声学基础课后答案 下载本文

讨论解的结果。

解:系统的振动方程为:

d2?d?Mm2?Rm?Km??0

dtdt进一步可转化为,设??Rm, 2Mmd2?d??2???2??0 2dtdt设:

??ei?t

于是方程可化为:

2(??2?2j????0)ej?t?0

2) 解得:??j(???2??0?

方程一般解可写成:

??e2?(???2??0)t

??e(Ae?存在初始条件:

?代入方程计算得:

A??v0t?0??t2?2??0t?Be2??2??0t)

?0,vt?0?v0

v02???2202???220,B?

?解的结果为:

其中A??v02??e(Ae20??t2?2??0t?Be。

2??2??0t)

2???,B?v02???2201-19 有一质点振动系统,其固有频率为f1,如果已知外力的频率为f2,试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。

解:质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 已知 f0?50Hz,f?300Hz

24?2f02(50)2KM?01)(?MM)=2?则 ( ?2?22????MM?4?f(300)236KM?,质量抗为?MM

KM11-20 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg,弹性系数为150N/m的弹簧上,试问:

(1) 这系统的固有频率为多少?

(2) 如果系统中引入5kg/s的力阻,则系统的固有频率变为多少? (3) 当外力频率为多少时,该系统质点位移振幅为最大? (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少? 解:(1) 考虑弹簧的质量,f0?12?Km1?Mm?Ms/32?150?2.76Hz.

0.4?0.3/3(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统,但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.

??Rm2Mm'?5?5,f'?1?2??2?1002?0.52?2?'?0Mm150?52?2.64Hz.

0.4?0.3/3(3) 品质因素Qm?Rm?16.58?0.5?1.66, 512Qm2位移共振频率:fr?f0'1??2.39Hz.

(4) 速度共振频率:fr?f0'?2.64Hz, 加速度共振频率:fr?Qmf0'1?12Qm2?2.92Hz.

1-21 有一质点振动系统被外力所策动,试证明当系统发生速度共振时,系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于

2?。 Qm解:系统每个周期损耗的能量

E?WFT?12RmvaT 212RmvaTRE2 ? ??m,

E1fMm2Mmva2发生速度共振时,f?f0。

?

RmE2?2?。 ????MEf0MmQm0mRm1-22 试证明:(1)质点作强迫振动时,产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率f0;(2)假定f1与f2为在f0两侧,其平均损耗功率比f0下降一半时所对应的两个频率,则有

Qm?f0. f2?f1证明:(1)平均损耗功率为

1T12 WR??WRdt??Rmva (Rm为力阻,va为速度振幅)

T02质点强迫振动时的速度振幅为

va?FaQmz?0Mmz?(z?1)Q?f?) ?0f02222m,(Fa为外力振幅,?0为固有频率,Mm为质量,Qm为

力学品质因素,频率比z?当z=1即f?f0时,发生速度共振,va取最大值,产生最大的平均损耗功率。

12(2)WR??Rmva

22Fa2Qm112 WRmax??Rmvamax=?Rm22

22?0Mm22Fa2QmFa2Qm111122 WR=WRmax 则 ?Rmva=?(?Rm22) 即2va=22(1)

2222?0Mm?0Mm 把va?FaQmz2?0Mmz2?(z2?1)2Qm2,则z2?(z2?1)2Qm(2) ,带入式(1)

由式(2)得?z?(z2?1)Qm解得z?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm取z1?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm

z?(z?1)Qm解得z?则 z2?z1?22Qm 取z2?2Qm

fff?f11即2?1?21? Qmf0f0f0Qmf0 f2?f1? Qm?1-23 有一质量为0.4㎏的重物悬挂在质量可以忽略,弹性系数为160N/m的弹簧上,设系统的力阻为2N·s/m,作用在重物上的外力为FF?5cos8tN。

(1)试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率;

(2)假设系统发生速度共振,试问这时外力频率等于多少?如果外力振幅仍为5N,那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少?

d2?d??Km??FF,得 解:(1)由强迫振动方程Mm2?Rmdtdtd2?d?0.42?2?160??5cos8t

dtdt则位移振幅?a?Fa(Km?wMm)?wRm2222?0.0369m

速度振幅va?w?a?0.296m/s 加速度振幅aa?w2?a?2.364m/s2

12平均损耗功率P??Rmva??0.0876(w)

2(2)速度共振时fr?f0'?则位移振幅?a?12?FaKmR?(m)2?3.158Hz Rm2Mm?0.126m

(Km?wMm)?wRm2222速度振幅va?w?a?2.495m/s 加速度振幅aa?w2?a?49.6m/s2

12平均损耗功率P??Rmva??6.225(w)

21-24 试求出图1-4-1所示单振子系统,在t?0,??v?0 初始条件下,强迫振动位移解的表示式,并分别讨论??0与当???0时解的结果。

解:对于强迫振动,解的形式为:

'???0e??tcos(?0t??0)??acos(?t??)

??0两种情形下,

其中?a?Fa?,???0?。

2?Zm 初始条件:??0,v?0, 代入得:

?0cos?0??acos??0

'???0cos?0??0?0sin?0???asin??0

解得:

?0??a222,22?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?) 0'?0'?0cos??0???arccos?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?)2222'202

,2(cos?)2 令G??2(cos?)2??(sin?)2?2??cos?sin???0