讨论解的结果。
解：系统的振动方程为：
d2?d?Mm2?Rm?Km??0
dtdt进一步可转化为，设??Rm， 2Mmd2?d??2???2??0 2dtdt设：
??ei?t
于是方程可化为：
2(??2?2j????0)ej?t?0
2) 解得：??j(???2??0?
方程一般解可写成：
??e2?(???2??0)t
??e(Ae?存在初始条件：
?代入方程计算得：
A??v0t?0??t2?2??0t?Be2??2??0t)
?0，vt?0?v0
v02???2202???220，B?
?解的结果为：
其中A??v02??e(Ae20??t2?2??0t?Be。
2??2??0t)
2???，B?v02???2201-19 有一质点振动系统，其固有频率为f1，如果已知外力的频率为f2，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。
解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 已知 f0?50Hz，f?300Hz
24?2f02(50)2KM?01)(?MM)＝2?则 ( ?2?22????MM?4?f(300)236KM?，质量抗为?MM
KM11-20 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m的弹簧上，试问：
(1) 这系统的固有频率为多少？
(2) 如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？ (3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？ 解：(1) 考虑弹簧的质量，f0?12?Km1?Mm?Ms/32?150?2.76Hz.
0.4?0.3/3(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.
??Rm2Mm'?5?5，f'?1?2??2?1002?0.52?2?'?0Mm150?52?2.64Hz.
0.4?0.3/3(3) 品质因素Qm?Rm?16.58?0.5?1.66， 512Qm2位移共振频率：fr?f0'1??2.39Hz.
(4) 速度共振频率：fr?f0'?2.64Hz， 加速度共振频率：fr?Qmf0'1?12Qm2?2.92Hz.
1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于
2?。 Qm解：系统每个周期损耗的能量
E?WFT?12RmvaT 212RmvaTRE2 ? ??m，
E1fMm2Mmva2发生速度共振时，f?f0。
?
RmE2?2?。 ????MEf0MmQm0mRm1-22 试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率f0；（2）假定f1与f2为在f0两侧，其平均损耗功率比f0下降一半时所对应的两个频率，则有
Qm?f0. f2?f1证明：（1）平均损耗功率为
1T12 WR??WRdt??Rmva （Rm为力阻，va为速度振幅）
T02质点强迫振动时的速度振幅为
va?FaQmz?0Mmz?(z?1)Q?f?） ?0f02222m,(Fa为外力振幅，?0为固有频率，Mm为质量，Qm为
力学品质因素，频率比z?当z=1即f?f0时，发生速度共振，va取最大值，产生最大的平均损耗功率。
12（2）WR??Rmva
22Fa2Qm112 WRmax??Rmvamax＝?Rm22
22?0Mm22Fa2QmFa2Qm111122 WR=WRmax 则 ?Rmva＝?(?Rm22) 即2va＝22（1）
2222?0Mm?0Mm 把va?FaQmz2?0Mmz2?(z2?1)2Qm2，则z2?(z2?1)2Qm（2） ,带入式（1）
由式（2）得?z?(z2?1)Qm解得z?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm取z1?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm
z?(z?1)Qm解得z?则 z2?z1?22Qm 取z2?2Qm
fff?f11即2?1?21? Qmf0f0f0Qmf0 f2?f1? Qm?1-23 有一质量为0.4㎏的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为FF?5cos8tN。
（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；
（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？
d2?d??Km??FF，得 解：（1）由强迫振动方程Mm2?Rmdtdtd2?d?0.42?2?160??5cos8t
dtdt则位移振幅?a?Fa(Km?wMm)?wRm2222?0.0369m
速度振幅va?w?a?0.296m/s 加速度振幅aa?w2?a?2.364m/s2
12平均损耗功率P??Rmva??0.0876(w)
2（2）速度共振时fr?f0'?则位移振幅?a?12?FaKmR?(m)2?3.158Hz Rm2Mm?0.126m
(Km?wMm)?wRm2222速度振幅va?w?a?2.495m/s 加速度振幅aa?w2?a?49.6m/s2
12平均损耗功率P??Rmva??6.225(w)
21-24 试求出图1-4-1所示单振子系统，在t?0，??v?0 初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论??0与当???0时解的结果。
解：对于强迫振动，解的形式为：
'???0e??tcos(?0t??0)??acos(?t??)
??0两种情形下，
其中?a?Fa?，???0?。
2?Zm 初始条件：??0，v?0， 代入得：
?0cos?0??acos??0
'???0cos?0??0?0sin?0???asin??0
解得：
?0??a222,22?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?) 0'?0'?0cos??0???arccos?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?)2222'202
,2(cos?)2 令G??2(cos?)2??(sin?)2?2??cos?sin???0