轴向拉压

1. 等截面直杆CD位于两块夹板之间，如图示。杆件与夹板间的摩擦力与杆件自重保持平衡。设杆CD两侧的摩擦力沿轴线方向均匀分布，且两侧摩擦力的集度均为q，杆CD的横截面面积为A，质量密度为?，试问下列结论中哪一个是正确的？d (A) q??gA； (B) 杆内最大轴力FNmax?ql； (C) 杆内各横截面上的轴力FN?C?gAl2qqDl； (D) 杆内各横截面上的轴力FN?0。

2. 低碳钢试样拉伸时，横截面上的应力公式??FNA适用于以下哪一种情况?d (A) 只适用于?≤?p； (B) 只适用于?≤?e； (C) 只适用于?≤?s； (D) 在试样拉断前都适用。

3. 在A和B两点连接绳索ACB，绳索上悬挂物重P，如图示。点A和点B的距离保持不变，绳索的许用拉应力为[?]。试问：当?角取何值时，绳索的用料最省？ AaB(A) 0?；c (B) 30?； (C) 45?； (D) 60?。

4. 桁架如图示，载荷F可在横梁（刚性杆）DE上自由移动。杆1和杆2的横截面面积均为A，许用应力均为[?]（拉和压相同）。求载荷F的许用值。以下四种答案中哪一种是正确的？b [?]A2[?]A(A) ； (B) ； 23(C) [?]A； (D) 2[?]A。 D1??CPF2aAaCaBaE

5. 设受力在弹性范围内，问空心圆杆受轴向拉伸时，外径与壁厚的下列四种变形关系中哪一种是正确的？ (A) 外径和壁厚都增大； (B) 外径和壁厚都减小； (C) 外径减小，壁厚增大； (D) 外径增大，壁厚减小。b

1 6. 三杆结构如图所示。今欲使杆3的轴力减小，问应采取以下哪一种措施？ (A) 加大杆3的横截面面积； (B) 减小杆3的横截面面积；b (C) 三杆的横截面面积一起加大； (D) 增大?角。

7. 图示超静定结构中，梁AB为刚性梁。设?l1和?l2分别表示杆1的伸长和杆2的缩短，试问两斜杆间的变形协调条件的正确答案是下列四种答案中的哪一种? (A) ?l1sin??2?l2sin?； (B) ?l1cos??2?l2cos?； (C) ?l1sin??2?l2sin?； (D) ?l1cos??2?l2cos?。

8. 图示结构，AC为刚性杆，杆1和杆2的拉压刚度相等。当杆1的温度升高时，两杆的轴力变化可能有以下四种情况，问哪一种正确？ (A) 两杆轴力均减小； (B) 两杆轴力均增大； (C) 杆1轴力减小，杆2轴力增大； (D) 杆1轴力增大，杆2轴力减小。

9. 结构由于温度变化，则： (A) 静定结构中将引起应力，超静定结构中也将引起应力； (B) 静定结构中将引起变形，超静定结构中将引起应力和变形； (C) 无论静定结构或超静定结构，都将引起应力和变形； (D) 静定结构中将引起应力和变形，超静定结构中将引起应力。

10. 图示受力结构中，若杆1和杆2的拉压刚度EA相同，则节点A的铅垂位移ΔAy? ，水平位移ΔAx? 。 11. 一轴向拉杆，横截面为a?b(a﹥b)的矩形，受轴向载荷作用变形后截面长边和短边的比值为 。另一轴向拉杆，横截面是长半轴和短半轴分别为a和b的椭圆形，受轴向载荷作用变形后横截面的形状为 __。

2 132??AF1A??2aaBF1AB2CFaa230?1lAF12. 一长为l，横截面面积为A的等截面直杆，质量密度为?，弹性模量为E，该杆铅垂悬挂时由自重引起的最大应力?max? ，杆的总伸长?l? 。

13. 图示杆1和杆2的材料和长度都相同，但横截面面积A1＞A2。若两杆温度都下降?T，则两杆轴力之间的关系是FN1 FN2，正应力之间的关系是?1 21____?2。（填入符号＜，＝，＞）

题1-13答案：

1. D 2. D 3. C 4. B 5. B 6. B 7. C 8. C 9. B

?gl2Fl3Fla；10. 11. ；椭圆形 12. ?gl， 13. ＞，= EAEA2Eb14. 试证明受轴向拉伸的圆截面杆，其横截面沿圆周方向的线应变?s等于直径的相对改变量?d。 证：?s?π?d??d??πd?d???d 证毕。

πdd

15. 如图所示，一实心圆杆1在其外表面紧套空心圆管2。设杆的拉压刚度分别为E1A1和E2A2。此组合杆承受轴向拉力F，试求其长度的改变量。（假设圆杆和圆管之间不发生相对滑动）

解: 由平衡条件 FN1?FN2?F （1） 变形协调条件

FN1lFl?N2 （2） E1A1E2A2FN1lFl? E1A1E1A1?E2A2Fl21F由（1）（2）得 ?l?16. 设有一实心钢管，在其外表面紧套一铜管。材料的弹性模量和线膨胀系数分别为E1，E2和?l1，?l2，且?l2＞?l1。两管的横截面面积均为A。如果两者紧套的程度不会发生相互滑动，试证明当组合管升温?T后，其长度改变为

?l???l1E1??l2E2?l?T?E1?E2?。

2(铜)1(钢)证：由平衡条件 FN1?FN2 （1）

变形协调条件?l?1??l1??l?2??l2

3

l?l1l?T?FN1lFl??l2l?T?N2 （2） E1A1E2A2l?l1l?T?l1?l2由（1）（2）得 FN1FN2FN1???l2??l1??TE1E2A E1?E2?l2l?T?l??l1l?T?????l1??TE2l??l1E1??l2E2?l??TFN1l??l1l?T?l2? E1AE1?E2E1?E2qlql17. q为均布载荷的集度，试作图示杆的轴力图。 解：

FNqlx18. 如图所示，一半圆拱由刚性块AB和BC及拉杆AC组成，受的均布载荷集度为q?90 kNm。若半圆拱半径R?12 m，拉杆的许用应力[?]?150 MPa，试设计拉杆的直径d。 AqBRC解：由整体平衡 FC?qR 对拱BC FN?R?qR??MB?0 BFBxFByRqR?FC?R?0 2qR FN?2拉杆的直径 d≥4FN?π???2qR?67.70 mm π???FNCFC19. 图示为胶合而成的等截面轴向拉杆，杆的强度由胶缝控制，已知胶的许用切应力???为许用正力???的12。问?为何值时，胶缝处的切应力和正应力同时达到各自的许用应力。 解：????cos2?≤??? F胶缝n?F????sin?cos?≤??? tan??????1胶缝截面与横截面的夹角??26.57 ? ???2

4

20. 图示防水闸门用一排支杆支撑（图中只画出1根），各杆直径为d?150 mm的圆木，许用应力

????10 MPa，设闸门受的水压力与水深成正比，

水的质量密度?=1.0?103 kgm3，若不考虑支杆的稳定问题，试求支杆间的最大距离。(取

g?10 ms2)

4m支杆3m3m解：设支杆间的最大距离为x，闸门底部A处水压力的集度为q0， 闸门AB的受力如图

B1?MA?0，2q0?3?1?4Fcos? F14mF?FN≤???πd2

3m43cos??，q0?3?gx?30x kNm

5q0AFAx得：x?9.42 m

FAy

21. 图示结构中AC为刚性梁，BD为斜撑杆，载荷F可沿梁AC水平移动。试问：为使斜杆的重量最小，斜撑杆与梁之间的夹角?应取何值？

解：载荷F移至C处时，杆BD的受力最大，如图。

Fl FBD?hcos?A≥

FBDhDAl??BFCl????Fl

hcos????FAAx?hFAyDFBDBCF杆BD的体积V?Ah2Fl? sin????sin2?当sin2??1时，V最小即重量最轻，故??π?45 ? 4

22. 图示结构，BC为刚性梁，杆1和杆2的横截面面积均为A，它们的许用应力分别为???1和???2，且???1?2???2。载荷F可沿梁BC移动，其移动范围为0≤x≤l。试求：

(1) 从强度方面考虑，当x为何值时，许用载荷?F?为 最大，其最大值F为多少？ (2) 该结构的许用载荷?F?多大？ 解：(1) 杆BC受力如图

B1xFl2C 5

FN1=???1A，FN2=???2A

FN1BxFFN2ClFmax?FN1?FN2?3???2A?lx?

33???1A2

(2) F在C处时最不利 F?FN2≤???2A 所以结构的许用载荷 ?F?????2A

23. 图示结构，杆1和杆2的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，其拉伸许用应力为???，压缩许用应力为???，且????2???，载荷F可以在刚性梁BCD

????上移动，若不考虑杆的失稳，试求： (1) 结构的许用载荷?F?。 (2) 当x为何值时（0＜x＜2l＝， F的许用值最大，且最大许用值为多少？

解：(1) F在B处时最危险，梁受力如图（1） BxlF1FBCFN1(1)DFN2ClD2?M?MD?0，FN1l?F?2l?0 11?F?FN1≤???A 22llC??0，F?FN2≤???A

?结构的许用载荷 ?F?????A

(2) F在CD间能取得许用载荷最大值，梁受力如图（2）

?Fy?0，FN1?FN2?F?0

B?MF??0，FN1l?FN22l?Fx?0

FCFN1(2)DFN2FN1lFl，F?N2 2l?xx?lBlx?????Al???AlF≤，F≤

2l?xx?ll113l，x? ?22l?xx?lFmax?2A????4A???

??

6

24. 在图示结构中，杆BC和杆BD的材料相同，且受拉和受压时的许用应力相等，已知载荷F，杆BC长l，许用应力???。为使结构的用料最省，试求夹角?的合理值。 解：FN1?F，FN2?Fcot? sin??Fsin????DA1=FN1???，A2=FN2????Fcot???? Cl?BFV?A1lFllFcot??A2l??

???cos?sin?cos????dV ?0，（???0）d?FN1?FN2BF2sin2?0?cos2?0sin?0?2co2s?01??0?0 22222sin?0cos?0sin?0， 即 sin?0cos?0tan?0?2

当?0?54.74 ?时，V最小，结构用料最省。 25. 如图所示，外径为D，壁厚为δ，长为l的均质圆管，由弹性模量E，泊松比?的材料制成。若在q管端的环形横截面上有集度为q的均布力作用，试求受力前后圆管的长度，厚度和外径的改变量。

l?lq解：长度的改变量 ?l?l???

EE厚度的改变量 ?????????????

ED?q外径的改变量 ?D?D??????D??

E

26. 正方形截面拉杆，边长为22 cm，弹性模量E?200 GPa，泊松比??0.3。当杆受到轴向拉力作用后，横截面对角线缩短了0.012 mm，试求该杆的轴向拉力F的大小。

解：对角线上的线应变????0.012??0.0003 40??则杆的纵向线应变????0.001

lqD????q?杆的拉力F??EA?160 kN

7

27. 图示圆锥形杆的长度为l，材料的弹性模量为E，质量密度为?，试求自重引起的杆的伸长量。

1解：x处的轴向内力 FN?x???gV?x???gA?x??x

3杆的伸长量

l?gxdx lF?x?dx l?gA?x??x?gl2N??l????dx?? 0 0 03EA?x?EA?x?3E6El

x28. 设图示直杆材料为低碳钢，弹性模量E?200 GPa，杆的横截面面积为A?5 cm2，杆长l?1 m，加轴向拉力

F?150 kN，测得伸长?l?4 mm。试求卸载后杆的残余l=1m变形。

解：卸载后随之消失的弹性变形?le?Fl?1.5 mm EAF=150kN残余变形为?lp??l??le?2.5 mm

29. 图示等直杆，已知载荷F，BC段长l，横截面面积A，弹性模量E，质量密度ρ，考虑自重影响。试求截面B的位移。

4解：由整体平衡得FC??gAl

34??BC段轴力FN?x???gA?x?l?

3??FAl/3BFlx lFAl/3BFlC截面B的位移

ΔB??lBC??FN?x?dx 0EA4???gA?x?l? l5?gl23????dx?? 0EA6E

CFC(?)30. 已知图示结构中三杆的拉压刚度均为EA，设杆AB为刚体，载荷F，杆AB长l。试求点C的铅垂位移和水平位移。

解：杆AB受力如图

FN2?0, FN1?FN3?1FN1FN245?245?C3FN3Cl/2FABΔyF A2A45?ΔxBl/2Δy??l1??l3?Fl 2EAl/2A?l/2F因为杆AB作刚性平移，各点位移相同，且FN2?0，杆2不变形。又沿45由A移至A?。所以 Δx?Δy?

?Fl 2EA8

31. 电子秤的传感器是一个空心圆筒，承受轴向拉伸或压缩。已知圆筒外径

D?80 mm，壁厚??9 mm，材料的弹性模量E?210 GPa。在称某重物时，测得筒壁的轴向应变???476?10?6，试问该物重多少？ 解：圆筒横截面上的正应力

F????E

A1F??EA??E?π?D2?d2?

4d?D?2??62 mm 该物重 F?200.67 kN

F??D32. 图示受力结构，AB为刚性杆，CD为钢制斜拉杆。已知杆CD的横截面面积A?100 mm2，弹性模量 E?200 GPa。载荷F1?5 kN，F2?10 kN，试求：（1）杆CD的伸长量?l； （2）点B的垂直位移?B。 解：杆AB受力如图

FAyDA45?C1mF2BF1B1mFN45??MA?0，FN2?F2?2F1?0 2C1mF2FAxA1mFN?2?F2?2F1??202 kN ?l?FNl?2 mm EAF1BΔBA45?C?lΔCΔB?2ΔC?22?l?5.66 mm

33. 如图示，直径d?16 mm的钢制圆杆AB，与刚性折杆BCD在B处铰接。当D处受水平力F作用时，测得杆AB的纵向线应变??0.0009。已知钢材拉伸时的弹性模量C2mDF1.5mA2mBE?210 GPa。试求： （1）力F的大小； （2）点D的水平位移。 解：折杆BCD受力如图

（1）?MC?0，FN?1.5?F?2?0

F?FN1.51.5?E?A?28.5kN 22FCxC2mDFCy1.5mFNBC1.5mB?l2m（2）?l??l?0.0018 m?1.8 mm

9

FΔDxDΔDx?l? 21.5ΔDx?

2?l?2.4 mm 1.5y34. 如图示等直杆AB在水平面内绕A端作匀速转动，角速度为?，设杆件的横截面面积为A，质量密度为?。则截面C处的轴力FNC?______________。

x??答：?A?x?l??

?2?2?AlCxB

35. 如图示，两端固定的等直杆AB，已知沿轴向均匀分布的载荷集度为q，杆长为l，拉压刚度为EA，试证明任意一截面的位移xql2qx?l?x?，最大的位移?max?。 ?x?8EA2EAAqlB证：由平衡条件得 FA?FB?ql?0

l?F?qx?dxFNdxFlql?l????A?A?

0EA 0EAEA2EA l2xFAAlqBFBql由变形协调条件?l?0，得FA?，

2 xFA?qxFAxqx2qlxqx2qx?l?x??x??dx????? 0EAEA2EA2EA2EA2EA?令?x?0，ql?2qx?0

l?l?q?l??2?2?ql2?? 证毕。

2EA8EA即当x?

l

时，杆的位移最大，?max2

36. 图示刚性梁ABCD，在BD两点用钢丝悬挂，钢丝绕进定滑轮G，F，已知钢丝的弹性模量E?210 GPa，横截面面积

A?100 mm2，在C处受到载荷F?20 kNA5m2mD3mGC1mFFB的作用，不计钢丝和滑轮的摩擦，求C点的铅垂位移。

10

解：设钢丝轴力为FN，杆AB受力如图示。

由?MA?0得 FN?4F?11.43 kN 7AFA5mDFNFN3mC1mBFl钢丝长l?8 m，?l?N?4.35 mm

EAAD?DFCB?C?B?D??B??l

?D5?C??D3? ?，

???4?C8BD所以 ?C?2.49 mm

37. 图示杆件两端被固定，在C处沿杆轴线作用载荷F，已知杆横截面面积为A，材料的许用拉应力为???，许用压应力为???，且????3???，问x为何值时，

????F的许用值最大，其最大值为多少？ 解：平衡条件 FA?FB?F

AxCFlxFAACFlBFBBFxF?l?x?变形协调条件 A?B

EAEAl?xx得FA?F，FB?F

Allx?由?BC?F≤3???

All?x??AC?F≤???

Al33??得x?l，?F?max?4A????A???

44比值。

2V?b2l?b12l1??b??b??l??l? F解：

38. 欲使图示正方形截面受压杆件变形后的体积不发生变化，试求该材料的泊松

b1l1lbbbF??b???l??b2?1??l?1??

bl?????b2?1????l?1???

22得 ?1?????1????1

2上式左端展开后略去二阶以上微量得 2????

??则 ???0.5

?

11

39. 平面结构中，四杆AC，BD，BC，CD的横截面面积皆为A，材料的弹性模量皆为E，其长度如图示，各节点皆铰接，在点C作用有铅垂向下的载荷F。试求点D的水平位移与铅垂位移。 解：FNBD?FNCD?FNBC?0,FNAC?F A45?Bl?lBD??lCD??lBC?0,?lAC?Fl EACFD点D的铅垂位移和水平位移分别为 Fl ?y?0, ?x??lAC? EA

lD1l445?45?40. 图示桁架中各杆的拉压刚度为EA，各节点均为铰接，点B作用有垂直向下的力F。试求节点B的位移。 解：由点B、A的平衡得 FN2?F?拉?,FN3?0A23FB，FN1?F?拉?,FN4?2F?压? FN145?分析点A的位移，可得几何关系 A1A???ACsin????ACcos???AD?cot? ?CAFN2D?AC??ADcot?sin????45??FN4?ACA?ADA145?A? 点B的水平位移和铅垂位移分别为 ?x?0

C?y?A1A???lAB?2Fl22FlFlFl22?1Fl?2??AD??lAB???? EAEAEAEAEAB1C52DF34E??41. 如图所示，边长为l的正方形桁架，在点D作用垂直向下的力F，各杆的拉压刚度为EA。试求节点C、E、D的铅垂位移。

解：FN1?FN2?FN3?FN4?2F (拉), FN5?F(压) 2?Cy??Ey?C1C'??1sin45???1cos45?? ??52Fl1Fl1F2l?2?Fl???? ??1?2?2EA22EA22EA??EA ?1C?5/245??Dy?2?Cy?2?2?Fl?EA 2N12N545?FlFl1Fl?另解：由功能原理F?Dy?4?得?Dy?2?2 22EA2EAEA

12 ??C?42. 刚性梁AB在C，F两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮D和E。已知钢丝绳的拉压刚度为EA，试求点A的铅垂位移（不考虑绳与滑轮间的摩擦）。 解：由平衡条件得FNC?FNF?F F?3a3FA ?A??C??F??EAEA另解：由功能原理 2FN3a13FaF?A?C得 ?A? 22EAEA 43. 图示结构中，ABC及CD为刚性梁，已知F?20 kN，杆1和杆2的直径分别为DBaCaEaFaAFd1?10 mm，d2?20 mm，两杆的弹性模量均为E?210 GPa。试求铰C的铅垂位移。 解：FN1?F?20 kN(拉) FN2?2F?40 kN (拉) 2m1A2B1m2mC1mF2mD几何方程 ?C??A?2 ?B??A1m1mB?BC?AAFN1lFl?2N2?4.85 mm EA1EA2?C?C??A?2?B?44. 图示结构中，四杆AC，BD，BC，CD材料相同，弹性模量皆为E，线膨胀系数皆为?l。四根杆的横截面面积皆为A。各节点皆为铰接，其中杆AC和杆BD的长度为l。现在温度上升?T，试求： (1) 四杆AC，BD，BC，CD的内力； (2) 点D的水平位移与铅垂位移。 解：(1) FNCD?FNBD?FNBC?FNAC?0 CA30?BlD(2) 由于温度上升?T，杆BC的伸长为?l?2l?T，它在水平方向的分量?l2l?T?3恰好等于杆CD由于温度上升?T而产生的伸长，因此 2?Dx?0

?Dy??ll?T

13

45. 图示桁架中，杆1，杆2的长为l，横截面面积为A，其应力－应变关系曲线可用方程?n?B?表示，其中n和B为由实验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移?y 解：FN1?FN2?F 2cos??12??COF?n?B????C?1?yC??n?l?y?1?B?cos?cos?Bcos?

lF????? ??2Acos??? n?246. 图示直杆长为l，横截面面积为A，其材料的应力－应变关系为??C?m，其中C和m为已知的材料常数。当直杆受轴向拉力F作用时，测得杆的伸长为?l，试求F的大小。 ??l?解：F??A?C?A?C??A ?l?mml

FaBEaCFBBΔB45?B??lBD45?47. 图示桁架中，杆CD和杆BE为刚性杆，其它各杆的拉压刚度为EA。当节点C作用垂直向下的力F时，试求节点C的水平位移?Cx和铅垂位移?Cy。 解：FNBC?2F（拉），FNBD?2F（压） 杆CD为刚性杆，所以?Cx?0 点C的铅垂位移为点B的位移加上点C相对于点B的铅垂位移 E45?D?Cy?2

2F2a42Fa2? ? EAEA??CDΔCC?D?lBC48. 图示结构中，各杆的拉压刚度均为EA。节点B作用水平向左的力F，试求节点B的水平位移?x和铅垂位移?y。 解：由点B和点C的平衡得 FN1?FN3?F（压）， FN2?0 3C1lD45?245? ?Bx等于点C的水平位移?Cx加上杆BC的缩短量

14

45?FB?Bx?FlFl2Fl ??? ??EAEAEAC??Cx45?D因为杆BD不变形，所以

2Fl ??? ?By??Bx?EA

C49. 外径D?60 mm，内径d?20 mm的空心圆截面杆，其杆长l?400 mm，两端受轴向拉力F?200 kN作用。若已知弹性模量E?80 GPa，泊松比??0.3，试计算该杆外径的改变量?D及体积的改变量?V。

ΔlF解：空心圆截面杆的应变 ?? ?lEA 外径改变量 ?D???D?0.017 9 mm 体积改变量 ?V??1?2???V?400 mm3

50. 图示结构中，杆1和杆2的长度l1?l2?1 m，弹性模量E1?E2?200 GPa，两杆的横截面面积均为A?59 mm2，线膨胀系数?l?125?10?7 ?C-1。在C处作用垂直向下的力F?10 kN。试求温度升高?T?40?C时，杆的总线应变。 解：由结构的对称性，两杆的轴力为

A145?45?FN1?FN2?2F?拉? 杆的总线应变为

B2CF??FN??l?T?1.1?10?3 EA51. 一等截面摩擦木桩受力如图示，摩擦力沿杆均匀分布，其集度为f?ky2，其中k为待定常数。忽略桩身自重，试:

(1) 求桩承受的轴力的分布规律并画出沿桩的轴力图；

(2) 设l?10 m，F?400 kN，A?700 cm2，E?10 GPa，求桩的压缩量。 解：(1) 在截面y处，轴力

FN?y????y0kky2dy??y3

3Fy当y?l时，FN?l???F

k3F由l3?F, 得待定常数 k?3 3llyff?ky2f 15

Fy3所以轴力为FN?y???3

ly(2) 桩的压缩量

FN?Fy3/l3?l??

FNFldy??1.43 mm 0EA4EAlFN52. 图示三根钢丝，长度均为l?30 cm，横截面面积均为A?0.5 mm2，材料的弹性模量E?210 GPa，钢丝之间互相成120?角。注意钢丝只能承受拉力。试求： （1） 当F?500 kN，加在点D向下时，点D位移?；

（2） 当F?500 kN，加在点D水平向右时，点D铅垂位移及水平位移?V及?H。 解：(1) FN3?0，FN1?FN2?F2cos60??500 N

A1D3CFN160?60?B2?cos60??FN1l， ??2.86 mm EA(2) F力水平向右时，FN2?0

FN1?Fsin60?2F3FN2FN160?DFFN3?，FN3?FN1cos60??Fl3EAF3

DF?l1?2Fl3EA,?l3?

1?H60??l3?V?l3?l1?V??l3?0.825 mm, ?H???2.38 mm

sin60?tan60?D?l1353. 在合成树脂中埋入玻璃纤维，纤维与树脂的横截面面积之比为1?50。已知玻璃纤维和合成树脂的弹性模量分别为Eg?7?104 Pa和Ep?0.4?104 Pa，线膨胀系数分别为?lg?8?10?6 ?C-1和?lp?20?104 ?C-1。若温度升高40?C，试求玻璃纤维的热应力?g。

解：平衡方程 ?gAg??pAp?0

协调方程 ?lg?T?l?合成树脂玻璃纤维?glEg??lp?T?l??plEp

解得 ?g?24.8 Pa

16

54. 图示平面ACBD为刚性块，已知两杆DE，FG的材料相同，杆DE直径d1?6 mm，杆FG直径FCCAFAd2?8 mm，水平作用力的大小FA?FC?2 kN。试求各杆内力。

解：平衡方程?MB?0，得

FA?700?FC?580?FNDE?400?FNFG?200?0 10FNDE?5FNFG?3F

580BFG200200AFCC700BF200200FByFNFGFN DEFA700D200E几何方程 ?DE?2?FG

FNDE解得

22dDF?2FNFG?1.125FNFG dFG580D?FGBF?DEDFNDE?415.38 kNFNFG?369.23 kN

FBx55. 在温度为2?C时安装的铁轨，每段长度均为12.5 m，两相邻段铁轨间预留的空隙为Δ?1.2 mm，已知铁轨的弹性模量E?200 GPa，线膨胀系数?l?12.5?10?6 ?C-1。试求当夏天气温升为40?C时，铁轨内的温度应力。 解：?l?T?l?FNlF12.5?3?Δ 即 12.5?10?6?38?12.5?N?1.2?10 EAA200?109FN?75.8MPa AEAFAaaFaB温度应力 ?T?56. 如图所示受一对力F作用的等直杆件两端固定，已知拉压刚度EA。试求A端和B端的约束力。 解：平衡方程FA?F?FB?F （1）

变形协调方程

FAa(F?FA)aFBa???0 EAEAEA即 2FA?FB?F （2）

F解方程（1），（2）得 FA?FB?

3FAAFaFaBFBa 17

57. 图示钢筋混凝土短柱，其顶端受轴向力F作用。已知：FF?1 200 kN，钢筋与混凝土的弹性模量之比EgEh?15，横截面面积之比AgAh?160。试求钢筋与混凝土的内力FNg与FNh。 解：平衡方程 FNg?FNh?F (1) 变形协调方程 aalFNg1FNhl，即 ?? (2) EgAgEhAhFNh4FNglF4F?240 kN,FNh??960 kN 55 解方程（1），（2）得 FNg?58. 如图所示受一对轴向力F作用的杆件。已知杆件的横截面面积为A，材料的弹性模量为E。试求杆件的约束力。 解：方程 FA?FB?2F （1） 变形协调方程 FAaCAFFA FaDDFFBFxaBB?FAa(FA?F)aFBa???0 （2） EAEAEAC解得 FA?F， FB?F N?FB?F另解：图示结构对称，载荷反对称，故反力反对称FA 59. 图示结构中，直角三角形ABC为刚体，杆1和杆2的横截面面积均为A，弹性模量均为E。若在点A施加水平力F，试求杆1和杆2的轴力FN1和FN2。 解：平衡方程 1BFAF刚体aC2a2a?M?0 aBFN1?2FN2?F (1) 由变形协调条件 ?2?2?1 得 FN2?2FN1 (2) 解方程（1）和（2）得 F2FN1? (拉) ， FN2?F (拉) 55 FN1FBxBFByFa2aCFN2 18 60. 图示结构中，梁BE视为刚体，BC段，CD段和DE段长均为l，点B作用有铅直向下的力F。已知杆1和杆2的拉压刚度为EA，许用应力为???。试求B结构的许可载荷?F?。 解：平衡方程?ME?0 FN1?2FN2?3F (1) 2FllC30?1D45?E2l点C的垂直位移为点D垂直位移的两倍，所以变形协调条件为 ?1?2FN1 ?2??sin30sin45即?1?2?2，因此 FN12lFN22l?2

EAcos30?EABBFlClC30?DFEy45?EFN2lFEx?2EFN1?3FN2 (2) 2?1显然FN1?FN2，解方程（1）和（2）得出 FN2?2?3A[?]?0.52A[?] 6a6F 2?3由FN2?A[?]，得 [F]?

61. 图示结构，ABC为刚体，二杆的拉压刚度EA相同，杆2的线膨胀系数为?l。设杆2升温?T，试求二杆之内力FN1，FN2。 解：平衡条件?MC?0 得FN1?FN2

变形协调条件 Δ1?Δ2

FaFa N1??l?Ta?N2

EAEA1解得 FN1?FN2??l?TEA

2a2aAB刚体Ca21Δ1Δ2FN1ACFCyFCxBFN2 19

62. 由钢杆制成的正方形框架，受力如图示，杆5和杆6间无联系。已知各杆的材料和横截面面积相等，试求各杆的轴力。 解：由对称性及平衡条件得

FN1?FN2?FN3?FN4,FN5?FN6

22?FN4?F?0 222??l6 2FFB2C563a14DFAaF FN6?FN1变形协调条件 2?l1?物理条件 ?l1?FN1l ，?l6?EA2FN6l EA解得 FN1?FN2?FN3?FN4?FN5?FN6?F(1?2)

63. 图示结构，AB为刚性杆。杆CD直径

CF30?d?20 mm，弹性模量E?200GPa，弹簧刚度k?4000 kNm，l?1 m，F?10 kN。试求钢杆CD的应力及B端弹簧的反力FB。 解：平衡条件?MA?0

l3 FN1?sin30???F?l?FBl?0 （1）

24F?l1Ax变形条件 2 （2） ??lBsin30?Al/2FNAFAy30?Dkl/4F?l1Bl/4B?lBFB物理条件 ?l1?FN1l3EA ?lB?FBk （3）

联立求解得 FB?2.78 kN，?CD?60.2 MPa

64. 图示钢螺栓1外有铜套管2。已知钢螺栓1的横截面面积A1?6 cm2，弹性模量E1?200 GPa， 铜套管2的横截面面积A2?12 cm2，弹性模量

E2?100 GPa，螺栓的螺距s?3 mm，l?75 cm。试求当螺母拧紧14圈时，螺距和套管内的应力。 21l解：设螺栓受拉力FN1，伸长量为?l1；套管受压力FN2，压缩量为 ?l2 平衡条件 FN1?FN2

20

变形协调条件 ?l1??l2?物理条件 ?l1?s 4FlFN1l ?l2?N2

E2A2E1A1解得 FN1?FN2?A1E1s ?4l1?A1E1(A2E2)65. 图示等直杆，横截面面积为A，材料的弹性模量为E，弹簧刚度分别为k1和k2（k2?2k1），k1l?EA，q为沿轴线方向的均匀分布力。试绘制该杆的轴力图。 解：FN1为拉力，FN2为压力

平衡条件 FN1?FN3?ql （1） 变形条件

l(FFN1FN2N1?qx)???dx?0 （2）

0k1k2EABk1lqk2DFN2ql/5x3ql/5联立求解（1），（2）并由k1?2k2，k1l?EA 可得

FN1?

23，FN2?ql（压） ql（拉）

5566. 悬挂载荷F?20 kN的钢丝a，因强度不够另加截面相等的钢丝相助。已知长度la?3 m，lb?3.0015 m，横截面面积Aa?Ab?0.5 cm2，钢丝a，b的材料相同，其强度极限?b?1000 MPa，弹性模量E?200 GPa，在断裂前服从胡克定律。试求：

（1）两根钢丝内的正应力各为多少?

（2）若F力增大，lb超过何值时，即使加了钢丝b也无用。 解：（1）平衡条件 FNa?FNb?F

变形条件 解得 ?a?balaFNalaFNblbFNalFNbl????lb?la EAEAEAEAFa?250 MPa，?b?150 MPa AF（2）当?a≥1 000 MPa时加b也无用，此时

?la??ala/E?1.5 cm lb＞la??la?301.5 cm

21

67. 图示结构中，已知a，Δ，杆1和杆2的拉压刚度分别为E1A1和E2A2。当C1和C2联结在一起时，试求各杆的轴力。 解：平衡条件

?MB?0

2aΔD1C1C22aa2刚体BAa FN1?2a?FN2?a?0 （1） 变形条件 Δl1?2a??Δ，Δl2?a? （2） 物理条件 Δl1?FN1?2aF?a，Δl2?N2 （3） E1A1E2A2D1?l1Δ2a?求解得 FN1E1E2A1A2Δ? 2a(2E1A1?E2A2)E1E2A1A2Δ? a(2E1A1?E2A2)FN2FN12a?l2?a?B FN2

68. 图示杆系中，点A为水平可动铰，已知杆AB和杆AC的横截面面积均为1 000 mm2，线膨胀系数3m?l?12?10?6 ?C-1，弹性模量E?200 GPa。试求当杆AB温度升高30 ?C时，两杆内的应力。 4解：平衡条件 FN1??FN2?0 (1) 54变形条件 ?l1??l2??T (2) 5BFN1l1FN2l2物理条件?l1?, ?l2?, ?T??ll1?T (3) EAEABCA4mFN1FN2AFR?T?l1联解(1)，(2)，(3)得

FN1?47.6 kN ， FN2?38.1 kN 两杆应力?AB?47.6 MPa， ?AC?38.1 MPa

69. 图示桁架，各杆的拉压刚度为EA，杆CD，CE长

D均为l。试计算各杆的轴力。 解：由对称性 FN1?FN3，FN4?FN5 节点C FN2?2FN1cos??F

节点G 2FN4cos2??FN2 即 FN4?FN2

?l1?l4???l2 变形条件

cos?cos2?CAA??l2?14G253E???CF??30? 22

即

FN1l2FN4l1FN2l??

EA3EA32EA3FN4120?GFN5D120?EG?l4G?联立求解得 FN1?FN3?3F4?33，

FN1FN2??FN3CF??C?l1C?FN2?FN4?FN5?4F4?33

70. 横截面面积为As的钢棒受拉力F作用后，在其周围对称式地浇注横截面积为

Ac的混凝土。待混凝土凝结与钢棒形成一整体后，移去外力F。试求此时钢棒中

的应力?s和混凝土中的应力?c。

解： FNs?FNc （1）

?ls??lc?FlFlFlFl 即 Ns?Nc? （2）

EsAsEcAcEsAsEsAs解得 ?s?FEcFFNsEcAcF?（拉）， ?c?Nc? （压） AcEcAc?EsAsAs(EcAc?EsAs)As71. 图示结构杆1，2，3的拉压刚度EA，长度l均相等。杆4和杆5为刚性杆，点C受力F作用，试求各杆的轴力。 解：平衡条件 FN4?FN5?0, FN1?FN2?F, FN2?FN3 1?C23F4FN1lFN2lFN3l?l??l??l??变形条件 1 23 即 EAEAEA解得 FN1? ?52FF(拉)， FN2?FN3?(压) 33lA1CFlB23ll72. 图示结构，AB，CD为刚性杆，杆1，2，3的拉压刚度为EA，载荷F作用在C处，垂直向下，不考虑杆失稳，试求杆1，2，3的内力。 解：杆AB, 杆CD D?MDA?0，FN1?2FN3?2FN2?0 (1) ?M?0， 2FN1?FN3?2FN2?2F (2) AFN1FN2BFN3DF23 由图可见，三杆的伸长量 ?l1?2?2??1,?l2??2?2?1,?l3?(2?2?2?1)cos45? C消去参量?1,?2，便得变形协调条件 2??l1??l3? ?l2?3A?1B?2?1B?F2l2?FN1lFN3l?即 N2????

EA3?EAEA?C2?2??2?DC?由此得 FN2?FN1?FN3 (3) 3联立求解式(1)、(2)、(3)，得

FN1?12?229?22F, FN2?29?22F, FN3??6?229?22AF

另解：用力法求解

l?4??11???2? EA?9?BX1CFDFl?2422?22Fl????Δ1F??? ?EA?33339EA??X1??Δ1F?11?29?22F ?2/31+1?2/34F/3根据平衡条件可求出其 它杆的内力。 0-2F/3F73. 图示结构中，三杆1，2，3的材料相同，横截面相同，长度相同，它们的弹性模量为E，温度线膨胀系数为?l，横截面面积为A，长度为l，结构布置如图示。杆2与杆1成45?角，杆3与杆1垂直。当温度同时上升?T时，试求三杆1，2，3的轴力。 解：平衡条件 FN1?FN3?2FN2 （1） 2321lFN2FN12FN3345?45?l45?45?变形协调关系 ?ll?T?FN2l?EA?ll?T?FN1lEA （2） cos45?解得 FN1?FN3??lEA?T(2?2)4（压） FN2??lEA?T(2?1)2 （拉） 1 24 74. 绳索的横截面面积为A，弹性模量为E，缠绕挂在一端固定的轴上，重量为P的物体挂在绳索的一端，同时用一个刚好足以阻止重物下落的水平力F将绳索压紧在轴上。已知绳索与轴的静摩擦因数为fS，试求力F的值。 解：任取一微段Rd?， 由平衡条件 F?FR?0 d?d??T?0 （1） 22PdN?(T?dT)sin?F??0 d?d??Tcos?fdN?0 （2） 22d?d?当d?较小时，取sin，cos?1 22 代入式（1），（2）并略去高阶微量，整理得 dT ?fT （3） d?(T?dT)cos对上式分离变量，积分，并利用边界条件 最后可得 F?P?fem?，?m?fπ? ?T+dTdNd? /2R d?d?fdNT?PfF?d? /275. 一等直杆两端固定在刚性墙上，已知材料的弹性模量E和线膨胀系数?l，在室温时，杆内无应力，若杆的一端B升至室温以上60 ?C，另一端A保持室温，沿杆长度的温度改变与横截面到室温端距离x的平方成正比。试求杆内横截面上的正应力。 解： FA?FB 设沿杆长温度的改变 ?T?kx2，则k?变形协调条件 60 2lxFAlFBxAlBFAl60???l?Tdx??l2?x2dx?20?ll EA 0l 0 l l所以，??20?lE（压应力） 25 76. 铰接的正方形结构如图所示，各杆材料及截面面积均相同，弹性模量为E，截面积为A。在外力作用下，A, C两点间距离的改变为 。

Fl答：2?2

EAFADllFCBBFCaaaaD??

77. 如图所示，杆AB和CD均为刚性杆，则此结构为 结构。

(A) 静定； (B) 一次超静定； (C) 二次超静定； (D) 三次超静定。 答：A

A78. 图示结构为 结构。 (A) 静定; (B) 一次超静定; (C) 二次超静定; (D) 三次超静定。 答：A

79. 图示桁架为 结构。 (A) 静定; (B) 二次超静定; (C) 一次超静定; (D) 三次超静定。 答：A

FFF80. 图示桁架为 结构。 (A) 静定; (B) 二次超静定; (C) 一次超静定; (D) 三次超静定。 答：B

A81. 一杆系结构如图所示，设拉压刚度EA为常数，则节点C的水平位移为 。 答：0

30?30?CFB82. 等直钢杆受均匀拉伸作用，如图所示。已知钢的弹性模量E?200GPa，钢的伸长量?l?6mm，此杆的塑性伸长量

?lp? 。

?=250MPal=300答：5.63mm

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