Ruth 楼上 楼下 Ned
楼上 楼下
(d) 存在纯策略纳什均衡吗？ 你能求出什么样的混合策略均衡？ 如果两两个人都使用均衡策略，Ned找到Ruth的可能性是多少？
29.4 我们再来看一下课本中讨论过的足球的例子。但是这里，我们将对收益矩阵稍微进行一下一般化处理。假设收益矩阵如下。
任意球 踢球者 往左踢 往右踢
守门员 往左跳
往右跳
1, 0 1-p, p 0, 1 1, 0 现在，如果踢球者往左踢而守门员往右跳，从而踢球者得分的概率是p。我们希望看到均衡的概率如何随着p的变化而变化。
(a) 如果守门员以πg的概率往左跳，那么如果踢球者往右踢，踢球者得分的概率是
(b) 如果守门员以πg的概率往左跳，那么如果踢球者往左踢，踢球者得分的概率是
(c) 求出使得踢球者往左踢和往右踢时得分的概率相同的概率πg。（你得到的答案应该是p的函数。）
(d) 如果踢球者以πk的概率往左踢，那以如果守门员往左跳，踢球者不得分的概率是
(e) 如果踢球者以πk的概率往左踢，那么如果守门员往右跳，踢球者不得分的概率是
(f) 求出使得守门员往左跳和往右跳时得到的收益相等的概率πk。 (g) 变量p告诉我们的是，当球门的左边无人防守时，踢球者有多大的可能性将球踢进球门的左边。随着p的增加，均衡时踢球者往左踢的概率是增大还是减小？ 请用一种体育节目解说员都能够理解的方式解释一下为什么会是这样的。
29.5 本题是课本中所描述的鹰一鸽博弈的一个例子。这一博弈最早是由生物学家John Maynard Smith使用的，他用这一博弈来说明演化理论中博弈论的应用。某个特定种群的雄性常常会因为争夺与雌性交配的机会而与其他雄性发生冲突。如果某个雄性遇到了这种冲
突，它有两种相互替代的策略可选择。如果它选择“鹰”的角色，它就会与其他的雄性打架，直到它赢了或者被对方伤得很重。如果它选择“鸽”的角色，它会摆出一副勇敢的样子，但是如果对方开始打架它就会退出。如果两只鹰相遇，它们双方都会受重伤。如果鹰遇到鸽，鹰能够与雌性交配，鸽会逃跑而考虑独身。如果鸽遇到鸽，它们都会摆出一副炫耀的样子但是又都不会赶走对方。最后雌性可能会随机地选择它们其中的一个，或者会觉得很厌倦而离开。
鹰-鸽博弈 动物B 鹰 鸽
动物A
鹰 鸽
-5, -5 0, 10 10, 0 4, 4 (a) 当某个雄性在树林中漫步的时候，它会遇到许多这种类型的冲突的情况。假设它事先无法判断它遇到的另一方是鹰还是鸽。对它来说采取任意一个策略所得的收益取决于鹰和鸽在群体中随机的分布。例如，森林里只有一只鹰，其他的雄性都是鸽。鹰会发现自己的对手总是选择撤退，因此每次遇到这种情况自己得到的收益都将是 。如果其他的雄性都是鸽，那么剩下的这个雄性也是鸽时，它每次遇到这种情况所得到的收益将是 。
(b) 如果更有利可图的策略将会更多地被选择。解释一下为什么不会出现所有的雄性都选择鸽的角色的均衡。
(c) 如果所有其他的雄性都是鹰，那么某个采取鹰策略的雄性肯定会遇到另一个采取鹰策略的雄性，并且他得到的收益为 。相反，如果他采取鸽策略，他同样肯定会遇到一个采取鹰策略的雄性，但是此时他的收益为 。
(d) 解释一下为什么不会出现所有的雄性都选择鹰的角色的均衡。 (e) 既然不会出现所有的动物都选择同样的策略的均衡，那么我们就来寻找一个均衡，在该均衡中一部分雄性选择鹰策略而其余的雄性选择鸽策略。假设有很多的雄性动物，其中鹰的比例为p。那么任意一个雄性动物大约以p的概率遇到鹰，大约以1—p的概率遇到鸽，并且得到10的收益。这样，如果群体中鹰的比例为p，则鹰得到的期望收益为px(-5)+(1-p)×10=10-15p。同样的计算表明，如果群体中鹰的比例为p，那么选择鸽策略所是到的平均收益为 。
(f) 如果群体中鹰的比例为p，写出一个表示鹰的收益等于鸽的收益的表达式。 (g) 解该方程以求出p的值。在该值处，鹰的状况与鸽的一样好。这要求p= (h) 在下面的坐标系中，用蓝笔画出当雄性群体中鹰的比例为p时，选择鸽策略所得到
的平均收益的曲线。用红笔画出当群体中鹰的比例为p时，选择鹰策略所得到的平均收益的曲线。在你的图中将均衡的比例标为E。
(i) 如果鹰的比例稍微大于E，哪一种策略更好？ 如果鹰的比例稍微小于E，哪一种策略更好？ 如果在未来的博弈中，更有利可图的策略将会更多地被选择，那么如果比例偏离了了均衡，策略的改变会使得比例重新回到均衡处还是离均衡更远？
29.6 Iron Chicken餐馆位于一条繁忙的跨州公路边上。大多数来这里的顾客都仅仅只是路过并且再也不会来了的。但是一些卡车司机因运输路线的缘故会定期地路过该餐馆。Sybil是餐馆的一名女招待，她眼睛近视，无法辨认常客和一次性的顾客。Sybil可以给顾客提供好的服务，或者提供差的服务。她知道如果自己对任意顾客提供差的服务，她得到的小费就会很少。如果她对卡车司机提供好服务，他就会给她较多的小费，以期望她在他下次来的时候能够认出他来，但是这种期望是不可能实现的。如果她对一次性顾客提供好服务，她也只能得到很少的小费。假设Sybil提供好服务而不是坏服务的成本是1美元。不满意的顾客以及仅仅只是路过的顾客的小费平均为每人0.50美元。得到好服务并且打算再来的卡车司机的小费是2美元。Sybil认为是卡车司机并且还会再来的顾客的比例为x。均衡时我们应该能够看到，如果x大于 ，Sybil就会提供好服务；而如果x小于该值，Sybil就会提供坏服务。
第三十章 交换
30.1 Morris Zapp和Philip Swallow消费酒和书。Morris的初始禀赋是60本书和10瓶酒。Philip的初始禀赋是20本书和30瓶酒。他们没有其他的财产，除了彼此之间进行交易外也不再与其他人进行交易。对Morris来说，酒和书是完全替代品。他的效用函数是U(b, ω)=b+ω，其中b是他消费的书的数量，ω是他消费的酒的瓶数。Philip的偏好更加细微，并且是
凸的。他的效用函数是柯布-道格拉斯型的U(b,ω)=bω。在下面的埃奇沃思方框图中，Morris的消费是从左下角开始衡量的，Philip的消费是从右上角开始衡量的。
(a) 在该图中，找出初始禀赋并标为E。用红笔画出Morris Zapp通过其初始禀赋点的无差异曲线。用蓝笔画出Philip Swallow通过其初始禀赋点的无差异曲线。（记住，Philip的量是从右上角开始衡量的，因此他的无差异曲线是倒转过来的。）
(b) 在任意的帕累托最优点处，如果两个人对这两种商品的消费量都不为零，那么他们的边际替代率一定是相等的。无论Morris的消费组合为多少，他的边际替代率都等于 。当Philip 消费束为（bp, ωp）时，他的边际替代率为 。因此，当两人对每种商品的需求都为正时，每个帕累托最优的配置都满足方程 。用黑笔在上图中画出帕累托最优的配置的集合。
(c) 竞争性均衡时，Morris一定是消费一定量的书和一定量的酒。但是要达到这一点，酒与书的价格之比一定等于 。这样我们知道，如果以书为度量标准，竞争性均衡时酒的价格一定等于 。
(d) 在本题上一部分所求出的均衡价格处，Philip Swallow初始禀赋的价格是多少？ 在这一价格水平下，Philip将选择消费 本书和 瓶酒。如果Morris Zapp消费Philip不消费的所有的书和酒，他将会消费 本书和 瓶酒。
(e) 在上面求出的竞争性均衡价格下，Morris的收入为 。因此在这一价格水平下，Morris消费Philip不消费的所有的书和酒的成本将（等于，大于，小于） 他的收入。在这一价格水平下，Morris能够支付得起他认为比消费束（55, 15）更好的消费束吗？
(f) 假设某个经济中有1000个与Morris一样的人和1000个Philip一样的人。每个Morris类型人的初始禀赋都相同，偏好也与Morris一样。每个Philip类型人的初始禀赋也相同，偏好与Philip一样。上面求出的Morris和Philip的均衡价格仍然还是均衡价格吗？ 如果每个Morris类型人和Philip类型人都与上面的Morris和Philip的行为方式一致，那么酒和书这两中商品的供给都等于其需求吗？