第二十一章 成本曲线
21.1 Otto的兄弟Dent Carr从事汽车维修业。Dent近来其他的事情很少，他决定计算一下他的成本状况。他发现维修s量汽车的总成本是TC(s)=2s2+10。但是Dent的注意力又转移到其他事情上去了，而这个时候你来了。请完成下面的计算：
Dent的总可变成本： 总固定成本： 平均可变成本： 平均固定成本： 平均总成本： 边际成本：
21.2 Otto的另一个兄弟Rex Carr有一家废品场。Rex可用两种方法来销毁汽车。第一种方法需要每年花费200美元以购买一种水压汽车粉碎机，然后每掩埋一辆压碎的汽车需要花费1美元。第二种方法需要花10美元购买一种铁铲，这种铁铲只能使用一年；然后再以每辆车5美元的价格请他们家的最后一个兄弟，Scoop，去掩埋汽车。
(a) 写出这两种方法的总成本函数，其中y是每年的产量：TC1(y)= ，TC2(y)= 。
(b) 第一种方法的平均成本函数是 ，边际成本函数是 。第二种方法的这两种成本函数分别是 和 。
(c) 如果Rex每年销毁40辆汽车，他应该使用哪种方法？ 如果Rex每年销毁50辆汽车，他应该使用哪种方法？ 要使他值得购买水压粉碎机，他每年最少应该销毁多少辆汽车？
21.3 Touchie MacFeelie出版漫画书。他所需的投入只是一些笑话和漫画家。他的生产函数是Q=0.1J1/2L3/4，其中J是所使用的笑话的数量，L是温画家工作的小时数，Q是漫画书的产出量。
(a) 这一生产函数是呈现递增、递减还是不变的规模收益？给出解释。 (b) 如果所使用的笑话的数量是100，写出漫画家劳动的边际产量的表达式，该式是L的函数。 当劳动量增加时，劳动的边际产量是递减还是递增？
21.4 考虑成本函数c(y)=4y+16。
(a) 平均成本函数是 。 (b) 边际成本函数是 。
(c) 使得生产的平均成本最小的产出水平是 。 (d) 平均可变成本函数是 。
2
(e) 产出水平为多少时，平均可变成本等于边际成本？
21.5 某竞争性企业生产函数的形式为Y=2L+5K。如果ω=2美元，r=3美元，那么生产10单位产品的最小成本是多少？
第二十二章 厂商供给
22.1 某竞争性企业的短期成本函数是c(y)=y3-8y2+30y+5。
（a）该企业的过际成本函数是MC（y）= 。
（b）该企业的平均可变成本函数是AVC（y）= 。（提示：注意，总可变成本等于c(y)-c(0)。）
（c）在下面的坐标系中，画出并标出成本函数和平均可变成本函数的图形。
（d）如果产量小于 ，则平均可变成本随产量的增加而下降；产量大于 ，则平均可变成本随产量的增加而增加。
（e）当产量为 时，边际成本等于平均可变成本。 （f）如果价格小于 ，则企业的供给量为零。
（g）企业在任意价格下的最小正供给量是 。价格为多少时，企业将正好供给6单位的产品？
22.2 McGregor先生有一块五英亩大的白菜地。他让他的妻子Flopsy和Peter在菜地里劳动，但是没有工资。，暂时假设这块地除了种白菜之外没有其他的用途，并且Flopsy和Peter也不能找到其他的工作。McGregor先生要支付的唯一一种投入是化肥。如果他使用x袋化肥，他能获的白菜的量为10
x。每袋化肥的成本是1美元。
（a）生产100单位白菜需要的化肥的总成本是多少？ 生产y单位白菜所需要的化肥的总成本是多少？
（b）如果McGregor先生改变自己产量的唯一方法是改变他所使用的化肥量，写出他边际成本的表达式，该式是y的函数。MC(y)= 。
（c）如果每单位白菜的价格是2美元，那么McGregor先生将会生产多少单位白菜？ 他将会购买多少袋化肥？ 他的利润是多少？ （d）化肥和白菜的价格都和以前的一样，但是McGregor先生得知，他可以在夏季为Flopsy和Peter在当地的一个血汗工厂里找到工作。Flopsy和Peter整个夏天总共可以挣300美元，都归McGregor先生所有。但是他们这样就没有时间在菜地里劳动了。而没有他们的劳动，McGregor先生就无法生产白菜。McGregor先生现在生产y单位白菜的总成本是多少？ 。
（e）他应该继续植白菜还是应该让Flosy和Peter到血汗工厂去工作？
22.3 Severin 是一名草药医生,他因使用獐耳细辛而闻名。他的总成本函数是c(y)=y+10，其中y>0，并且c(0)=0。（也就是说，他的产量为零时成本也为零。）
（a）他的边际成本函数是什么？ 平均成本函数是什么？ （b）产量为多少时，他的边际成本等于平均成本？ 产量为多少时他的平均成本最小？
（c）在竞争性市场的长期均衡中，使得他的供给量为正的最小价格是多少？ 在这一价格下，他的供给量是多少？
22.4 还记得在费城卖柠檬水的的Earl吗？在关于成本函数的那一章里我们碰到过他。Earl的生产函数是f(x1,x2)=x1柠檬水的生产师。
（a）如果每磅柠檬的成本是1美元，每小时的工资是1美元，而柠檬水的价格是P,则Earl的边际成本函数是MC(y)= ，他的供给函数是S（p）= 。如果每磅柠檬的成本是4美元，每小时的工资是9美元，则他的供给函灵敏是S(p)= 。
（b）通常，Earl的边际成本依赖于柠檬的价格和工资率。如果柠檬的价格w1, 劳动的价格是
w2,则他的生产
y
单位柠檬水时的边际成本是
1/31/322
x，其中x1是他使用的柠檬的磅数，x2是他压榨柠檬
1/2
1/23/2
所花的小时数。正如你所求得的，他的成本函数是C（w1,w2,y）=2w1w2y，其中y是
MC(w1,w2,y)= 。Earl的供给量依赖于三个变量，p、w1、w2。作为这三个变量的函数，Earl的供给量是S(p,w1w2)= 。
22.5 可能你还记得,在关于成本函数的那一章中,Irma的手工艺品厂的生产函数是
f(x1,x2)?min{x1,2x2}1/2,其中
x1是所使有用的塑胶的量,x2是所使用的劳动量,而
f(x1,x2)是生产出来的草坪装饰物的产量。令w1为每单位塑胶的价格，w2为每单位劳动
的价格。
（a）Irma的成本函数是c(w2,w2,y)= 。
（b）如果w1?w2?1，则Irma生产y单位产品的边际成本是MC（y）= 。价格为p时，她将会供给的产品量为S（p）= 。在这一要素价格下，她生产一单位产品的平均成本为= 。
（c）如果她以p=48的竞争性价格出售这种草坪装饰物，并且w1?w2?1，她的生产量将是多少？ 她赚取的利润是多少？
（d）更一般的情况下，如果要素价格为w1和w2，则她的边际成本为函数MC(w1,w2,y)? 。在这一要素价格下，如果产品的价格为p，那么她将选择的供给量为S(p,w1,w2)? 。
22.6 俄克拉荷马州Dry Rock地区的Miss Manners 精炼厂用原油来生产汽油。生产一桶汽油需要用一桶原油。除了原油的成本这外，汽油的生产中还有其他的一些成本。生产y2桶汽油的总成本由总成本函数c(y)?y/2?p0y给出，其中p0是第桶原油的价格。
AC（y）
（a）将生产汽油的边际成本表示为p0和y的函数。 （b）假设该炼厂可以每桶5美元的价格购买50桶原油。但是如果购买量超过50桶，则超出部分的价格是每桶15美元。在汽油的产量达到50桶之前，其边际成本曲线为 ，这之后的边际成本曲线为 。
（c）用蓝笔在下图中画出Miss Manner厂的供给曲线。
（d）假设当汽油的价格为每桶30美元时，该厂面临的需求曲线是水平的。用红笔在下图中画出这条需求曲线。该厂供给的汽油量将是多少？
（e）如果该厂不能再以每桶15美元的价格购买前50桶原油，而必须对所有的原油都支付每桶15美元的价格，那么它的产量会如何变化？
（f）假设现在引入了一种权利计划，就是说精炼厂每以15美元的价格购买1桶原油，就有权利以5美元的价格购买一桶原油。该厂现在的供给曲线是什么？ 假设它能以同样的方式购买非整数单位的原油。用黑笔在上图中画出这条供给曲线。如果每桶汽油的价格为30美元时所面临的需求曲线是水平的，则该厂现在供给的汽油量是多少？
第二十三章 行业供给
23.1考虑一个有大量厂商的竞争性行业，所有的厂商有相同的生产函数c（y）=y2+1，其中y＞0并且c（0）=0。假设最初该行业的需求曲线是D（p）=52—p。（厂商的产量不一定是整数，但是厂商的数量必须是整数。）
（a）单个厂商的供给曲线是什么？S（p）= 。如果该行业有n个厂商，那么该行业的供给曲线是什么？
（b）产品能够出售的最低价格是多少？
（c）该行业厂商的均衡数量将是多少？（提示：猜一猜该行业的价格是多少，看看这对你是否有所帮助。）
（e）该行业的均衡产量是多少？ （f）假设现在需求曲线变成了D（p）=52.5—p。厂商的均衡数量将是多少？
23.2 我们将在本题中考虑城市地区农地使用的均衡模式。考虑一个位于很大的普通平原的中部的城市。市中心市场上小麦的价格是一蒲式耳10美元，而生产一蒲式耳小科的成本仅为5美元。但是，将一蒲式耳小麦运到市中心去，每英里的运费是10美分。
（a）如果某个农场离市中心有t英里，它每运输一蒲式耳小麦到市场上去将会得到多少利润，写出其利润的表达式。
(b)假设每英亩土地能够生产1000蒲式耳小麦，那么离中心t英里的一英亩土地的租金将是多少？
（c）如果土地的价值为零，那么该土地应该位于离市场多远的地方？
23.3考虑一个有三个厂的行业。假设这些厂商的供给函数分别如下：Si(p)=p/2。如果该行业有1、2、3或者4个厂商，画出并标出相应的行业供给曲线。
（a）如果所有厂商的成本结构都使得它们在价格低于3美元时会亏本，那么当市场需求为D(p)=3.5时，该行业的均衡价格和均衡产量是多少？答案：价格= ，产量= 。这一市场中将存在多少家厂
商？
（b）如果除了市场需求为D（p）=8—p，其他条件都和上面的一样，会发生什么情况呢？现在的均衡价格和均衡产量将是多少？ 这一市场中将存在多少家厂商？
23.4 假设某行业所有厂商的供给曲线都相同，并且为Si(p)=p/2。如果该行业有1、2、3或者4个厂商，画出并标出相应的行业供给曲线。
(a) 如果所有厂商的成本结构都使得它们在价格低于3美元时会亏本，那么当市场需求为D(p)=3.5时，该行业的均衡价格和均衡产量是多少？答案：价格= ，产量= 。这一市场中将存在多少家厂商？
(b) 如果除了市场需求为D(p)=8-p，其他条件都和上面的一样，会发生什么情况呢？现在的均衡价格和均衡产量将是多少？ 这一市场中将存在多少家厂商？
23.5 宠物狗行业可以自由地进入。所有人都可以进入该行业，并且与行业内的其他厂商拥有相同的U形平均成本曲线。
（a）在下图中，用蓝笔画出某个代表性厂商的平均成本曲线和边际成本曲线。再指出市场长期均衡的价格水平。
（b）假设政府对该行业售出的每单位产品征收的税收为t。用红笔在上图中画出新的情况。在该行业对这一税收作出调整之后，竞争性模型将有如下预测：市场价格的（增加，减少） 量将是 ，将会有（更多，相同，更少） 量厂商存在于该行业中，该行业中每个厂商的产出水平将会（增中，保持不变，减少） 。
（c）如果政府对该行业中的所有厂商都征收税收ι会出现什么情况。用黑笔在上图中画出新的成本条件。在该行业这一税收作出调整了之后，竞争性模型将得到如下预测：市场价格将会（上升，下降） ，将会有（更多，更少） 的厂商在该行业中经营，在该行业中经营的每个厂商的产出水平将会（增加，保持不变，下降） 。
23.6为了保护野生的美冠鹉，澳洲当局宣布出口这种大型鹦鹉是非法的。美冠鹦鹉交易的非法市场已经形成了。捕获一只澳洲美冠鹦鹉并将其运送到美国的成本大约是40美元。走私的鹦鹉被麻醉掉，装进箱子里用船运到美国。这对鹦鹉的损伤极大，大约50%的鹦鹉会在途中死掉。每只走私的鹦鹉有10%的可能性会被发现。如果被发现，鹦鹉就会被没收，并且还会被处以每只500美元的罚款。没收的鹦鹉如果还活着，就会被放归大自然；如果死了，就会捐赠给大学食堂。
（a）一只走私的鹦鹉能够活着到达买方手里而不被没收的可能性是 。这样，当走私鹦鹉的价格为p时，走私鹦鹉的人走私一只鹦鹉的期望总收益是多少？ 。
（b）每中鹦鹉的期望成本是多少，包括鹦鹉的供给曲线将是一条水平线。（提示：价格为多少时，鹦鹉的走私者刚好收支相抵？）
（c）当市场价格为 时，走鹦鹉的供给曲线将是一条水平线。（提示：价格为多少时，鹦鹉的走私者刚好收支相抵？）
（d）美国每年对走私鹦鹉的需求函数是D（p）=7200—20p。均衡价格下，每年将有多
少只走私鹦鹉在美国出售？ 要使活着到达美国买方手里的鹦鹉数达到这一数量，必须在澳洲捕捉多少只鹦鹉？
（e）假设海关当局不是将没收的活鹦鹉放归大自然，而是在美国市场上销售这些鹦鹉。走私一只鹦鹉的利润不会因这一政策的变化而改变。既然供给曲线水平的，那么走私鹦鹉的均衡价格就一定与将没收的活鹦鹉放归大自然时的均衡价格一样。均衡时，在美国市场上出售的活鹦鹉数是多少？ 将有多少只鹦鹉会永远地从澳洲大自然中消失？
（f）假设美完鹦鹉的交易合法化了。假设捕获并运送一只鹦鹉到美国去的成本是40美元。鹦鹉是在舒适的笼子里被运过去的，此时途中的死亡数量可以忽略不计。美国市场上鹦
鹉的均衡价格是多少？ 将有多少只鹦鹉在美国市场上出售？ 为供给美国市场，必须从澳洲捕捉多少只鹦鹉？
第二十四章 垄断
24.1 Peter Morgan在中央公园里用手推车卖鸽肉馅饼。Morgan是这种美食在中央公园里的唯一的供应者。他的成本为零，因为公园里有着丰富的原材料供应。
（a）他刚开始营业的时候，鸽肉馅饼的反需求函数是p（y）=100—y，其中价格是以美分衡量的，而y表示的是卖出的馅饼数。用黑笔在下图中画出这条曲线。在同一个图中用红笔画出边际收益曲线。
（b）最大化Peter利润的产量水平是多少？ Peter对每个馅饼的定价是多少？
（c）在他开业几个月后，他观察到需求曲线变成了p（y）=75—y/2。用蓝笔在
上图中画出这条曲线。在同一个图中用黑笔画出新的边际收益曲线。
（d）在这一新的价格水平下，他利润最大化的产是水平是多少？ 新的利润最大化的价格是多少？
24.2假设美国市对日本汽车的需求函数是这样的：每年的销售量(以千辆汽车计)是250-2P，其中P是以千美元计的日本汽车的价格。
(a)如果价格为5000美元时供给曲线是水平的，那么在美国市场上销售的日本汽车的均衡数量是多少? 千辆。美国人在日本汽车上的总支出为多少？ 百万美元。总支出为多少? 百万美元。
(b)假设为了回应来岛美国汽车制造商的压力。美国决定对日本汽车征收进口税。征收方式是这样的：日本制造商每出口一辆汽车到美国。就必须向美国政府支付2000美元的税收。现在在美画市场上销售的日本汽车是多少? 千。过些汽车构售价是多少？ 千美元。
（c）美国政府从这一关税中得到的收人是多少? 百万美元。
（d）下图中，纵轴表示的是美国消费者支付的价格。用蓝笔画出征收关税以前的需求和供给曲线。征收关税以后，摸给曲线发生了移动而需求曲线保持不变。用红笔画出新的供给曲线。
(e)假设美国政府不是征收进口税，而是劝说日本政府对其出品到美国的汽车进行“自愿出口限制”。假设日本政府同意限制出口，即要求每辆出口到美国的汽车都必须有出口许可证。进一步假设日本政府同意只签发236000张出口许可证，并且将这些许可证出售给国内生产商。假设日本生产商道美国的需求函数，并且知道丑能在美国销售23600辆汽车，那么他们在美国市场上可以索要的汽车伊硌是多少? 千美元。
（f）日本生产商愿意为一张出口许可证向日本政府支付多少钱? 千美元。（提示：想一想，生产一辆汽车的成本是多少。再想想如果有许可证，这辆汽车能卖多少钱。）
（g）日本政府从出售出口许可证上得到的总收入是多少？ 百万美元。 （h）美国人在日本汔车上总支出是多少？ 百万美元。
（i）为什么日本人会“自愿地”接受出口限制呢？
24.3某垄断厂商的反需求曲线是P（y）=12-y，成本曲线是c（y）=y。 (a)其利润最大化的产出水平是多少？
（b）假设政府决定地该垄断厂商施加一种税收，即它每卖出一单位产品必须支付给政府2美元。在这种税收之下，它的产出是多少？
（c）假设现在政府对其利润一次性地征收10美元的税收。它的产量将是多少？
24.4在下图中用黑笔画出反需求曲线P1(y)=200-y。
2
（a）如果该垄断厂商的成本为零，那么它将选择在该曲线的哪一点上经营？
（b）现在再画一条通过利润最大化点，但是比原来的需求曲线更平坦的需求曲线。用红笔将垄断厂商在这条新需求曲线上可能选择经营的部分表示出来。（提出：还记得显示偏好的结论吗？）
（c）垄断厂商在新需求曲线下比在原来的需求曲线下得到的利润（更大，更小）。 数是C（Q）=50000+2Q，其中Q是该书总的出版量。
（a）如果McSwill 必须在两个国家定相同的价格，那么它应该出版多少册？ 为最大化自己的利润，它应该定什么价格？ 此时的利润是多少？
（b）如果McSwill 可以在两个国家定不同的价格，并且它希望最大化自己的利润，那么它应该在美国市场上销售多少册？ 在美国市场上定什么价格？ 应该在英国市场上销售多少册？ 在英国市上定什么价格？ 它的总利润是多少？
第二十五章 垄断行为
25.1香蕉计算机公司在国内和国际市场上出售香蕉牌计算机。由于电力供应方面差别，
在一个市场上购买的计算机不能在另一个市上使用。两个市场上的需求曲线和边际收益曲线分别如下： Pd=20000—20
pf=25000—50Q MRf =25000—100Q
MRd=20000—40Q
香蕉公司的生产呈现规模收益不变的性质，并且生产100台计算机的成本是1000000美元。
（a）香蕉公司的长期平均成本函数是AC（Q）= ，长期边际成本函数是MC（Q）= 。（提示：如果存在规模收益不变，长期平均成本随着产量的变化而变化吗？）在下图中画出平均成本和边际成本曲线。
（b）用黑笔画出国内市场霜求曲线，用铅笔画在国内市场的边际收益曲线。 用红笔画出国际市场的需求曲线，用蓝笔画出国际市场的边际收益曲线。
（c）如果香蕉公司最大化自己的利润，它将以每台 美元的价格在国内市场上销售 台计算机，每台 美元的价格在国际市场上销售 台计算机。香蕉公司的总利润是多少？
(d) 在利润最大化的价格和销售量上，国内市场需求的价格弹性是多少？ 国际市场需求的价格弹性是多少？ 价格较高的市场的需求弹性是更大还是更小？
(e) 假设某人想出了一种连线技术，该技术使得为任何一个市场制造的计算机可以无成本地转换为适用于另一个市场（忽略运输成本）。在下图中，（用蓝笔）画出香蕉公司面临的新的反需求曲线，（用红笔）画出新的边际收益曲线。
(f) 假定成本没有发生变化，香蕉公司应该销售多少台计算机？ 定的价格将是多少？ 既然它现在无法实行价格歧视，其利润将怎样变动？
25.2某垄断厂商的成本函数是c（y）=y，面临的需求函数是P（y）=120—y。
（a）利润最大化的产出水平是多少？ 该垄断厂商的定价格将是多少？ （b）如果对该垄断厂商征收100美元的一次性税收，其产量将是多少？ （c）如果你希望为该垄断厂商选择一个使得消费者剩余和生产者剩余之和最大化的最高价格，这一最高价格应该是多少？
（e）如果对该垄断厂商征收每单位量20美元的特种税，则其利润最大化的产量水平是多少？
25.3陆军上校Tom Barker准备开一个最新的娱乐城Elvis世界。Elvis世界以一些刺激性的项目为特征。你可以在Blue Suede Chutes里乘坐飞船，攀越Jail-house岩石，并在Heartburn饭店里享用晚餐。Tom上校预测Elvis世界每天将吸引到1000人，每个人将乘坐x=50—50p次飞船，其中p是每乘坐一次的价格。来Elvis世界游玩的人都十分地相似，并且不允许其乘坐的次数为负数。每次乘坐的边际成本从本质上讲为零。
（a）每个人对乘坐飞船的反需求函数是什么？ （b）如果Tom上校将价格定在最大化利润的水平上，那么一个有代表性的游客每天将会乘坐几次飞船？
（c）乘坐一次的谷格将是多少？ （d）Tom上校从每位游客身上赚到的利润是多少？ （e）乘坐一次飞船的帕累托有效率的价格是多少？ （f）如果Tom上校索要的价格是帕累托有效率的价格，则将卖出多少次乘坐？
2
（g）在这一价格和数量下产生的消费者剩余是多少？ （h）如果Tom上校决定采用两部收费方式，他设置的入门费将是 ，而每乘坐一次的价格将是
25.4 String Valley城位于两座山峰之间，从南到北有36英里长，宽只有一个街区的样子。在该城中，人口分布均匀，每英里有100人。由于地势多山，没有人居住在限制范围以外，即城市的北部边缘或南部边缘以外。因为严格的分区限制，该城只有三个保龄球馆。其中一家位于该城的北部边缘上，另一家位于南部边缘上，还有一家正好位于城市的中心。包括时间和汽油在内的交通成本是每英里1美元。城中所有公民的偏好相同。如果打保龄球的成本（包括交通成本和保龄球馆索要的价格）不超过15美元，那他们就愿意每周打一次保龄球。
(a) 考虑位于城市边缘的其中某个保龄球馆。如果它索要的价格是每晚10美元，那么城中的居民愿意走多远到这里打保龄球？ 如果该保龄球馆索要每晚10美元的价格，则它每周将会有多少位顾客？
(b) 如果位于城市边缘的保龄球馆索要的价格是每晚p美元，写出该馆顾客的人数的表达式。
(c) 写出该馆反需求函数的表达式。
(d) 假设城市边缘的保龄球馆接待每位顾客的边际成本是3美元，其定价为利润最大化的价格水平。（暂时假定这些保龄球馆没有来自城中其他保龄球馆的竞争。）他们将有多少位顾客？ 索要的价格是多少？ 最远的顾客将居住在离城市边缘多远的地方？
(e) 现在我们来考虑位于城市中心的保龄球馆。如果它索要的价格是每晚p美元，则它每周的顾客数是多少？
(f) 如果城市中心的保龄球馆在每位顾客身上的边际成本也是3美元，并且也是最大化其利润的，则它索要的价格是多少？ 它每周的顾客数是多少？ 最远的顾客居住在离市中心多远的地方？
(g) 假设该城放松了其关于保龄球馆所处的位置的分区限制，但是仍然只颁发三个经营保龄球馆的执照。位于城市边缘的两个保龄球馆都打算放弃原来的租约，并可以选择在它们喜欢的任何地方以大致相同的成本经营。位于城市边缘的两个保龄馆将馆址选择在原来市中心的保龄馆的附近，这样做会使得它们的利润增加吗？ 使得这两个保龄球馆的利润最大化的位置是何处？
25.5 在上题描述的议会选举区中，我们来看看如果这两个候选人关心的不是得到的投票数，而是他们得到的选举捐款额，将会发生什么情况。因此，给定另一个候选人的位置，
每个候选人选择的政治位置都是最大化他自己所得到的选举捐款额的。
我们定义极端的左翼者是位于最左的候选人左边的投票人，极端的右翼者是位于最右的候选人右边的投票人，中间投票人位于两个候选人的中间。假设每个极端的投票人都对离自己最近的候选人选进捐款，而中间的投票人不进行选举捐款。每个极端的投票人捐给自己最喜欢的候选人的金额与两个候选人之间的距离成比例。具体来说就是，假设存在某个常数C，左翼候选人位于点x处，右翼候选人位于点y处，则左翼候选人获得的总捐款额为Cx(y-x)美元，而右翼候选人获得的总捐款额为C(1-y)(y-x)美元。
(a) 如果右翼候选人位于点y处，使得左翼候选人获得的捐款额最大化的位置是x= 。如果左翼候选人位于点x处，使得右翼候选人获得的捐款额最大化的位置是y= 。（提示：求导，并令导数为
(b) 给定另一个候选人的位置，求出每个候选人将会选择的使得自己获得的捐款额最大化的位置。写出这一唯一的政治位置的数对。
(c) 假设除了从站在自己这一边的极端投票人那里获得捐款以外，候选人还可以从相对于其对手来说，更接近于自己的中间投票人那里获得捐款。假设中间投票人和极端投票人一样，都是捐款给自己更喜欢的候选人。并且他们的捐款额同他们自己和自己较不喜欢的候选人之间的距离，他们自己和自己较喜欢的候选人之间的距离的差额成比例。给定另一个候选人的位置，证明此时使得左翼候选人和右翼候选人的选举捐款额都最大化的唯一的位置对是x=1/4, y=3/4。
第二十六章 要素市场
26.1 巨大企业垄断着椅罩的生产。它的工厂位于庞大固埃城。该城中没有其他的地业，并且那里的劳动供给方程是W=10+0.1L，其中W是日工资，L是所有工人每天总共的劳动量。椅罩的生产函数是Q=10L，其中L是每天的劳动供给量，Q是每天的产量。椅罩的反需求函数是P=41-Q/1000，其中P是价格，Q是每天的销售量。
(a) 求出巨大企业利润最大化的产量。（提示：运用生产函数求出任意产出水平所必需的劳动供给量。做替换，求出企业的总成本和利润作为产量的函数时的表达式。解出利润最大化的产量水平。）
(b) 它使用的劳动量是多少？ 它支付的工资率是多少？ (c) 椅罩的价格是多不？ 该企业的利润是多少？
26.2 密歇根州塞尔查泉的居民所消费的矿泉水的瓶数是依赖于需求池数D(p)=1000-p的，其中D(p)是每瓶矿泉水的价格为p时的年需求量。
塞尔查泉唯一的矿泉水分销售Bubble Up，以每瓶c美元的成本从供应商Perry Air那里买进矿泉水。Perry Air是该地区唯一的矿泉水供应商，其行为是利润最大化的。为简单起见，我们假设其生产成本为零。
(a) 均衡时，分销商Bubble Up索要的价格是多少？ (b) 均衡时，Bubble Up的销售量是多少？ (c) 均衡时，生产商Perry Air索要的价格是多少？ (d) Perry Air均衡的销售量是多少？ (e) Bubble Up的利润是多少？ (f) Perry Air的利润是多少？ (g) 该市场中产生的消费者剩余是多少？
(h) 假设这一状态将永远持续下去，并且预计每年的利率恒定在10%上。那么Perry Air为了买下Bubble Up的企业，必须一次性地最少支付给Bubble Up多少钱？
(i) 假设Perry Air这样做了，那么矿泉水新的价格和销售量是多少？ (j) 这一新合并的企业的利润是多少？ (k) 所产生的消费者剩余的总量是多少？与原先消费者剩余的水平相比如何？
26.3 上半岛地下录音带（UPUR）垄断着著名的摇滚部落Moosecake的录音带。Moosecake的音乐只以数字录音带的形式出品，每盒空数字录音带的成本是c，没有其他的生产和销售成本。令p(x)表示对Moosecake音乐的反需求函数，其中x是售出的音乐带的数量。
(a) 利润最大化的一阶条件是什么？作为以后的参考，令x为利润最大化的生产量，p是该产量时的价格。（在这一部分中，假设录音带不能复制。）
现在，一种新型的数字带录音机被广泛地使用了，用户可以用它对先前录制的数字录音带录制一份（且只可录制一份）复制带。这些复制的带子在消费价值上与原来的带子是完全的替代品，并且这些复掉带在使用和销售上没有任何阻碍。但是，任何人都可以看出复制带与原版带之间的差异，并且知道这些复制带不能再进行复制。每盒空白带要花费消费者c美元，与垄断厂商所支付的价格一样。
(b) 所有Mossecake的音乐迷都利用这一机会对原版带进行一次复制，并将复制的带子在二级市场上出售。与复制带的价格相关的原版带的价格是多少？推导出UPUR所面临的原版带的反需求曲线。（提示：对原版带的需求有两个来源：听音乐的享受，以及出售复制带的利润。）
(c) 如果UPUR生产x盒带子，写出其利润的表达式。
(d) 令x表示UPUR利润最大化的生产水平。这一产量水平与先前利润最大化的产量水平相比如何？
(e) Moosecake复制带的价格与(a)中推导出的价格水平相比如何？ (f) 如果p表示的是一盒Moosecake复制带的价格，那以一盒原版的Mossecake录音带的价格是多少？
第二十七章 寡头垄断
27.1 市场对豆芽的反需求函数为P(Y)=100-2Y，该行业中任意厂商的总成本函数TC(y)=4y。
(a) 该行业中任意厂商的边际成本等于 。价格增加一单位使得产量的变化为 。
(b) 如果豆芽行业是完全竞争的，行业的产量将是 ，行业的价格将是 。
(c) 假设市场上有两个古诺厂商。厂商1的反应函数是 （提示：与课本中的例子不同，这里的边际成本不为零）。厂商2的反应函数是 。如果厂商在古诺均衡点处经营，则行业的产品为 ，每个厂商将生产 ，市场的价格为 。
(d) 对古诺竞争的情况，在下图中画出两条反应曲线，并标同均衡点。
(e) 如果这两个厂商决定合谋，行业的产量将是 ，市场的价格将等于 。
(f) 假设这两个合谋的厂商都生产相同的产量。如果其中一个合谋的厂商认为另一个厂商对于行业总产量的变化不会作出反应，那么如果该厂商将自己的产量增加一单位，该厂商的利润会发生什么变化？
(g) 假设一个厂商如斯塔克尔伯格领导者那样行动，另一个厂商如跟随者那样行动。领导者的最大化问题可以写为 。解这一问题得到，领导者生产的产量为 ，跟随者生产的产量为 。这意味着行业的产量为 ，价格为 。
27.2 Grinch是一个矿泉水泉眼的唯一所有者。这一泉眼可以无成本地喷出Grinch想要罐装的任意多的矿泉水。Grinch每罐装一加仑的这种水要花费2美元。对Grinch的矿泉水
的反需求函数为p=20-0.20q，其中p是每加仑的价格，q是出售的加仑数。
(a) 写出作为q的函数的利润的表达式：II(q)= 。求出使得Grinch的利润最大化的q。
(b) 如果Grinch生产利润最大化的产量，那么每加仑矿泉水的价格是多少？ 他得到的利润是多少？
(c) 现在，假设Grinch的邻居Grubb发现了一个泉眼，这一泉眼生产的矿泉水与Grinch的一样好。但是Grubb将水从地上取出来并且罐装，每瓶要花费6美元。市场对矿泉水的总需求还和以前一样。假设Grinch和Grubb彼此都认为对方的产量决策与自己的决一败涂地我关。Grubb古诺均 均的产量是多少？ 古诺均衡时的价格是多少？
27.3 Alex和Anna是澳大利亚悉尼销售袋鼠的唯一卖方。Anna选择销售的袋鼠数量q1
能够最大化她的利润，并且q1依赖于她所预期的Alex将会销售的袋鼠数。Alex知道Anna将会如何反应，并且在考虑到这一信息后选择他自己的销售量q2。对袋鼠的反需求函数为P(q1+q2)=2000-2(q1+q2)。饲养一只袋鼠出售要花费400美元。
(a) Alex和Anna是斯塔克尔伯格竞争者。 是领导者， 是跟随者。
(b) 如果Anna预期Alex将会销售q2只袋鼠，那么如果她选择销售q1只袋鼠，她自己的边际收益是多少？
(c) Anna的反应函数R(q2)是什么？ (d) 如果现在Alex销售q2只袋鼠，那么市场上销售的袋鼠的总量是多少？ 仅仅作为q2的函数，市场的价格将如何表示？
(e) 只作为q2的函数的Alex的边际收益是多少？ Alex将销售多少只袋鼠？ Anna将销售多少只袋鼠？ 行业价格是多少？
27.4 考虑具有如下结构的行业。该行业中有50家厂商，其行为都是完全竞争的，并且有相同的成本函数c(y)=y2/2。该行业还有一家垄断厂商，其边际成本为零。产品的需求函数为D(p)=1000-50p。
(a) 一个竞争性厂商的供给曲线是什么？ 价格为p时，竞争性部门的总供给是S(p)= 。
(b) 如果垄断厂商将价格定为p，那么它能够销售的量为Dm(p)= 。 (c) 垄断厂商利润最大化的产量为ym= 。垄断厂商利润最大化的价格是多少？
(d) 在这一价格水平下，竞争性部门所提供的产量是多少？ 该行业销售的总产量是多少？
27.5 考虑一个有一家大厂商和许多家小厂商的市场。小厂商的供给函数加总起来为S(p)=100+p。对产品的需求函娄为D(p)=200-p。那一家大厂商的成本函数是c(y)=25y。
(a) 假设大厂商被迫生产零单位的产量。均衡的价格是多少？ 均衡的产量是多少？
(b) 假设现在大厂商试图利用自己的垄断力，并且定了一个利润最大化的价格。为了模型化这一点，我们假设消费者总是先到竞争性部门去购买他们能够买到的尽量多的产品，然后才到大厂商那里去购买。这种情况下，均衡的价格将是 。大厂商供给的产量将是 ，竞争性厂商供给的均衡产量将是 。
(c) 大厂商的利润将是多少？
(d) 最后假设大厂商能够将竞争性厂商逼出市场，而自己就如一个真正的垄断者那样行动。均衡的价格将是多少？ 均衡的产量将是多少？ 大厂商的利润是多少？
27.6 在美国中西部一个偏远的地方，没有通火车之前，铸铁炉在该地十分受欢迎。但是人们相互之间居住得太分散，路况也很差，因此，运输笨重的铁炉的成本很高。炉子可以通过水路运输到密苏里州的Bouncing Springs镇。Ben Kinmore是该镇唯一的做炉子生意的人。他可以按每只炉子20美元的价格购买自己想要的任意量的炉子，并且炉子是送到他的店里面的。需要炉子的农场主都沿着一条从东到西贯穿整个镇的路而居住着。在这条路上，每隔一英里就有一个农场，运送炉子的成本为每英里1美元。在这条路的两个方向上，再没有其他的卖炉子的店了。沿着这条路的每位农场主对铸铁炉的保留价格为120美元。也就是说，与没有炉子相比，他们中的每个人都愿意最多出到120美元以得到一只炉子。没有人会使用一只以上的炉子。Ben Kinmore对每只炉子收取一个p美元的基础价格，再在这一价格上加上运输费用。例如，如果炉子的基础价格为40美元，而你居住在Bouncing Springs镇以西45英里的地方，你就必须支付85美元才能得到一只炉子，即40美元的基价加上45美元的运输费用。因为每位农场主的保留价格为120美元，因此如果基价是40美元，那么任何居住在距离Bouncing Springs镇80英里以内区域的农场主，都将愿意支付40美元加上运输费用以得到一只炉子。因此在基价为40美元时，Ben可以卖出80只炉子给居住在他以西的农场主们。同样地，如果基价为40美元，他可以卖出80只炉子给居住在他以东80英里以内的农场主们，总共就是160只炉子。
(a) 如果Ben将炉子的基价定为p美元，其中p<120，并且每运输一英里收费1美元，那么他能够卖出的炉子的总数是多少？ （记住要将他往东卖出的数量与往西卖出的数量相加。）假设Ben除了买炉子和送炉子的成本外，再没有其他的成本。那么Ben每只炉子可赚取利润p—20美元。写出Ben的总利润的表达式，总利润是他所索取的基价p
的函数。
(b) Ben的利润最大化的基价是 。（提示：你刚才写出了作为价格的函数的利润的表达式。现在，对这一利润的表达式关于p求导。）Ben最远的顾客将居住在距离他 英里的地方。Ben将卖出 只炉子，总利润为 。
(c) 假设Ben不是只定一个基价而让所有的买者自己支付运输费用，而是提供免费的运输服务。他将价格定为p，并承诺对任何居住在离他p—20英里以内的农场主免费送货。（他不会给住得比那还远的顾客送货，因此那样他买炉子加送炉子的成本就超过p美元了。）如果他决定这样定价，他应该将p定为多高？ Ben将会运送出多少只炉子？ 他的总收入是多少？ 他的总成本将是多少，包括他运送的成本以及购买炉子的成本？ （提示：他运送一只炉子的平均距离是多少？）他赚取的利润是多少？ 为什么这种运送费用由他自己支付的定价策略比运送费用由农场主支付的定价策略，对于Ben来说更为有利可图？你能给出解释吗？
第二十八章 博弈论
28.1 为了得知人们在博弈情况下事实上是如何行动的，经济学家和其他社会学家们经常组织一些实验，在这些实验中人们用钱来玩博弈。其中一个这样的博弈叫做“自愿公共商品博弈”。这一博弈 用来代表这样一些情形的：在这些情形中，个人所采取的行动对他们自己来说成本很高，但是对整个社会却是有利的。
我们将在本题中分析一个只有两个参与人的自愿公共商品博弈。两个参与人被分置在不同的房间里，给每个参与人10美元。参与人有两种途径使用这笔钱。他可以自己“保留”这些钱，也可以把钱“捐”给一个“公共基金”。捐到公共基金的钱被乘以1.6后再在两个参与人之间进行平均分配。如果两个参与人都捐出自己的10美元，那么他们每个人都得到20×1.6/2=16美元。如果一个参与人捐而另一个不捐，那么他们两人分别从公共基金那里得到10×1.6/2=8美元，因此捐钱的一方在博弈的最后有8美元，而不捐钱的一方有18美元——他起初的10美元加上从公共基金那里得到的8美元。如果双方都不捐钱，他们就各自拥有自己起初的10美元。这一博弈的收益矩阵是：
自愿公共商品博弈
参与人B 捐 不捐 参与人A
捐
不捐
16,16 18,8 8,18 10,10
(a) 如果另一个参与人选择“不捐”，那么你选择“不捐”的收益是多少？ 如果另一个参与人选择“不捐”，那么你选择“捐”的收益是多少？
(b) 如果另一个参与人选择“捐”，那么你选择“不捐”的收益是多少？ 如果另一个参与人选择“捐”，那么你选择“捐”的收益是多少？
(c) 这一博弈存在占优策略均衡吗？ 如果存在，是什么？
28.2 猎鹿博弈来自于Jean Jacques Rousseau在他的《人类不平等的起源和基础论文集》（1754）一书中的一个故事。这个故事大致是这样的：两个猎人准备去猎鹿。其中一人答应将鹿赶出森林，而另一个人则在鹿经过的地方守候。如果两个人都忠实地履行分配给自己的猎鹿任务，他们就肯定可以猎到鹿，并且每人分到一半的鹿。在打猎的过程中，每个猎人都有放弃猎鹿而去捕捉兔子的机会。如果某个猎人去捉兔而不是猎鹿，那么他肯定能够捉到兔子而鹿则肯定会逃走。每个猎人都更愿意分享鹿而不是自己得到一只兔子。下面的矩阵表示的是猎鹿博弈中的收益。如果两个猎人都猎鹿，他们各得到收益4。如果两个猎人都捉兔，他们各得到收益3。如果一个人猎鹿一个人捉兔，那么猎鹿的人得到0而捉兔的人得到3。
(a) 如果你确信另一个猎人会猎鹿，那么你的最优选择是什么？ (b) 如果你确信另一个猎人会捉兔，那么你的最优选择是什么？ (c) 在这一博弈中，任意一个猎人有占优策略吗？ 如果有，是什么？如果没有，请解释为什么没有。
猎鹿博弈 参与人B 猎鹿 捉兔
猎人A
猎鹿
捉兔
4, 4 3, 0 0, 3 3, 3 (d) 这一博弈有两个纯策略的纳什均衡。这两个均衡是什么？ (e) 其中一个纳什均衡对两个猎人来说都比另一纳什均衡更好吗？ 如果是的，哪一个是更好的均衡？
(f) 如果一个猎人认为另一个猎人有1/2的概率选择猎鹿，有1/2的概率选择捉兔，那么为最大化自己的期望收益，这个猎人应该怎么做？
28.3 本章的导言中叙述了室友Albert和Victoria以及他们脏乱的房间的不幸的故事。他们的收益矩阵由下表给出。
Albert和Victoria的宿舍生活
Victoria
打扫 不打扫
Albert
打扫 不打扫
5, 5 6, 2 2, 6 2, 3 假设我们给这个博弈再加上一个阶段，在这一阶段中，Albert和Victoria彼此都有机会惩罚对方。想象一下，在一天结束的时候，Albert和Victoria彼此都能够看到对方是否打扫了房间。看到对方所做的事情以后，他们都可以选择是否吵架。吵架会对双方造成伤害，无论是谁先开始吵的。这样我们将假设，如果他们中有一人或者两人开始吵架，那么这一天他们两人的收益都要减少2。（例如，如果Victoria打扫了房间而Albert没有打扫，并且如果Victoria看到了这一结果先开始吵架的话，Albert的收益将是6-2=4，而Victoria的收益将是2-2=0。）
(a) 假设现在是晚上，Victoria看到了Albert选择的是不打扫房间，并且她认为他不会无开始吵架的。哪种策略将使她一整天的收益更高，吵架还是不吵架？
(b) 假设Victoria和Albert彼此都认为对方将会采取能够最大化他或她当天总收益的行动。他们两人中有人认为对方会开始吵架吗？ 假设给定其他人的行动，每个人都试图最大化他或她自己的收益，你预计他们每个人在博弈的第一阶段会怎么做，是打扫还是不打扫？
(c) 假设Victoria和Albert被某种他们不能控制的情绪支配着。如果看到对方没有打扫房间，他们谁也无法不生气。并且如果任意一方生气了，他们就会吵架从而收益都减少2。如果任意一方没有打扫就肯定会有争吵，那么Victoria和Albert之间的博弈的收益矩阵就变成了：
有报复心的Victoria和生气的Albert
Victoria 打扫 不打扫 Albert
打扫
不打扫
5, 5 4, 0 0, 4 1, 1 (d) 如果另一方打扫房间，那么这一方是打扫更好还是不打扫更好？ 如果另一方不打扫房间，那么是打扫更好还是不打扫更好呢？ 解释一下。
(e) 这一博弈有占优策略吗？ 给出解释。
(f) 这一博弈有两个纳什均衡。分别是什么？
(g) 如果Victoria和Albert都很容易生气，而不是在何时生气的问题上十分理性，那么他们的状况可能会都变得更好，但是也可能他们的状况都变得更坏了。解释一下为什么会出现这样的情况。
(h) 假设Victoria和Albert都清楚，如果Victoria没有打扫房间，Albert将会生气并开始吵架，但是Victoria的头脑很冷静，她不会开始吵架。均衡的结果是什么？
28.4 Maynard’s Cross是一个时髦的小酒馆，这个小酒馆擅长生牛肉片和其他生的东西。大多数到这里来的人都希望看到另人，也希望被人看到。但是，有一个包含10个顾客的中坚群体，他们每晚都来这个酒馆，他们不在乎其他人来了多少。来Maynard的其他顾客的数量依赖于他们预期能够看到的人数。特别地，如果人们预计某晚Maynard的顾客人数为X，那么那晚真的去Maynard的顾客人数就是Y=10+0.8X。均衡时，到该酒馆的实际人数肯定等于人们所预计的人数。
(a) 要求均衡时Maynard的顾客人数，你必须同时求解哪两个方程？ (b) 每晚均衡的顾客人数是多少？
(c) 在下面的坐标系中，画出(a)中你所给出的两个方程的曲线。标出均衡时的顾客人数。
(d) 假设另一个生牛肉片爱好者搬到了这个地方。和其他那10个人一样，无论Maynard另外有多少位顾客，他每晚都在Maynard用餐。写出决定Maynard顾客人数的新方程，并且求出新的均衡顾客人数。
(e) 用不同颜色的笔画出变化后新方程的曲线。这一新的固定顾客吸引了多少额外的顾客（除了他自己以外）？
(f) 假设每个人都根据上一晚的顾客数来预计当晚的顾客数是多少，并且上一晚的顾客数是公共知识，则Xt=Yt-1，其中Xt是t晚预期的顾客数，Yt-1是t-1晚实际的顾客数。在任意时刻t，Yt=10+0.8Xt。假设Maynad开业的第一晚有20位顾客，那么第二晚的顾客人数将是多少？
(g) 第三晚的顾客人数将是多少？
(h) 顾客人数将会倾向于某一极限值。这一极限值是多少？
28.5 Yogi酒吧烤肉店很受那些喜欢安静、不爱交际的人的喜爱。如果Yogi的固定顾预计当天Yogi的人数为X，那么出现在Yogi的顾客人数Y将是以下两个数中较大的那个数，即120-2X和0。也就是说Y=max{120-2X, 0}。
(a) 求Yogi均衡的顾客人数。在下面的坐标系中画出能够描述这一均衡的图形。 (b) 假设人们预计任意一晚的顾客人数都与前一天晚上的顾客人数相等。假设开业的第一天，Yogi的顾客人数为50人。那么第二天将有多少顾客光临Yogi？ 第三天呢？ 第四天呢？ 第五天呢？ 第六天呢？ 第九十九天呢？ 第一百天呢？
(c) 如果至少有一位Yogi的顾客记得超过一天或者两天的事情，那么你认为该模型有什么错误的地方呢？
第二十九章 博弈论的应用
29.1两个软件公司销售相互竞争的产品。这些产品是相互替代品，因此任何一个公司销售的产品数都是它自身价格的减函数，是另一公司产品价格的增函数。令p1和x1分别为产品1的价格和销售量，p2和x2分别为产品2的价格和销售量，则
x1?100(090?12p1?14p2)，x2?1000(90?12p2?14p1)。每个公司在设计自己的软件
和编写程序上都存在固定成本，但是销售额外一单位产品给用户的成本为零。因此每个公司都将通过选择最大化自己总收益的价格来最大化自己的利润。
(a) 写出公司1的总收益的表达式，其中总收益是其自身的价格p1和另一个公司的价格p2的函数。
(b) 公司1的最优反应函数BR1(·)是这样定义的：给定产品2的价格为p2，BR1(p2)是能够最大化公司1收益的产品1的价格。在收入函数已知的条件下，公司1的最优反应函数由公式BR1(p2)= 表示。（提示：对收益关于p1求导，解出给定p2时收益最大化的价格p1。）
(c) 用同样的方法求出公司2的最优反应函数BR2(p1)= 。 (d) 求解纳什均衡的价格，p1= ，p2= 。
(e) 假设公司1先定价。公司2知道公司1所选择的价格p1，并且它知道公司1将不会
入变其价格。如果公司2在公司1的价格p1给定的条件下选择最大化自己收益的定价，那么它将选择什么价格？p2= 。如果公司1知道公司2对自己选择的价格的反应，则公司1选择的价格为多少？ 给定公司1的这一价格，公司2将会选择什么价格？
29.2这是“懦夫”博弈的一个例子。两个十几岁的孩子各自开着汽车，加大马力以很高的速度向对方开过来。最先转弯的那个人被称为“懦夫”。对你来说，最好的情况是对方转弯而你不转弯。这样你就是英雄而对方就是懦夫。如果你们两个人都转弯，你们就都是懦夫。如果两个人都不转弯，你们就都得进医院。这种类型的懦夫博弈的收益矩阵如下。
懦 夫 Leroy 转弯 不转弯
Job Bob
转弯
不转弯
1, 1 1, 2 0, 0 2, 1 (a) 这一博弈有占优策略吗？ 其中的两个纯策略纳什均衡是什么？
(b) 找出该博弈的一个混合策略纳什均衡。
29.3 Ned和Ruh喜欢玩“捉迷藏”。这个游戏很简单，很是很有趣。游戏是这样的：Ruth躲在楼上或者楼下。Ned可以到楼上去找也可以到楼下去找，但是不能两个地方都去。如果人找到了Ruth，Ned就得到一勺冰淇淋而Ruth什么也得不到。如果他没有找到Ruth，Ruth就得到一勺冰淇淋而Ned什么也得不到。将收益填写在下面的矩阵中。
捉迷藏 Ruth 楼上 楼下
Ned
楼上
楼下
(a) 这是一个零和博弈吗？ 其纯策略纳什均衡是什么？ (b) 找出该博弈的一个混合策略纳什均衡。
(c) Ned和Ruth玩这游戏很多年了，现在他们想到了一个使这个游戏更有意思的方法。即如果Ned在楼上找到了Ruth，他将得到两勺冰淇淋；但是如果他在楼下找到她，他将得到一勺冰淇淋。如果Ned找到了Ruth，Ruth将得不到冰淇淋；但是如果Ned没有找到她，她将得到一勺冰淇淋。在下表中填入收益。
高级版的捉迷藏
Ruth 楼上 楼下 Ned
楼上 楼下
(d) 存在纯策略纳什均衡吗？ 你能求出什么样的混合策略均衡？ 如果两两个人都使用均衡策略，Ned找到Ruth的可能性是多少？
29.4 我们再来看一下课本中讨论过的足球的例子。但是这里，我们将对收益矩阵稍微进行一下一般化处理。假设收益矩阵如下。
任意球 踢球者 往左踢 往右踢
守门员 往左跳
往右跳
1, 0 1-p, p 0, 1 1, 0 现在，如果踢球者往左踢而守门员往右跳，从而踢球者得分的概率是p。我们希望看到均衡的概率如何随着p的变化而变化。
(a) 如果守门员以πg的概率往左跳，那么如果踢球者往右踢，踢球者得分的概率是
(b) 如果守门员以πg的概率往左跳，那么如果踢球者往左踢，踢球者得分的概率是
(c) 求出使得踢球者往左踢和往右踢时得分的概率相同的概率πg。（你得到的答案应该是p的函数。）
(d) 如果踢球者以πk的概率往左踢，那以如果守门员往左跳，踢球者不得分的概率是
(e) 如果踢球者以πk的概率往左踢，那么如果守门员往右跳，踢球者不得分的概率是
(f) 求出使得守门员往左跳和往右跳时得到的收益相等的概率πk。 (g) 变量p告诉我们的是，当球门的左边无人防守时，踢球者有多大的可能性将球踢进球门的左边。随着p的增加，均衡时踢球者往左踢的概率是增大还是减小？ 请用一种体育节目解说员都能够理解的方式解释一下为什么会是这样的。
29.5 本题是课本中所描述的鹰一鸽博弈的一个例子。这一博弈最早是由生物学家John Maynard Smith使用的，他用这一博弈来说明演化理论中博弈论的应用。某个特定种群的雄性常常会因为争夺与雌性交配的机会而与其他雄性发生冲突。如果某个雄性遇到了这种冲
突，它有两种相互替代的策略可选择。如果它选择“鹰”的角色，它就会与其他的雄性打架，直到它赢了或者被对方伤得很重。如果它选择“鸽”的角色，它会摆出一副勇敢的样子，但是如果对方开始打架它就会退出。如果两只鹰相遇，它们双方都会受重伤。如果鹰遇到鸽，鹰能够与雌性交配，鸽会逃跑而考虑独身。如果鸽遇到鸽，它们都会摆出一副炫耀的样子但是又都不会赶走对方。最后雌性可能会随机地选择它们其中的一个，或者会觉得很厌倦而离开。
鹰-鸽博弈 动物B 鹰 鸽
动物A
鹰 鸽
-5, -5 0, 10 10, 0 4, 4 (a) 当某个雄性在树林中漫步的时候，它会遇到许多这种类型的冲突的情况。假设它事先无法判断它遇到的另一方是鹰还是鸽。对它来说采取任意一个策略所得的收益取决于鹰和鸽在群体中随机的分布。例如，森林里只有一只鹰，其他的雄性都是鸽。鹰会发现自己的对手总是选择撤退，因此每次遇到这种情况自己得到的收益都将是 。如果其他的雄性都是鸽，那么剩下的这个雄性也是鸽时，它每次遇到这种情况所得到的收益将是 。
(b) 如果更有利可图的策略将会更多地被选择。解释一下为什么不会出现所有的雄性都选择鸽的角色的均衡。
(c) 如果所有其他的雄性都是鹰，那么某个采取鹰策略的雄性肯定会遇到另一个采取鹰策略的雄性，并且他得到的收益为 。相反，如果他采取鸽策略，他同样肯定会遇到一个采取鹰策略的雄性，但是此时他的收益为 。
(d) 解释一下为什么不会出现所有的雄性都选择鹰的角色的均衡。 (e) 既然不会出现所有的动物都选择同样的策略的均衡，那么我们就来寻找一个均衡，在该均衡中一部分雄性选择鹰策略而其余的雄性选择鸽策略。假设有很多的雄性动物，其中鹰的比例为p。那么任意一个雄性动物大约以p的概率遇到鹰，大约以1—p的概率遇到鸽，并且得到10的收益。这样，如果群体中鹰的比例为p，则鹰得到的期望收益为px(-5)+(1-p)×10=10-15p。同样的计算表明，如果群体中鹰的比例为p，那么选择鸽策略所是到的平均收益为 。
(f) 如果群体中鹰的比例为p，写出一个表示鹰的收益等于鸽的收益的表达式。 (g) 解该方程以求出p的值。在该值处，鹰的状况与鸽的一样好。这要求p= (h) 在下面的坐标系中，用蓝笔画出当雄性群体中鹰的比例为p时，选择鸽策略所得到
的平均收益的曲线。用红笔画出当群体中鹰的比例为p时，选择鹰策略所得到的平均收益的曲线。在你的图中将均衡的比例标为E。
(i) 如果鹰的比例稍微大于E，哪一种策略更好？ 如果鹰的比例稍微小于E，哪一种策略更好？ 如果在未来的博弈中，更有利可图的策略将会更多地被选择，那么如果比例偏离了了均衡，策略的改变会使得比例重新回到均衡处还是离均衡更远？
29.6 Iron Chicken餐馆位于一条繁忙的跨州公路边上。大多数来这里的顾客都仅仅只是路过并且再也不会来了的。但是一些卡车司机因运输路线的缘故会定期地路过该餐馆。Sybil是餐馆的一名女招待，她眼睛近视，无法辨认常客和一次性的顾客。Sybil可以给顾客提供好的服务，或者提供差的服务。她知道如果自己对任意顾客提供差的服务，她得到的小费就会很少。如果她对卡车司机提供好服务，他就会给她较多的小费，以期望她在他下次来的时候能够认出他来，但是这种期望是不可能实现的。如果她对一次性顾客提供好服务，她也只能得到很少的小费。假设Sybil提供好服务而不是坏服务的成本是1美元。不满意的顾客以及仅仅只是路过的顾客的小费平均为每人0.50美元。得到好服务并且打算再来的卡车司机的小费是2美元。Sybil认为是卡车司机并且还会再来的顾客的比例为x。均衡时我们应该能够看到，如果x大于 ，Sybil就会提供好服务；而如果x小于该值，Sybil就会提供坏服务。
第三十章 交换
30.1 Morris Zapp和Philip Swallow消费酒和书。Morris的初始禀赋是60本书和10瓶酒。Philip的初始禀赋是20本书和30瓶酒。他们没有其他的财产，除了彼此之间进行交易外也不再与其他人进行交易。对Morris来说，酒和书是完全替代品。他的效用函数是U(b, ω)=b+ω，其中b是他消费的书的数量，ω是他消费的酒的瓶数。Philip的偏好更加细微，并且是
凸的。他的效用函数是柯布-道格拉斯型的U(b,ω)=bω。在下面的埃奇沃思方框图中，Morris的消费是从左下角开始衡量的，Philip的消费是从右上角开始衡量的。
(a) 在该图中，找出初始禀赋并标为E。用红笔画出Morris Zapp通过其初始禀赋点的无差异曲线。用蓝笔画出Philip Swallow通过其初始禀赋点的无差异曲线。（记住，Philip的量是从右上角开始衡量的，因此他的无差异曲线是倒转过来的。）
(b) 在任意的帕累托最优点处，如果两个人对这两种商品的消费量都不为零，那么他们的边际替代率一定是相等的。无论Morris的消费组合为多少，他的边际替代率都等于 。当Philip 消费束为（bp, ωp）时，他的边际替代率为 。因此，当两人对每种商品的需求都为正时，每个帕累托最优的配置都满足方程 。用黑笔在上图中画出帕累托最优的配置的集合。
(c) 竞争性均衡时，Morris一定是消费一定量的书和一定量的酒。但是要达到这一点，酒与书的价格之比一定等于 。这样我们知道，如果以书为度量标准，竞争性均衡时酒的价格一定等于 。
(d) 在本题上一部分所求出的均衡价格处，Philip Swallow初始禀赋的价格是多少？ 在这一价格水平下，Philip将选择消费 本书和 瓶酒。如果Morris Zapp消费Philip不消费的所有的书和酒，他将会消费 本书和 瓶酒。
(e) 在上面求出的竞争性均衡价格下，Morris的收入为 。因此在这一价格水平下，Morris消费Philip不消费的所有的书和酒的成本将（等于，大于，小于） 他的收入。在这一价格水平下，Morris能够支付得起他认为比消费束（55, 15）更好的消费束吗？
(f) 假设某个经济中有1000个与Morris一样的人和1000个Philip一样的人。每个Morris类型人的初始禀赋都相同，偏好也与Morris一样。每个Philip类型人的初始禀赋也相同，偏好与Philip一样。上面求出的Morris和Philip的均衡价格仍然还是均衡价格吗？ 如果每个Morris类型人和Philip类型人都与上面的Morris和Philip的行为方式一致，那么酒和书这两中商品的供给都等于其需求吗？
30.2 Foster Z. Interface院长和J. Fetid Nightsoil教授互相交换陈词和滥调。当Interface院长消费
TI单位的陈词和
BI单位的滥调时，他的效用由
UI(BI,
TI)=BI+2UI(BI,TI)?BI?2Ti给出。当Nightsoil教授消费TN单位的陈词和BN单位的滥调时，他的效用由UN(BN,TN)?BN?4TN给出。Interface院长的初始禀赋是12单位的陈词和8单位的滥调。Nightsoil的初始禀赋为4单位的陈词和8单位的滥调。
(a) 如果Interface院长消费TI单位的陈词和BI单位的滥调，他的边际替代率为 。如果Nightsoil教授消费TN单位的陈词和BN单位的滥调，他的边际替代率为 。
(b) 在契约曲线上，Interface院长的边际替代率等于Nightsoil教授的边际替代率。写出表示这一条件的方程。 该方程十分简单，因为每个人的边际替代率都仅仅依赖于他所消费的陈词的量，而不依赖于他所消费的滥调的量。
(c) 根据该方程我们看到，在契约曲线上的任意点处，T1/TN= 。这样我们就有了关于两个未知变量TI和TN的一个方程。
(d)但是我们还知道，沿着契约曲线一定有TI+TN= ，因为陈词的总消费量必须等于其总禀赋量。
(e) 解这两个关于两个未知变量的方程，我们得到，在契约曲线上的任意点处，TI和TN
都是常数并且等于 和 。
(f) 在埃奇沃思方框图中用字母E标出初始禀赋。用深灰色的铅笔画出Interface院长的无差异曲线，用红笔画出Nightsoil教授的无差异曲线。在埃奇沃思方框图中画出几条两人的无差异曲线。用蓝笔画出帕累托最优点的轨迹。契约曲线在埃奇沃思方框图中是一条（垂直的，水平的，对角的） 直线。
(g) 求出竞争性均衡的价格和数量。因为已知每个帕累托最优点处的边际替代率必须是多少，所以可知竞争性均衡处的价格必须是多少？
30.3 Linus Straight的效用函数U(a, b)=a+2b，其中a是他苹果的消费量，b是他香蕉的消费量。Lucy Kink的效用函数是U(a, b)=min{a, 2b}。Lucy初始时有12个苹果，没有香蕉。Linus初始时有12个香蕉，没有苹果。在下面的埃奇沃思方框图中，从右上角开始衡量Lucy的消费量，从左下角开始衡量Linus的消费量。在图中用字母E标出初始禀赋点。用红笔画出Lucy的两条无差异曲线，用蓝笔画出Linus的两条无差异曲线。用黑笔画一条通过所有的帕累托最优配置点的直线。
(a) 在该经济中，竞争性均衡时，苹果和香蕉的价格之比一定等于 。 (b) 令as表示Linus消费的苹果量，bs表示他消费的香蕉量。竞争性均衡时，Linus的消费必须满足预算约束，as+ bs= 。这样我们就得到了关于两个未知变量的一个方程。为得到第二个方程，考虑Lucy的消费量。竞争性均衡时，苹果的总消费量等于其总供给量，香蕉的总消费量等于其总供给量。因此Lucy将消费12-as个苹果和 -bs个香蕉。竞争性均衡时，Lucy将选择在她的一个折点处消费。在Lu-cy每消费一个香蕉就消费 苹果的消费束中会出现折点。因此我们有(12-as)/(12-bs)= (c) 解上面得到的两个方程就可以求出竞争性均衡时Linus和lucy消费的苹果和香蕉的量。Linus将会消费 个苹果和 个香蕉。Lucy将会消费 个苹果和 个香蕉。
30.4 Charlotte喜欢吃苹果，不喜欢吃香蕉。她的效用函数是U(a,b)?a?14b，其中
2a是她消费的苹果量，b是她消费的香蕉量。Wilbur苹果和香蕉都喜欢吃。他的效用函数是
U(a,b)?a?2b。Charlotte的初始禀赋是8个香蕉，没有苹果。Wilbur的初始禀赋是16
个苹果和8个香蕉。
(a) 在下图中，用字母E标出初始禀赋点。用红笔画出Charlotte通过该点的无差异曲线。用蓝笔画出Wilbur通过该点的无差异曲线。
(b) 如果Charlotte不喜欢香蕉而Wilbur喜欢，那么在帕累托最优配置点上Charlotte会消费多少个香蕉？ 在上图中，用黑笔画出Charlotte和Wilbur的苹果和香蕉的帐累托最优配置点的轨迹。
(c) 已知竞争性均衡一定是帕累托最优的，并且每种商品的总消费量一定等于其总供给量，因此我们得到，竞争性均衡时，Wilbur一定是消费 个香蕉。如果Wilbur消费的香蕉量等于该值，那么他消费香蕉的边际效用等于 ，消费苹果的边际效用等于 。如果以苹果为度量标准，那么使得他会正好消费16个香蕉的香蕉的唯一的价格是 。竞争性均衡时，在Charlotte-Wilbur经济中，Wilbur将会消费 个香蕉和 个苹果；Charlotte将会消费 个香蕉和 个苹果。
30.5 Mutt和Jeff可以分配8杯牛奶和8杯果汁。他们的效用函数相同，都可以表示为u(m, j)=max{m, j}，其中m是每个得到到的牛奶的量，j是每个人得到的果汁的量。也就是说，他们都只在乎自己得到的量比较大的那种饮品，而不在乎得到的量比较小的那种饮品。
(a) 画出Mutt和Jeff的埃奇沃思方框图。用蓝笔画出两个人的几要无差异曲线。用红笔画出帕累托最优配置点的轨迹。（提示：寻找边界解。）
30.6 本题均衡分析与跨时期选择那一章中所学到的一些东西结合起来了。它考虑的是某个虚构的星球上有关储蓄经济学和生命周期的问题，该星球上的生命短暂且简单。在宏观经济学的高级课程中，你学会学到这一模型的更加复杂的并且更加接近现实的版本。现在，这一简化的模型可以使你很好地了解应该如何做分析。
Drongo星球上只有蛋糕一种商品和两个时期。有两种生命体，“老的”和“年轻的”。老人时期1的收入为I单位的蛋糕，时期2没有收入。年轻人时期1没有收入，时期2的收入为I单位的蛋糕。有N1个老人和N2个年轻人。这些生命体感兴趣的消费束为(c1, c2)，其中c1是时期1的蛋糕，c2是时期2的蛋糕。所有的生命体，无论是年轻的还是老的，他们的效用函数都相同。效用函数表示的是他们对两个时期的蛋糕的偏好。这一效用函数为
U(c1,c2)?C1C2a1?a，其中a是满足式0≤a≤1的值。
(a) 如果取当期的蛋糕为度量单位（也就是说其价格设为1），写出表示消费束(c1, c2)的现值的表达式。 写出老人收入的现值 和年轻人收入的现值 。任何人的预算线都由如下条件决定：其消费束的现值等于其收入的现值。写出老人的预算方程 和年轻人的预算方程 。
(b) 如果利率为r，写出老人时期1对蛋糕的需求的表达式 ，时期2对蛋糕的需求的表达式 。写出年轻人时期1对蛋糕的需求的表达式 ，时期2对蛋糕的需求的表达式 。（提示：如果预算线是p1c1+p2c2=W，并且效用函数是上面提到的那种形式，那么某个生命体对商品1的需求函数为c1=aW/p，对商品2的需求函数为c2=(1-a)W/p。）如果利率为零，那么年轻人时期1对蛋糕的需求是多少？如果利率为零，当a为何值时，年轻人在两个时期选择的消费量相等？如果a=0.55，要使年轻人在两个时期选择的消费量相等，利率r必须等于多少？
(c) 时期1蛋糕的总供给量等于所有的老人掐得的蛋糕的总量，因为年轻人在这个时期里没有蛋糕。总共有N1个老人，每个人挣到I单位的蛋糕，因此总量为N1I。同样地，时期2蛋糕的总供给量等于年轻人挣到的蛋糕的总量。这一总量为 。
(d) 在均衡利率下，对时期1蛋糕的总需求必须等于时期1蛋糕的总供给；同样地，对时期2蛋糕的总需求也必须等于其总供给。如果利率为r，那么每个老人对时期1蛋糕的需求量为 ，每个年轻人对时期1蛋糕的需求量为 。因为存在N1个老人和N2个年轻人，所以利率为r时，对时期1蛋糕的总需求量为 。
(e) 运用上一部分得到的结果，写出一个表示对时期1蛋糕的需求等于其供给的方程。 给定N1、N2、I以及I，写出r的均衡值的一般表达式。当N1=N2、I=I且a=11/21时，求这一特殊情况下方程的解。
(f) 在上一部分的特殊情况下，证明使得时期1蛋糕的需求等于其供给的利率同样使得时期2蛋糕的需求等于其供给。（这一点验证了瓦尔拉斯法则。）