30.2 Foster Z. Interface院长和J. Fetid Nightsoil教授互相交换陈词和滥调。当Interface院长消费
TI单位的陈词和
BI单位的滥调时，他的效用由
UI(BI,
TI)=BI+2UI(BI,TI)?BI?2Ti给出。当Nightsoil教授消费TN单位的陈词和BN单位的滥调时，他的效用由UN(BN,TN)?BN?4TN给出。Interface院长的初始禀赋是12单位的陈词和8单位的滥调。Nightsoil的初始禀赋为4单位的陈词和8单位的滥调。
(a) 如果Interface院长消费TI单位的陈词和BI单位的滥调，他的边际替代率为 。如果Nightsoil教授消费TN单位的陈词和BN单位的滥调，他的边际替代率为 。
(b) 在契约曲线上，Interface院长的边际替代率等于Nightsoil教授的边际替代率。写出表示这一条件的方程。 该方程十分简单，因为每个人的边际替代率都仅仅依赖于他所消费的陈词的量，而不依赖于他所消费的滥调的量。
(c) 根据该方程我们看到，在契约曲线上的任意点处，T1/TN= 。这样我们就有了关于两个未知变量TI和TN的一个方程。
(d)但是我们还知道，沿着契约曲线一定有TI+TN= ，因为陈词的总消费量必须等于其总禀赋量。
(e) 解这两个关于两个未知变量的方程，我们得到，在契约曲线上的任意点处，TI和TN
都是常数并且等于 和 。
(f) 在埃奇沃思方框图中用字母E标出初始禀赋。用深灰色的铅笔画出Interface院长的无差异曲线，用红笔画出Nightsoil教授的无差异曲线。在埃奇沃思方框图中画出几条两人的无差异曲线。用蓝笔画出帕累托最优点的轨迹。契约曲线在埃奇沃思方框图中是一条（垂直的，水平的，对角的） 直线。
(g) 求出竞争性均衡的价格和数量。因为已知每个帕累托最优点处的边际替代率必须是多少，所以可知竞争性均衡处的价格必须是多少？
30.3 Linus Straight的效用函数U(a, b)=a+2b，其中a是他苹果的消费量，b是他香蕉的消费量。Lucy Kink的效用函数是U(a, b)=min{a, 2b}。Lucy初始时有12个苹果，没有香蕉。Linus初始时有12个香蕉，没有苹果。在下面的埃奇沃思方框图中，从右上角开始衡量Lucy的消费量，从左下角开始衡量Linus的消费量。在图中用字母E标出初始禀赋点。用红笔画出Lucy的两条无差异曲线，用蓝笔画出Linus的两条无差异曲线。用黑笔画一条通过所有的帕累托最优配置点的直线。
(a) 在该经济中，竞争性均衡时，苹果和香蕉的价格之比一定等于 。 (b) 令as表示Linus消费的苹果量，bs表示他消费的香蕉量。竞争性均衡时，Linus的消费必须满足预算约束，as+ bs= 。这样我们就得到了关于两个未知变量的一个方程。为得到第二个方程，考虑Lucy的消费量。竞争性均衡时，苹果的总消费量等于其总供给量，香蕉的总消费量等于其总供给量。因此Lucy将消费12-as个苹果和 -bs个香蕉。竞争性均衡时，Lucy将选择在她的一个折点处消费。在Lu-cy每消费一个香蕉就消费 苹果的消费束中会出现折点。因此我们有(12-as)/(12-bs)= (c) 解上面得到的两个方程就可以求出竞争性均衡时Linus和lucy消费的苹果和香蕉的量。Linus将会消费 个苹果和 个香蕉。Lucy将会消费 个苹果和 个香蕉。
30.4 Charlotte喜欢吃苹果，不喜欢吃香蕉。她的效用函数是U(a,b)?a?14b，其中
2a是她消费的苹果量，b是她消费的香蕉量。Wilbur苹果和香蕉都喜欢吃。他的效用函数是
U(a,b)?a?2b。Charlotte的初始禀赋是8个香蕉，没有苹果。Wilbur的初始禀赋是16
个苹果和8个香蕉。
(a) 在下图中，用字母E标出初始禀赋点。用红笔画出Charlotte通过该点的无差异曲线。用蓝笔画出Wilbur通过该点的无差异曲线。
(b) 如果Charlotte不喜欢香蕉而Wilbur喜欢，那么在帕累托最优配置点上Charlotte会消费多少个香蕉？ 在上图中，用黑笔画出Charlotte和Wilbur的苹果和香蕉的帐累托最优配置点的轨迹。
(c) 已知竞争性均衡一定是帕累托最优的，并且每种商品的总消费量一定等于其总供给量，因此我们得到，竞争性均衡时，Wilbur一定是消费 个香蕉。如果Wilbur消费的香蕉量等于该值，那么他消费香蕉的边际效用等于 ，消费苹果的边际效用等于 。如果以苹果为度量标准，那么使得他会正好消费16个香蕉的香蕉的唯一的价格是 。竞争性均衡时，在Charlotte-Wilbur经济中，Wilbur将会消费 个香蕉和 个苹果；Charlotte将会消费 个香蕉和 个苹果。
30.5 Mutt和Jeff可以分配8杯牛奶和8杯果汁。他们的效用函数相同，都可以表示为u(m, j)=max{m, j}，其中m是每个得到到的牛奶的量，j是每个人得到的果汁的量。也就是说，他们都只在乎自己得到的量比较大的那种饮品，而不在乎得到的量比较小的那种饮品。
(a) 画出Mutt和Jeff的埃奇沃思方框图。用蓝笔画出两个人的几要无差异曲线。用红笔画出帕累托最优配置点的轨迹。（提示：寻找边界解。）
30.6 本题均衡分析与跨时期选择那一章中所学到的一些东西结合起来了。它考虑的是某个虚构的星球上有关储蓄经济学和生命周期的问题，该星球上的生命短暂且简单。在宏观经济学的高级课程中，你学会学到这一模型的更加复杂的并且更加接近现实的版本。现在，这一简化的模型可以使你很好地了解应该如何做分析。
Drongo星球上只有蛋糕一种商品和两个时期。有两种生命体，“老的”和“年轻的”。老人时期1的收入为I单位的蛋糕，时期2没有收入。年轻人时期1没有收入，时期2的收入为I单位的蛋糕。有N1个老人和N2个年轻人。这些生命体感兴趣的消费束为(c1, c2)，其中c1是时期1的蛋糕，c2是时期2的蛋糕。所有的生命体，无论是年轻的还是老的，他们的效用函数都相同。效用函数表示的是他们对两个时期的蛋糕的偏好。这一效用函数为
U(c1,c2)?C1C2a1?a，其中a是满足式0≤a≤1的值。
(a) 如果取当期的蛋糕为度量单位（也就是说其价格设为1），写出表示消费束(c1, c2)的现值的表达式。 写出老人收入的现值 和年轻人收入的现值 。任何人的预算线都由如下条件决定：其消费束的现值等于其收入的现值。写出老人的预算方程 和年轻人的预算方程 。
(b) 如果利率为r，写出老人时期1对蛋糕的需求的表达式 ，时期2对蛋糕的需求的表达式 。写出年轻人时期1对蛋糕的需求的表达式 ，时期2对蛋糕的需求的表达式 。（提示：如果预算线是p1c1+p2c2=W，并且效用函数是上面提到的那种形式，那么某个生命体对商品1的需求函数为c1=aW/p，对商品2的需求函数为c2=(1-a)W/p。）如果利率为零，那么年轻人时期1对蛋糕的需求是多少？如果利率为零，当a为何值时，年轻人在两个时期选择的消费量相等？如果a=0.55，要使年轻人在两个时期选择的消费量相等，利率r必须等于多少？
(c) 时期1蛋糕的总供给量等于所有的老人掐得的蛋糕的总量，因为年轻人在这个时期里没有蛋糕。总共有N1个老人，每个人挣到I单位的蛋糕，因此总量为N1I。同样地，时期2蛋糕的总供给量等于年轻人挣到的蛋糕的总量。这一总量为 。
(d) 在均衡利率下，对时期1蛋糕的总需求必须等于时期1蛋糕的总供给；同样地，对时期2蛋糕的总需求也必须等于其总供给。如果利率为r，那么每个老人对时期1蛋糕的需求量为 ，每个年轻人对时期1蛋糕的需求量为 。因为存在N1个老人和N2个年轻人，所以利率为r时，对时期1蛋糕的总需求量为 。
(e) 运用上一部分得到的结果，写出一个表示对时期1蛋糕的需求等于其供给的方程。 给定N1、N2、I以及I，写出r的均衡值的一般表达式。当N1=N2、I=I且a=11/21时，求这一特殊情况下方程的解。
(f) 在上一部分的特殊情况下，证明使得时期1蛋糕的需求等于其供给的利率同样使得时期2蛋糕的需求等于其供给。（这一点验证了瓦尔拉斯法则。）