等差数列及其前n项和

时间:50分钟 总分：70分

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一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）

1.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织________尺布( ) 1

A. 216C. 31【答案】D

30×2916

【解析】设从第2天起每天比前一天多织d尺布，则30×5＋d＝390.解得d＝，故选D.

2292.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项和为( ) A.128 C.64 【答案】C

【解析】 法一 因为S8＝

8（a1＋a8）

＝4(a2＋a7)＝4×16＝64， 2

8×7

d＝8＋56＝64. 2

B.80 D.56 B.D.8 1516 29

法二 {an}是等差数列，且a2＝3，a7＝13，则公差d＝2，a1＝1，所以S8＝8a1＋3.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝S4，则等于( ) A.4 C.8 【答案】A

B.5 D.10

S8a9

4×38×7

【解析】由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋d＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.所以S8＝8a1＋d＝8a1＋28d＝36d，所

22

以＝S836d36d＝＝4，选A.

a9a1＋8d9d→→→

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200OC，且A、B、C三点共线(该直线不经过点O)，则S200等于( ) A.100 C.200 【答案】A

1

B.101 D.201

200（a1＋a200）→→→

【解析】 ∵OB＝a1OA＋a200OC，且A、B、C三点共线，∴a1＋a200＝1，∴S200＝＝100.

25.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( ) A.15 C.31 【答案】A

【解析】 设等差数列的首项为a1，公差为d，a7＋a9＝16，∴2a1＋14d＝16，a4＝1，

∴a1＋3d＝1.两式相减，得a1＋11d＝15，即a12＝15.∴选A.

6.已知函数f(x)＝cos x，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，

B.30 D.64

x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为( )

1A. 2C.3 2

1B.－

2D.－

3 2

【答案】D

3ππ－22π3ππ

【解析】 若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝＝. 2233

3?ππ?所以m＝cos ?＋?＝－，故选D.

2?23?

二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

1

7.已知等差数列{an}，其中a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n的值为________.

3【答案】 50

2212

【解析】在等差数列{an}中，a2＋a5＝2a1＋5d＝3＋5d＝4，所以d＝3，又an＝3＋3(n－1)＝33，解得n＝50. 8.数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，2Sn－nan＝n，若S20＝－360，则a2＝________. 【答案】－1

【解析】 ∵2Sn－nan＝n①∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1② ∴①－②得，(2－n)an＋(n－1)an－1＝1③∴(1－n)an＋1＋nan＝1④ ∴③－④得，2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴数列{an}为等差数列，

20×19

∵当n＝1时，2S1－a1＝1，∴a1＝1，∵S20＝20＋d＝－360，∴d＝－2.∴a2＝1－2＝－1.

29.公差不为零的等差数列{an}的三项a1，a4，a16成等比数列，则3

【答案】 4

2

*

a1＋a3＋a5

的值是________.

a2＋a4＋a6

a1＋a3＋a53a33

【解析】 由已知得a＝a1·a16，即(a1＋3d)＝a1·(a1＋15d)，∴d＝a1，∴a2＋a4＋a6＝3a4＝4. 24

2

10.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________. 【答案】4或5

n（n－1）－n2＋9n【解析】由a4＝a1＋3d＝1，S5＝5a1＋10d＝10，得a1＝4，d＝－1，Sn＝4n－

或5时，Sn最大.

三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）

11.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)(c为常数). (1)证明：{}是等差数列；

(2)若{an}是正数组成的数列，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得数列{an}是等差数列，并说明理由. 【答案】见解析

2

＝2

，∴n＝4

annan＋1anan＋1an【解析】 (1)证明 由nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1),可得n＋1＝n＋c，即n＋1－n＝c，

?an??所以?n??是等差数列.

(2)解 由(1)可得＝1＋(n－1)c，则an＝n＋n(n－1)c.{an}是等差数列的充要条件是

annan＝an＋b，即a2n2＋2abn＋b2＝cn2＋(1－c)n?c＝1.

35

12.已知等差数列{an }中，a2＋a6＝6, Sn 为其前n项和，S5＝.

3(1)求数列{an }的通项公式； (2)令bn ＝

1

an－1an(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn

*

【答案】见解析

5（a1＋a5）357

(1)由a＋a＝6，得a＝3，又由S＝＝5a＝，得a＝， 264533【解析】233设等差数列{an}的公差为d，则 7a1＝1，???a1＋2d＝，?

3解得?2∴an＝2n＋1. ?

33d＝，???a1＋3d＝3.?3(2)当n≥2时，bn＝

1

anan－1

＝

1?9?1

－＝??，

?2n＋1?·?2n－1?2?2n－12n＋1??33??33?????

1

当n＝1时，上式同样成立，

3

11?9?111

－∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝?1－＋－＋…＋

3352n－12n＋1?2??1?1?1?99?9?9?1－1－＝?1－，又随n递增，且??2n＋1???＜≤m，

2?2n＋1?2?2?2n＋1?2?∴m≥5，mmin＝5.即最小正整数m的值为5.

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了 6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。 一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。

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