??3??42 （2）当Mm<

3?3?则 rtanr?? 可简化为 ????2?43??.求解这一代数方程，可得近似关系为

?2???1? ?

???. 3?1?1?x?x2?x3?? (x2?1) 且?<<1 1?x1? ? ?1?

?31?3 则 r2???11??3?MS?M11?Ms? MsMs1?M?3M32?fnuT又r?l?l，c?,Ms??l

cc?则f0?1c?Ms?2?l1MM?s31M?＝

12?T?Ms??l21MM?s3

＝

12?T?Ms?lMsMs3＝

12?KmT （其中Km?） MlM?s32-7 长为l的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移ξ0，然后释放. 试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅.

解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??).

由棒一端固定一端自由的边界条件得

??|x?0?0?????0??x?x?l(1)(2)

由(1)式?Acos(wt??)?0?A＝0.

1?由(2)式?kBcosklcos(wt??)?0?coskl?0?kn?(n?)2l由此各阶简正频率对应的位移表达式为

(n?1,2,3,?).

?n(t,x)?Bnsinknxcos(?nt??n).

棒的总位移为各简正频率位移之和，即?(t,x)??Bnsinknxcos(?nt??n).

n?1?棒的初始条件为

?0??|?x?t?0?l??????0??t?t?0由(4)?sin?n?0??n?n?. 由(3)?Bncos(??n)?(3)

(4)2l?0(x)sinknxdx l?0l?2?0n2. ?Bn?(?1)??x?0sinknxdx???2l0l(n??)22-8 有一长1m、截面为1×10-4m2的铝棒( ρ=2.7×103kg/m3)，两端自由.

(1) 试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？

(2) 如果在一端负载着0.054kg的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？

解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??).

由棒两端自由的边界条件得

?????x????????x由(1)式?Bkcos(wt??)?0?B＝0.

?0x?0(1)

?0x?l(2)由(2)式?kAsinklcos(wt??)?0?sinkl?0?kn?n?l(n?1,2,3,?)

?fn??nkncnc??. 2?2?2lc16.85?1010(1) 棒作纵振动的基频为f1???2520Hz. 32l2?12.7?10该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1).

1l当cosk1x?0，即x?(n?)l时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x??0.5m

22的点位移振幅最小.

(2) 当在一端负载时，由(2-2-25)得k1=2.65.

Mtankl??m??0.2，即tank??0.2k，利用数值方法可以求得klm该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1).

1(n?)?2时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x=0.59m当cosk1x?0，即x?12.65的点位移振幅最小.

2-9 有一长为l的棒一端固定一端有一质量负载Mm。 （1）试求棒作纵振动时的频率方程；

（2）如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？ 解：（1）棒的位移方程为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(wt??) 由边界条件得：

?(x?0)?0?A?0???ctgkl2Mm ????????ES()??M()x?lmx?l??m?kl?x?t2?故频率方程为：ctgkl?（2）将2-8参数代入得

ctgkl?0.2kl,(Mm?0.2) mMmkl m?ctgk?0.2k

由牛顿迭代法知： k1 =1.3138 则 f1?k1c?1.05?103（Hz） 2?基频振幅为：?1?Bsink1x,(0?x?1) 当x=1时，sink1x达到最大，即振幅最大。

2-10 试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n=1,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置x的分布图。

解：两端自由的棒：

两端固定的棒:

?2-11 设有一长为l，两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为?0?x??cosx，初速

l度v0?x??0。求该棒振动位移表示式。

解：棒做纵振动时，其方程的解为：

??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??)

???k(?Asinkx?Bcoskx)cos(?t??) ?x???x?0?0?B?0??x两端自由，即不受应力作用，?

??n?nc??fn?x?l?0?kl?n??kn?l2l??x所以，???Ancosknxcos(?n??n)

n?1??????Ancosknx[??nsin(?nt??n)] v??tn?12l???0(x)??Ancosknxcos(??n)?cosx?Ancos?n??cosxcosknxdx??ll0ln?1???v0(x)??Ancosknx(?nsin?n)?0?An?nsin?n?0?n?1?

????1,2l?n?xdx???Acos?n??cosxcos??nl0ll?0,?sin?n?0??n?n??即A1cos?1?1?A1??1,n?1n?2,3,???An?0,(n?2,3,???)

??c所以???cosxcos(t??)

ll2-12 设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即x?0处，而自由端取在x?l处。试求该棒作自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。 附：

fn?(2n?1)c (n?1,2,3,?)。 (2-2-20) 4l