Abstract

Mathematics is a subject to study the real world space form and the quantity relation subject, has the characteristics of high abstraction, to cultivate students' logical thinking ability as the core. High school students in the face of many mathematical problems tend to be at a loss what to do, to reflect the feeling subject information complex, abstract and difficult to image in the brain system, students do not know how to start.

As the two major research object of mathematics is the number and shape, but they are not isolated from the mathematical problems. With the reasonable, effective to simplify the complex problem, the abstract problem, thus solving the problem. We introduce several form combining ideas, this paper focuses on methodology of number shape combination and in improving the students' ability of solving problems.

Keywords: Application raise The combination of number and shape The ability of solving problems

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第一章 绪论

1.1 数形结合思想的发展概况

中国流传至今的一部最早的数学著作——《周髀算经》记载：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）。在《周髀算经》上卷一[1] —昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于 九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共 盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”提出并证明了勾股定理。

早在500年前的古希腊数学中，几何已经得到优先的发展，这时的数学家常常用几何图形的性质去研究数的性质。毕达哥拉斯学派曾用沙滩上的点子和小石子排列的形状来把数进行分类，其称1、3、6、10......这些数为三角形数，1、4、9、10......这些数为正四边形数，因为用点表示时可以把它们分别摆成三角形和正方形，在非质数中凡恰好不是三角形数的则叫长方形数，此外、还有五边形数、六边形数等。并将几何和代数结合证明了勾股定理。古希腊亚历山大里亚时期的欧几里得取得前期学者研究成果之精华采用公理化的方法撰写了千古流芳的著作——《几何原本》，揭开了人们从几何研究上去处理等价代数问题的序幕。在代数发展的漫长岁月中，数形结合思想促进了代数的发展，当数学家们从解三次方程推广到解高次方程时，几何对代数的帮就助显得力不从心了。经过十六、七世纪数学家的努力人们开始尝试用代数解决几何作图问题，这一时期的代表人物笛卡尔将几何中结构的问题转化为代数结构问题，即几何概念代数表示、代数语言以几何解释。这样不仅直观的掌握了题目语言的意义，也可以启发得到新的结论。扭转了欧几里得几何中过多依附于图形、过于抽象、人们在想象力疲乏的情况下去练习理解力的弊端。充分体现了十七世纪数形结合思想的先进性。

我国近代著名数学家华罗庚也曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把

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数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．

1.2 数形结合思想的理论及实际意义

根据中学生思维发展的特点，思维的片面性和表面性依然存在，抽象逻辑思维已具有充分的假设性、预计性及内省性；形式逻辑思维处于优势，辩证逻辑思维、抽象逻辑思维迅速发展的时期，学生在解决诸多抽象的数学问题时，思维常常会疲倦不堪，表现得难以入手。在数学与应用数学的学习中我们引入数形结合思想。 即“数”与“形”的结合、“数”与“形”的相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题几何化、几何问题代数化，使抽象思维和形象思维有机结合。在高考中无论是数学学科还是物理以及其他学科均有对数形结合思想的考查，而且在教学中要求必须掌握。这说明了数形结合方法在数学教学中具有重要的价值。应用“数形结合”能训练学生的创造性思维能力、发散性思维能力以及辩证性思维能力。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。

在素质教育的背景下，数学教学的关键是加强数学思想方法的教学，因为数学思想方法作为数学知识的精髓，它既是数学中的深层次的基础知识，又是解决问题和思维策略。数学思想方法掌握的深、浅度，直接关系到能否顺利或比较简捷地解决问题；关系到是否深刻地对数学知识本质认识，数学规律的理性认识；关系到是否能把某些数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点加以应用。而这些数学知识的掌握是以解题思维能力作为起点的。因此，在中学数学教学中，应该引导学生选择合理、有效的方法来提高解题速度和效率，注重培养学生解题能力，而数形结思想作为一种数学思想方法尤为重要。

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第二章 数形结合思想与数学教学

2.1 数形结合思想在教学中的作用

数形结合方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找解题方法具有指导性的作用。可对问题进行正确的分析、比较、合理的联想，逐步形成正确的解题思路，同时引导学生对抽象概念给以形象化、具体化的理解和记忆提高数学认知能力，培养学生学习数学的兴趣。总的来说可以分为如下几点：

首先，由于数学课堂表现枯燥，诸多学生表现出了一定厌学情绪，数形结合思想可以有效激发学生的学习动机，培养学生学习的兴趣。其次，对于学生在数学定理、定义、性质的理解和记忆上有很大的帮助。比如二次函数、三角函数、指数函数等，其定义域、值域，单调性、单调区间可以使用图像形象而直观的记忆。再次，数形结合思想还可以使学生更容易对问题的理解，培养学生的想象力。

2.2数形结合思想的特点

作为一种重要的数学思想方法,能很好地把各部分内容联系起来,并贯穿于中学数学的整体思路中.结合教学实践,通过在基本知识的教学和基本题目的求解中不断地渗透数形结合思想,数的精确与形的直观相辅相成，能简化难点知识，对培养学生的逻辑思维,提高学生的解题能力是一种不可或缺的思想方法

2.3 如何用应用数形结合思想

1、注重化数为形，在理解题目信息的基础上、合理有效的将三角问题或代数问题等价的转化为几何问题。

2、熟练掌握化形为数，亦即将题中涉及的几何问题合理有效的等价转化为代数问题。

3、数形兼顾，顾名思义即是同时注意代数信息和几何信息有机的结合，以形助数，以数解形，交互应用数字和图形解决问题。

2.4 数形结合思想在数学解题中的基本思路

利用数形结合思路提高学生的解题能力在于三个方面：

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