面积最大?.

为何值时，可使喷泉

【答案】（1）【】 【分析】

平方米（2）

（1）利用直角三角形的性质求出,即可求出喷泉的面积

； (2)要构造矩形的面积关于角的函数，需要利用三角函数把矩形的长和宽用角表示出来，进而利用矩形的面积公式表示面积,然后利用导数求函数的最值，在求解时要注意角的取值范围.

【详解】（1）在直角则所以答：矩形（2）在直角所以矩形

的面积为

中，的面积

平方米. ，

，则

，

，

,

中，

(平方米) ，

，

令则令设

列表如下： 所以当此时答：当

为时，

，得

，且

，，

，

.

+ ↗ 0 极大值 - ↘ 最大，即最大.

时，喷泉的面积最大

极值与

【点睛】本题主要考查三角函数的应用以及利用导数求最值，属于中档题. 求函数最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数内的所有根；(4) 列表检查减），那么

在

；(3) 解方程

求出函数定义域

的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右

在处取极小值. （5）

在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么

如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 19.已知椭圆

的长轴长为

，离心率为

.

(1)求椭圆的方程；