习题1
1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f，质量为m，求它的弹性系数。
解：由公式fo?12?Km得： MmKm?(2?f)2m
1-2 设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：
（1） 当这一质点被拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答：f0?12?g，g为重力加速度） l
图 习题1－2
解：（1）如右图所示，对Mm作受力分析：它受重力Mmg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两
力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为?，则sin??受力分析可得：F?Mmgsin??Mmg?l
?l
（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位
d2?移的方向相反。由牛顿定律可知：F??Mm2
dtd2??d2?g则 ?Mm2?Mmg 即 2???0,
dtldtl2 ? ?0?g1 即 f0?l2πg, 这就是小球产生的振动频率。 l
1-3 有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量Mm，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置?时，它力由何产生？并应怎样表示？
(2) 当外力去掉后，质量Mm在此恢复力的振动频率应如何表示？
(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对Mm进行受力分析，见右图，
Fx?Tl?x0(l?x0)??22所受到的恢复平衡的
图 习题1-3
作用下产生振动，它
?Tx0x??202?0
222222（????x0 ，?x0???x0,(l?x0)???(l?x0) 。）
Fy?T?(l?x0)??22?T?x??202
?T?l?x0?T?x0
?Tl?
x0(l?x0)Tl。
x0(l?x0)可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量M?Mm，弹性系数k?（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F?Tl?，方向为竖直向下。
x0(l?x0)（2）振动频率为??K?MTl。
x0(l?x0)Mml时，系统的振动频率最低。 2（3）对?分析可得，当x0?1-4 设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的x0位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移?0以保持力的平衡，并假定M离平衡位置?0的振动?位移很小，满足????0条件。
图 习题1－4
2Tcos??Mg???4??0解：如右图所示，受力分析可得 cos???0?Mg ??l1?l?2?又????0，T'?T，可得振动方程为 ?2T?0??l2d2??M2
dtd2?4T4T?????0 即 M2dtll? f?12?4Tl1?M2?Mg1??0M2?g?0
1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。 解：设振动位移???acos(?0t??)， 速度表达式为v???0?asin(?0t??)。 由于?t?0??0，vt?0?0，
代入上面两式计算可得：
???0cos?0t ；
v???0?0sin?0t。
振动能量E?11222Mmva?Mm?0?a。 221-6 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为v0，试求其振动位移、速度、和能量。 解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为Km，质量为Mm，取正方向沿x轴，位移为?。
d2?Km22??,） ????0, 则质点自由振动方程为 （其中002Mmdt 解得 ???acos(?0t??0),
v?d????0?asin(?0t??0??)??0?acos(?0t??0?) dt21?222?????va000????cos??当??0a0??0t?0??0，vt?0?v0时， ??? ?v0?? ??0?acos(?0?2)?v???0?arctan0?0?0质点振动位移为??1?222?0?0?v0cos(?0t?arctanv0)
0?0?0质点振动速度为v??2v0?0?2?v200cos(?0t?arctan???)
002质点振动的能量为E?12Mv21222ma?2Mm(?0?0?v0) 1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、?sin?t?12sin2?t，试问：
(1) 在什么时候位移最大？ (2) 在什么时候速度最大？
解：???sin?t?12sin2?t，
?d?dt??cos?t??cos2?t
d2?dt2???2sin?t?2?2sin2?t。 令
d?dt?0，得：?t?2k???3或?t?2k???， 经检验后得：t?2k???3?时，位移最大。
令d2?dtt?k?或?t?2k??arccos(?12?0，得： ?4)， 经检验后得：t?2k??时，速度最大。
1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示
???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)
试证明 ???acos?(t??) 其中?a??221??2?2?1?2cos(??1sin?1??2sin?22??1)，??arctan??
1cos1??2cos?2证明：???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)
不同振幅振动的叠加
?tco?s ??1cos?1??1st?( ?co?1c?o1s??2sit?ns?in?1?2tc?os2??cos2?t?s in?sin?co2?s?)t?sin??1?(1sin2? sin)设 A??1cos?1??2cos?2 ，B??(?1sin?1??2sin?2)
B则 ??Acos?t?Bsin?t=A2?B2cos(?t??) （其中??arctan(?)）
A又 A2?B2??12cos2?1??22cos2?2?2?1?2cos?1cos?2
2?2? ??12sin2?1??22sin?21?2si?n1 s?i2n ??12??22?2?1?2(cos?1cos?2?sin?1sin?2) ??12??22?2?1?2cos(?2??1)
?1sin?1??2sin?2B(又 ??arcta?n(?a)rctan )?1cos?1??2co?s2A 令 ?a?A2?B2??12??22?2?1?2cos(?2??1)
?(t??) 则 ???acos1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示
???1cosw1t??2cosw2t (w2?w1)
试证明
???acos(w1t??)，
其中?a??1??2?2?1?2cos(?wt),??arctan22?2sin(?wt),?w?w1?w2.
?1??2cos(?wt)解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知，
?a??12??22?2?1?2cos(w2t?w1t)
??1??2?2?1?2cos(?wt)
其中，?w?w2?w1。 由三角形面积知，
2211?1?2sin?wt??1?asin? 22得 sin???2sin?wt ?a得 tg???2sin?wt?a??2sin?wt222
??2sin?wt(?1??2co?swt)2
??2sin?wt
?1??2cos?wt故 ??即可证。
?2sin?wt
?1??2cos?wt1-10 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.
证 由胡克定理得 mg＝Kmξ1 ? Km＝mg/ξ1 由质点振动系统固有频率的表达式f0?12?KmKmmg得，Mm?. ?2222Mm4?f04?f0?1纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.
1-11 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm
上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。
解：由 f0?12?Km 得 Km?(2?f0)2Mm MmKm 得 Km?(2?f0?)2(Mm?m,)
Mm?mmf0?f02 由 f0??12?联立两式，求得Mm?4?2mf0f0?，Km? 222?f0?f0?f0?2221-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。
图 1-2-3
图 1-2-4
K1mK2mK1mK2md2?K?解： 串接时，动力学方程为Mm，等效弹性系数为。 ???02K1m?K2mK1m?K2mdtd2?并接时，动力学方程为Mm2?(K1m?K2m)??0，等效弹性系数为K?K1m?K2m。
dt1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？
解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为g?9.8ms2，月球表面的重力加速度为
g?
由虎克定律知 FM??Kx,又 FM??Mg 则 K?Mg1?g??10g x0.1T?又
2??0?2?10g10?9.8M?2.5kg ?1 则M?2?4?4?2Kx1 则 x??0.04m ?x?0.4KMg??Kx?则g??x??4?2?0.04?1.58ms2
M故月球表面的重力加速度约为1.58ms2，而该岩石的实际质量约为2.5kg。 1-14 试求证
acos?t?acos(?t??)?acos(?t?2?)???acos(?t?(n?1)?)
sinn?a?2cos??t?(n?1)??
???2??sin2证 aej?t?aej(?t??)?aej(?t?2?)???aej(?t?(n?1)?)
?aej?t(1?ej??)
?aej?t1?ejn?j?t1?cosn??jsinn??ae
1?cos??jsin?1?ej??aej?t?aej?tn?n?n?n??jsinn?sinsin?jcos22?22 ?aej?t????2sin2?jsin?sinsin?jcos2222n??j(??n?)n?n?sinsinsinn?1n?122j?j(?t??)ej?t2?2222 ?ae?e?a?e2sin2sin?2e?1?j(??)22sin?2sin?2同时取上式的实部，结论即可得证。
1-15 有一弹簧Km在它上面加一重物Mm，构成一振动系统，其固有频率为f0， (1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？
(2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ 解：固有频率fo?12?Km。 Mm（1）f0?f0K ? Km?m，故应该另外串接三根相同的弹簧； 24M??Mm?m（2）?2 ? Km?2Km，故应该另外并接一根相同的弹簧。
??f0?f01-16 有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为Mm，弹性系数为Km。试求该扬声器的固有频率。 解：该扬声器的固有频率为 f0?1Km。
2πMm1-17 原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：
（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；
（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （3）在经过1s后，系统具有的平均能量。 解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε
所以 Km＝0.2×9.8/0.04=49N/m
e???1/e???1
故 ??Rm?Rm?1N?s/m 2Mm'w0?w0??2?f0?'12?49?1?1.57Hz 0.5（2）系统所具有的能量E?（3）平均能量E?11Km?2??49?0.042?0.0392J 2212Km?0e?2?t?5.31?10?3J 21-18 试求当力学品质因素Qm?0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻??0，v?v0，试
讨论解的结果。
解：系统的振动方程为：
d2?d?Mm2?Rm?Km??0
dtdt进一步可转化为，设??Rm， 2Mmd2?d??2???2??0 2dtdt设：
??ei?t
于是方程可化为：
2(??2?2j????0)ej?t?0
2) 解得：??j(???2??0?
方程一般解可写成：
??e2?(???2??0)t
??e(Ae?存在初始条件：
?代入方程计算得：
A??v0t?0??t2?2??0t?Be2??2??0t)
?0，vt?0?v0
v02???2202???220，B?
?解的结果为：
其中A??v02??e(Ae20??t2?2??0t?Be。
2??2??0t)
2???，B?v02???2201-19 有一质点振动系统，其固有频率为f1，如果已知外力的频率为f2，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。
解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 已知 f0?50Hz，f?300Hz
24?2f02(50)2KM?01)(?MM)＝2?则 ( ?2?22????MM?4?f(300)236KM?，质量抗为?MM
KM11-20 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m的弹簧上，试问：
(1) 这系统的固有频率为多少？
(2) 如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？ (3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？ 解：(1) 考虑弹簧的质量，f0?12?Km1?Mm?Ms/32?150?2.76Hz.
0.4?0.3/3(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.
??Rm2Mm'?5?5，f'?1?2??2?1002?0.52?2?'?0Mm150?52?2.64Hz.
0.4?0.3/3(3) 品质因素Qm?Rm?16.58?0.5?1.66， 512Qm2位移共振频率：fr?f0'1??2.39Hz.
(4) 速度共振频率：fr?f0'?2.64Hz， 加速度共振频率：fr?Qmf0'1?12Qm2?2.92Hz.
1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于
2?。 Qm解：系统每个周期损耗的能量
E?WFT?12RmvaT 212RmvaTRE2 ? ??m，
E1fMm2Mmva2发生速度共振时，f?f0。
?
RmE2?2?。 ????MEf0MmQm0mRm1-22 试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率f0；（2）假定f1与f2为在f0两侧，其平均损耗功率比f0下降一半时所对应的两个频率，则有
Qm?f0. f2?f1证明：（1）平均损耗功率为
1T12 WR??WRdt??Rmva （Rm为力阻，va为速度振幅）
T02质点强迫振动时的速度振幅为
va?FaQmz?0Mmz?(z?1)Q?f?） ?0f02222m,(Fa为外力振幅，?0为固有频率，Mm为质量，Qm为
力学品质因素，频率比z?当z=1即f?f0时，发生速度共振，va取最大值，产生最大的平均损耗功率。
12（2）WR??Rmva
22Fa2Qm112 WRmax??Rmvamax＝?Rm22
22?0Mm22Fa2QmFa2Qm111122 WR=WRmax 则 ?Rmva＝?(?Rm22) 即2va＝22（1）
2222?0Mm?0Mm 把va?FaQmz2?0Mmz2?(z2?1)2Qm2，则z2?(z2?1)2Qm（2） ,带入式（1）
由式（2）得?z?(z2?1)Qm解得z?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm取z1?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm
z?(z?1)Qm解得z?则 z2?z1?22Qm 取z2?2Qm
fff?f11即2?1?21? Qmf0f0f0Qmf0 f2?f1? Qm?1-23 有一质量为0.4㎏的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为FF?5cos8tN。
（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；
（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？
d2?d??Km??FF，得 解：（1）由强迫振动方程Mm2?Rmdtdtd2?d?0.42?2?160??5cos8t
dtdt则位移振幅?a?Fa(Km?wMm)?wRm2222?0.0369m
速度振幅va?w?a?0.296m/s 加速度振幅aa?w2?a?2.364m/s2
12平均损耗功率P??Rmva??0.0876(w)
2（2）速度共振时fr?f0'?则位移振幅?a?12?FaKmR?(m)2?3.158Hz Rm2Mm?0.126m
(Km?wMm)?wRm2222速度振幅va?w?a?2.495m/s 加速度振幅aa?w2?a?49.6m/s2
12平均损耗功率P??Rmva??6.225(w)
21-24 试求出图1-4-1所示单振子系统，在t?0，??v?0 初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论??0与当???0时解的结果。
解：对于强迫振动，解的形式为：
'???0e??tcos(?0t??0)??acos(?t??)
??0两种情形下，
其中?a?Fa?，???0?。
2?Zm 初始条件：??0，v?0， 代入得：
?0cos?0??acos??0
'???0cos?0??0?0sin?0???asin??0
解得：
?0??a222,22?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?) 0'?0'?0cos??0???arccos?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?)2222'202
,2(cos?)2 令G??2(cos?)2??(sin?)2?2??cos?sin???0得：
???a??t'Gecos(?t??0)??acos(?t??)。 0'2?0Xm??'??， ?，???0?，?02Rm2当??0时，Rm?0，?0?arctan?0???2，?0??a，
? ???acos?(0t??2)??acos?(t??)
???a(sin?0t?cos?t)。
当???0时，?a??，达到位移共振。
11-25 有一单振子系统，设在其质量块上受到外力Ff?sin2?0t的作用，试求其稳态振动的位移振
2幅。
解：此单振子系统的强迫振动方程为
d2?d?111Mm2?Rm?Km??FF(t)?sin2(?0t)??cos?0t
dtdt222d2?d?1?则 Mm2?Rm?K? （1） mdtdt2d2?d?1Mm2?Rm?Km??cos?0t （2）
dtdt2 由式（1）得 ??1 2Km 令???Fej?t代入式（2）得 ?F??j???12Km?)?0??
?0?Rm?j(?0Mm?122?0?Rm?(?0Mm?则 ?F???Km?)2??0?12＝
1 2?0Rm ? ?A?11? 2Km2?0Rm1-26 试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表示式.
K1,R1MFaejwtK2,R2
解：对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为：
???(R?R)???(K?K)??Fejwt M?1212a该方程式稳态解的一般形式为???aejwt，将其代入上式可得：
?a?Fajw[(R1?R2)?j(M??K1?K2?|?a|?e)]j(??0)2?
?其中|?a|?FaM??K1?K2?(R1?R2)2??M????K1?K2????2，?0?arctan?R1?R2.
故质量块的稳态位移表示式可以写为：
??|?a|cos(wt??2??0).
1-27 设有如图所示的耦合振动系统，有一外力F1?Faej?t作用于质量M1上。M1的振动通过耦合弹簧K12引起M2也随之振动，设M1和M2的振动位移与振动速度分别
图 1-4-1
为?1，v1与?2，v1。试分别写出M1和M2的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时
v1?Z2?Z12Z12F1与v2?F1。
Z1Z2?(Z1?Z2)Z12Z1Z2?(Z1?Z2)Z12其中
Z1?j(?M1?K1)?R1，
?K2Z2?j(?M2??)?R2，
Z12??jK12?。
图 习题1-27
解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程：
d2?1d?1d2?2d?2M1?R?K??K(???)?FM?R?K2?2?K12(?2??1)?0 111121212222dtdtdtdt设：
?1?Aej?t，?2?Bej?t
v1?V1ej?t，v2?V2ej?t
于是方程可化为：
A(?M1?2?j?R1?K1?K12)?BK12?Fa
B(?M2?2?j?R2?K2?K12)?AK12?0
设：
Z1?j(?M1?K1)?R1，Z2?j(?M2?K2)?R2，Z12??jK12???。
?对上面的两个方程整理并求解可得
v1?Z2?Z12F1
Z1Z2?(Z1?Z2)Z12Z12F1
Z1Z2?(Z1?Z2)Z12v2?1-28 有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：
Fa?Apa?，
pa为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，其中A为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，
并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？
解：压差式传声器产生的作用力振幅为Fa?Apa?，其中A，pa为常数，则Fa随?变化。
电动换能方式传声器，其开路电压输出为E?Blv，要使E均匀恒定，则要v恒定 系统处在质量控制区时va?FaAP?a?MmMm，此时va与频率?无关，故在一较宽的频率范围内，
传声器将产生均匀的开路电压输出。
1-29 对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？
解：传声器开路输出电压E与振膜位移有如下关系：
E?E0? D?只有在力阻控制区，
??FaApa， ??RmRm即在此控制区，输出电压E与频率?无关。
?传声器的振动系统应工作在力阻控制区。
1-30 有一小型动圈扬声器，如果在面积为S0的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为Rr??0C0S0（参见§5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？
解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为 W?1122＝?0C0S0va Rrva222 其中?0，C0，S0均为常数，要使W均匀，则va应不受的W影响。故振动系统应工作在力阻
控制区，此时va?Fa（其中Fa为频率恒定的外力，Rm也恒定）。 Rm1-31 有一如图所示的供测试用动圈式 振动台，台面Mm由弹簧Km支撑着，范围内，在音圈上施加对频率恒定的电产生均匀的加速度，试问其振动系统应制状态？为什么？
解：音圈通以I电流时，在磁场下
图 习题1-31
现欲在较宽的频率流时，能使台面Mm工作在何种振动控
产生电动力
F?BIL，由F?Mma可见，只有在质量控制区a?1-32 有一试验装置的隔振台，如图所示，×103㎏，台面由四组相同的弹簧支撑，每组由成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600㎏时，隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的20Hz时，隔振台Mm将产生多大的位移振幅？
解：每只弹簧的劲度系数K=600×每组弹簧的总劲度K1=K/2
Fa时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。 Mm已知台面的质量Mm=1.5两只相同的弹簧串联而产生的位移3㎝，试求该位移振幅为1㎜、频率为
9.8/0.03=1.96×105N/m 四组弹簧并联后的劲度K2=4 K1=2 K =3.92×105 N/m 则固有频率f0?12?K2?2.57Hz M???K(???)?0，将???ejwt，???'ejwt代入得， 由振动方程Mm?m0a0aK?a?a??0.0168㎜ 2K?wM'1-33 设有如图所示的主动隔声系统，有一外力F0=F10ejωt作用于质量块Mm上，试求传递在基础上力F与F0的振幅比.
F0MmFKm , Rm
解：对质量块进行受力分析，可得质量块Mm的振动方程为：
jwt???R??Mm? m?Km??F10e其稳态解的一般形式为???acos(?t??).
F10??|Zm|F10其中?a??Rm2K?????Mm?m????2，??arctan?Mm?RmKm?.
弹簧传递给基础的作用力为F?Km???Km?acos(?t??)，则Fa??aKm. 由此传递给基础的力F与F0的振幅比DF?Fa?F10Km?Rm2???Mm???Km????2.
1-34 有一振动物体产生频率为f，加速度振幅为a10的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为f0，力学品质因素为Qm，音圈导线总长为l，磁隙中的磁通量密度为B。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？ 解：动圈式加速度计测量 由 Qm??0MmRm 得 Rm??0MmQm
由 f0?1Km 得 Km?4?2f02Mm
2πMm则 Ea?BlMma10＝Bla10ZmMmKm2??2R?(?M?)?mm????12
＝Bla10Mm12
2?2?Km22R??M?2KM?mmm?m?2???Bla10 ＝ 1?4?2f0216?4f04?2222?Q2???8?f0??2??m?
1-35 设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成
FF?Fa(1?hsin?1t)sin?t，
其中h为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。
解：外力表达式为FF?Fa(1?hsin?1t)sin?t
?1 ?Facos(?t?)?Fah[cos(?1??)t?cos(?1??)t]
22用指数形式表示外力为FF?Faej(?t?)2??11Fahej(???1)t?Fahej(???1)t 22振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为
1hFaFa??2??cos(?t???1)?cos[(???1)t?0??3?]?Z12(???1)Z321hFa?2?cos[(???1)t?0??2?]
(???1)Z22
其中：?1?arctan?Mm?RmKm?；
Km???1Km???1(???1)Mm??2?arctanRm(???1)Mm?；
?3?arctanRmKm)2；
；
2Z1?Rm?(?Mm??2Z2?Rm?[(???1)Mm?Km2]； ???1Km2]。 ???12t) T2Z3?Rm?[(???1)Mm?1-36 设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为FF?Fa(1?（kT?t?(1?k)T,k?0,1,2,试求振动系统的位移。
d2?d?2t?Km??FF(t)?Fa(1?) （1） 解：质点的振动方程为 Mm2?RmdtdtT）
又 FF(t)?A0??Ancosn?t?Bnsinn?t,（??n?1?2π） （2） T其中 A0?1TF)d?t 0F(t?0T2TAn??FF(t)cosn?tdt?0
T02F2TBn??FF(t)sinn?tdt?a
T0n?式（2）也可表示为 FF(t)??Fncos(n?t??n) （3）
n?0?22其中 Fn?An?Bn?2Fan?2F， ?n?arctana
n?? 把式（3）表示成为复数形式 FF(t)??Fnej(n?t??n)
n?0?d2?d?(?t??n)?Km???Fnejn则式（1）可写成 Mm2?Rm （4）
dtdtn?0 设 ????n，代入式（4）可得 ????n??n?0n?0n?0???Fn(?t??n)ejn jn?Zn 其中 Zn?Rn?jXn?Rm?j(n?Mm? 取?的实部得 ????Km) n?Fnπcos(n?t??n??n?)
2n?0n?Zn2Faπcos(n?t?????) nn2?n?Z2n?0nKm2) n?? ＝?2?(n?Mm? 式中 Zn?RmX ?n?arctann?RmKn?Mm?marctann?
Rm1-37 设有如下形式的外力
??Fa,??FF???Fa,????1??kT?t??k??T2??1(k?)T?t?(k?1)T
2(k?0,1,2,?)作用于单振子的质量上，试求振动系统位移. 解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得
FF(t)??Fncos(n?t??n)
n?0?其中Fn?An?Bn，?n?arctan22Bn. An1TA0??FF(t)dt?0，
T02TAn??FF(t)cosnwtdt?0，
T0?4Fa2Fa2T?Bn??FF(t)sinnwtdt?[1?(?1)n]??n?T0n???0由此Fn?Bn，?n?n为奇数n为偶数.
?2(n为奇数)，即
444Fa,F5?Fa,?,Fn?Fa； 3?5?n?,?5?F1?4??2Fa,F3?,?3??1??2a?2,?,?n??2(n为奇数).
由(1-5-14)得质点振动系统得位移
????
Fn?cos(nwt??n??n?)
2n?0n?Zn?4Fa4Fa4Fcos(wt??1??)?cos(3wt??3??)??2acos(nwt??n??)(n为奇数) ??Z19??Z3n??Zn
习题2
2-1 有一质量为m，长为l的细弦以F的张力张紧，试问： (1) 当弦作自由振动时其基频为多少？
(2) 设弦中点位置基频的位移振幅是B，求基频振动的总能量。 (3) 距细弦一端l4处的速度振幅为多少？ 解：（1）简正频率fn?mnT，且线密度??
l2l??基频f1?1T1T。 ?2l?2ml216T?016TB2?（2）基频振动的总能量E1?。 l?2l?2（3）弦的位移的总和形式?(t,x)??Bnsinknxcos(?nt??n)
n?1???(t,x)???(?Bn?nsinknx)sin(?nt??n) 速度表达式为v(t,x)??tn?1?距一端0.25m处的速度振幅Vax?l4??Bn?2??n?1?nTn?lsin(?) 2l?l4 ??n?Bnn?1?Tn?sin ml4nTn?3lsin(?) 2l?l4 Vax?3l4??Bn?2??n?1???n?Bnn?1?T3n? sinml42-2 长为l的弦两端固定，在距一端为x0处拉开弦以产生?0的静位移，然后释放。 （1）求解弦的振动位移；
（2）以x0?l3为例，比较前三个振动方式的能量。 解：弦的振动位移形式为：
?(t,x)??sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt)
n?1?其中kn?n?n?c，?n?，Cn?Bncos?n，Dn?Bnsin?n ll??0x??x（1）由初始条件可得：?(t?0)??0??0(l?x)??l?x0v(t?0)?(??)t?0?0?t(0?x?l)
(0?x?x0)
(x0?x?l)2l?C??(x)sinknxdx??nl?00又? 2lv0(x)sinknxdx?Dn??0?l?n?l??02?0l22?x0?0n?则Cn???xsinknxdx??(l?x)sinknxdx??22sinx0
x0l?xl?0x0ln?x(l?x)000? Dn?0 则sin?n?0 Bn?Cn
?2?0l22?n?2?xn?c?(t,x)??Cnsinxcos(?nt??n)??22sinx0sincost
lllln?1n?1n?x0(l?x0)??n?n?
n2?2c2?2n2?2T2Bn?Bn （2）En?4l4l2?0l29?n?ln?1sin??202sin当x0?l时，Bn?Cn?
lll3n?33n2?2(l?)33?2T9?0?2243T?02(2sin)?则E1? 24l?316?l2243T?0E2?
64?2lE3?0
2-3 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。 解：弦的振动位移表达式为
?(t,x)??sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt)
n?1??可得速度表达式为
??(t,x)?v(t,x)???sinknx(??nCnsin?nt??nDncos?nt)
?tn?1由题可得初始条件：
????2v0x,0?x?lt?0?0；
???tt?0?l??2v2v l2 0?0lx,2?x?l通过傅立叶变换可得：
Cn?0；
D4v0n?kl3?3(?sinkl?2sinkln2)。 ??位移表达式为?(t,x)??Dnsinknxsin?nt
n?1其中D4v0n?kl3?3(?sinkl?2sinkl)。 n22-4 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中心，试证明外力传给能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。
??(t?0)解：初始条件??0
?????x?l
2
??
?t?v0t?0?弦的总位移为?(t,x)??sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt),
n?1其中Cnπc,k?nn?Bncos?n,Dn?Bnsin?n，（?n?ln?c） 又D2ln?x＝
2v0ll?(x)sinknxdx＝
2n?0v0l?n?l0v0sinknxdn2?2c(1?cosn?) Cn?0
当n为偶数时，D2?D4?D6??0
当n为奇数时，D4v0l14v0l11??2c，D3?9?2c，D4v0l5?25?2c，
故Bn?Dn，?n?0
??又弦振动时的总能量为E??ETn2π2B24Tv20l11n??(n)＝n?1n?14l?2c2(1?9?25?)
22 ＝4Tv?2Tv20l0lTv0l?12?2c2(8)＝2c2＝2T＝2v0(l?) 弦的初动 12T ＝mv0＝Ek0 （c2?）
2?12外力传给弦的初始动能为Ek0＝mv0
22-5 设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离
l处，施加一垂直于弦的力F?Faej?t，试求在x?l力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。
提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：
?1??2和T??1???T2?F。 ?x?x2-6 有长为l，线密度为?的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M，已知弦所受的张力T，如图所示。试求
（1） 该弦作自由振动时的频率方程；
（2） 假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。
图 2－6
解：（1）由题意可知其初始条件和边界
??x?0?0?条件为????2???Tx?l?M?x?t2?
x?l弦的振动位移为
?(t,x)?(Acuuox?Bssix)cnuto??)s（其中(u??n?2πfn） ccu 当?x?0?0时，得A?0则?(t,x)?Bsinxcos(ut??)
c??u ??Businxsinut(??)
?tc?2?u 2??Bu2sinxcosut(??)
?tc??uu?Bcosxcosut(??) ?xccuuu带入边界条件可得： ?TBcoslcos(ut??)??MBu2sinlcos(ut??)
cccuT 即 tanl?
cMcuuuTuTl?lMSl??? ltanl? 2ccMcucMMMc
（其中c?T?, 弦的质量为Ms，线密度为?）
Mu 令r?l，??S，则rtanr??，这就是弦作自由振动时的频率方程。
cM??3??42 （2）当Mm< 3?3?则 rtanr?? 可简化为 ????2?43??.求解这一代数方程，可得近似关系为 ?2???1? ? ???. 3?1?1?x?x2?x3?? (x2?1) 且?<<1 1?x1? ? ?1? ?31?3 则 r2???11??3?MS?M11?Ms? MsMs1?M?3M32?fnuT又r?l?l，c?,Ms??l cc?则f0?1c?Ms?2?l1MM?s31M?＝ 12?T?Ms??l21MM?s3 ＝ 12?T?Ms?lMsMs3＝ 12?KmT （其中Km?） MlM?s32-7 长为l的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移ξ0，然后释放. 试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅. 解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为 ?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??). 由棒一端固定一端自由的边界条件得 ??|x?0?0?????0??x?x?l(1)(2) 由(1)式?Acos(wt??)?0?A＝0. 1?由(2)式?kBcosklcos(wt??)?0?coskl?0?kn?(n?)2l由此各阶简正频率对应的位移表达式为 (n?1,2,3,?). ?n(t,x)?Bnsinknxcos(?nt??n). 棒的总位移为各简正频率位移之和，即?(t,x)??Bnsinknxcos(?nt??n). n?1?棒的初始条件为 ?0??|?x?t?0?l??????0??t?t?0由(4)?sin?n?0??n?n?. 由(3)?Bncos(??n)?(3) (4)2l?0(x)sinknxdx l?0l?2?0n2. ?Bn?(?1)??x?0sinknxdx???2l0l(n??)22-8 有一长1m、截面为1×10-4m2的铝棒( ρ=2.7×103kg/m3)，两端自由. (1) 试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？ (2) 如果在一端负载着0.054kg的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？ 解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为 ?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??). 由棒两端自由的边界条件得 ?????x????????x由(1)式?Bkcos(wt??)?0?B＝0. ?0x?0(1) ?0x?l(2)由(2)式?kAsinklcos(wt??)?0?sinkl?0?kn?n?l(n?1,2,3,?) ?fn??nkncnc??. 2?2?2lc16.85?1010(1) 棒作纵振动的基频为f1???2520Hz. 32l2?12.7?10该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1). 1l当cosk1x?0，即x?(n?)l时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x??0.5m 22的点位移振幅最小. (2) 当在一端负载时，由(2-2-25)得k1=2.65. Mtankl??m??0.2，即tank??0.2k，利用数值方法可以求得klm该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1). 1(n?)?2时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x=0.59m当cosk1x?0，即x?12.65的点位移振幅最小. 2-9 有一长为l的棒一端固定一端有一质量负载Mm。 （1）试求棒作纵振动时的频率方程； （2）如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？ 解：（1）棒的位移方程为 ?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(wt??) 由边界条件得： ?(x?0)?0?A?0???ctgkl2Mm ????????ES()??M()x?lmx?l??m?kl?x?t2?故频率方程为：ctgkl?（2）将2-8参数代入得 ctgkl?0.2kl,(Mm?0.2) mMmkl m?ctgk?0.2k 由牛顿迭代法知： k1 =1.3138 则 f1?k1c?1.05?103（Hz） 2?基频振幅为：?1?Bsink1x,(0?x?1) 当x=1时，sink1x达到最大，即振幅最大。 2-10 试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n=1,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置x的分布图。 解：两端自由的棒： 两端固定的棒: ?2-11 设有一长为l，两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为?0?x??cosx，初速 l度v0?x??0。求该棒振动位移表示式。 解：棒做纵振动时，其方程的解为： ??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??) ???k(?Asinkx?Bcoskx)cos(?t??) ?x???x?0?0?B?0??x两端自由，即不受应力作用，? ??n?nc??fn?x?l?0?kl?n??kn?l2l??x所以，???Ancosknxcos(?n??n) n?1??????Ancosknx[??nsin(?nt??n)] v??tn?12l???0(x)??Ancosknxcos(??n)?cosx?Ancos?n??cosxcosknxdx??ll0ln?1???v0(x)??Ancosknx(?nsin?n)?0?An?nsin?n?0?n?1? ????1,2l?n?xdx???Acos?n??cosxcos??nl0ll?0,?sin?n?0??n?n??即A1cos?1?1?A1??1,n?1n?2,3,???An?0,(n?2,3,???) ??c所以???cosxcos(t??) ll2-12 设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即x?0处，而自由端取在x?l处。试求该棒作自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。 附： fn?(2n?1)c (n?1,2,3,?)。 (2-2-20) 4l解：棒的振动位移表达式?(t,x)?(Ancosknx?Bnsinknx)cos(?t??) 边界条件：?x?0?0； ???tx?l?0， 代入位移表达式解得：An?0； kn?于是可推出 2n?1?。 2lc(n?1,2,3,?)。 4lfn?(2n?1)若将自由端置于原点，固定端置于x?l处，同样能得出与（2-2-20）相同的结论。 2-13 长为l的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用（F?Facos?t）。 （1）试求棒作纵振动时的位移表达式； （2）证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为Km?解：棒纵振动位移的一般表达式为：??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??) ES。 l??x?0?0?A?0?满足边界条件：?FA??cos?t ?ES()?Fcos?t?B???x?lA??xESkcosklcos(?t??)?所以，???FAcos?tF??sinkl?cos(?t??)??sinkx ESkcosklcos(?t??)ESkcoskl当频率较低或棒很短时，即kl??1时，coskl?1，sinkx?kx?kl 有???FFES?kl??l?F??? ESk?1ESlES。 l即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为 2-14 长为l的棒一端钳定一端自由在进行横振动，设已知基频时自由端的位移振幅为?0，试求以?0来表示的棒的基频位移。 解：设棒在x?0端钳定，x?l端自由，于是边界条件可写为： ??2??x2x?0?0， ???xx?0?0， ?0。 ?3?x?l?0， ?x3x?l代入横振动方程 ?(t,x)?[Ach????x?Bshx?Ccosx?Dsinx]cos(?t??) ????可得A??C，B??D，并有如下关系 A(ch????l?cosl)?B(sh?sinl)?0 ????A(sh设??????l?sinl)?B(ch?cosl)?0 ?????l，并用简正值（n=1,2,3,…）代表?的一系列根值。 ?sin?n?sh?n，cos?nsh?n??1 cos?n?ch?n? Bn?An?自由端基频位移振幅?0?A1Y1(l) ?A1[(ch?1?cos?1)?sin?1?sh?1(sh?1?sin?1)] cos?1?ch?1?A12sin?1sh?1?2 cos?1?ch?1? A1??0(co?s1?ch?1) 2(sh?1sin?1?1)?基频位移?1(t,x)?A1Y1(x)cos(?1t??1)， 其中：Y1(x)?(ch?1lx?cos?1lx)?sin?1?sh?1??(sh1x?sin1x) cos?1?ch?1llA1??0(cos?1?ch?1)。 2(sh?1sin?1?1)?0lx，试解棒作横振动的位 2-15 长为l的棒一端钳定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移?t?0?移表达式。 ????解：初始条件和边界条件为：?x?0?0（1）; ???0 (2) ?x??x?0??2???2??0 (3); ??x?x?l??3???3??0 (4) ??x?x?l?t?0??0????x (5); ???0 (6) l??t?t?0棒作横振动的总位移位为： ????Acosh?x ?(t,x)??把（1）、（2）代入（7）得 Bsin?hx??C???c?osxD?sixn???c tos7(） （???)A??C,B??D ????A(cosh?x则 ?(t,x)??把（5）、（6）代入（8）得 ?co?sx?B)???(s?ixnhxsin???)t c（os( 8）????)?0??????A(coshx?cosx)?B(sinhx?sinx)cos??x???????l? ??A(coshx????cosx?B)????(si?nxh???sx?in?)?( sin??)0即 sin??即0??n? ?????x?cosx)?B(sinhx?sinx)?0x ????l?? ?(t,x)?0xco?s(?t?n )A(coshl2-16 长为l的棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。 解：棒作横振动的位移方程为： ?(t,x)?[Achwwwwx?Bshx?Ccosx?Dsinx]cos(wt??) vvvv??2??3??0,3?0???x2x?0?xx?0由边界条件得：?2， 3??????0,3?02??xx?l??xx?l?A?C,B?D wwww?A(chl?cosl)?B(shl?sinl)?0?vvvv?wwww?A(shl?sinl)?B(chl?cosl)?0vvvv? 要使方程有解，则 chwwwwl?coslshl?sinlvvvv=0 ?chwlcoswl?1 wwwwvvshl?sinlchl?coslvvvv2-17 长为l的棒两端钳定，求棒作横振动的振动频率方程. 解：由(2-2-57)式得棒的横振动一般表达式为 ?(t,x)??Acosh??????x?Bsinhx?Ccosx?Dsin?????x?cos(wt??) ?其中???ck. 由棒两端钳定的边界条件得 ???|x?0?0????|?0x?l??由(1)?A=－C B=－D ???x???x?0x?0(1) ?0x?l(2)????????由(2)?A?sinhl?sinl??B?coshl?cosl??0 ????????????????A?coshl?cosl??B?sinhl?sinl??0 ????????这是一个二元一次方程组，若A，B为非零解，则它们的系数行列式应等于零，即 ????l?sinlcoshl?cosl?????0 ????coshl?coslsinhl?sinl????sinh由此可化得coshl?cosl?1，这是一频率方程，可用图解法求解。设?n?列根，此时简正频率fn??????l表示方程的一系?ck2?n. 2?l22-19 已知铝能承受最大张应力为P，密度为?，如果现在用这种材料制成厚度为h的膜，试求膜能承受的最大张力为多少？如果将其绷在半径为r的框架上，试问这种膜振动的基频最高能达到多少？ 解：膜能承受的最大的张力T?Ph， 当半径为r时，膜的基频达最大，大小为 f1?2.405T2.405Ph2.405P ??2?r?2?r?h2?r?2-21 求解周界固定的矩形膜作自由振动时的简正频率以及简正振动方式，如果膜的边长为1：2，试计算最小四个泛频与基频的比值。 ?2??2?1?2?解：膜的振动方程为：2?2?22 （*） ?x?yc?t设：?(x,y;t)??a(x,y)ej?t ??a(x,y)??a(x,y)?2代入方程（*）得：???2?a(x,y) ?x2?y2c2-23 设有一圆环形膜，其在外周r?a与内周r?b处固定，试证明该圆环膜自由振动的频率方程为 J0(?y)N0(y)?J0(y)N0(?y)?0 其中?y?ka，y?kb。 证明：圆环形膜的振动方程为：?(t,r)?R(r)ej?t 其中R(r)?AJ0(kr)?BJ0(kr)。 由外周r?a与内周r?b处固定得边界条件 ?r?a?0，?r?b?0， 代入方程得 AJ0(ka)?BN0(ka)?0， AJ0(kb)?BN0(kb)?0， 整理得 J0(ka)N0(kb)?N0(ka)J0(kb)?0。 从而可得该圆环膜自由振动的频率方程为 J0(?y)N0(y)?J0(y)N0(?y)?0 其中?y?ka，y?kb。 习题3 3-1 如图3-4-2所示的隔振系统，试画出其阻抗型类比线路图，并运用线路图来讨论此系统的隔振性能。 图 3-4-2 解：阻抗型类比线路图如（c）图所示。 下面分析一下系统的隔振性能， 利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有 v?在Mm后面的分支点有 v?F1?F j?MmFF??j?CmF?RmF 11j?CmRm合并两式即得 F1?F?j?CmF?RmF j?Mm经整理得 3-3 试画出如图(a)所示的弹簧并联相接的力学系统的导纳型类比线路图，并从线路图求出系统的等效弹性系统。 图 习题3-3 解：导纳型类比线路图如（b）图所示。 下面分析一下系统的隔振性能， 利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有 v?在Mm后面的分支点有 v?F1?F j?MmFF??j?CmF?RmF 11j?CmRm合并两式即得 F1?F?j?CmF?RmF j?Mm经整理得 3-5 试画出如图(a)所示力学系统的导纳类比线路图(力阻都忽略不计)。 图 习题3-5 3-7 (a)图中示意画出了自行车的简化力学模型，如果由于路面不平整，使一只轮胎得到一垂直方 向的速度v?vacos?t，试画出该系统的导纳型力学类比线路图。 3-9 有一简单的护耳罩结构如图(a)所示，耳罩与人头之间形成一体积为V的空腔，耳罩的质量为 Mm，有效面积为S，它与人头之间以弹性系数为Km的软垫接触，假设耳罩外有一声压为p的声波作 图 习题3-7 用，在耳罩内产生的声压为pv，试求出耳罩的传声比 pv，并分析护耳罩的传声规律。 p 图 习题3-9 3-11 有一耳机，其振膜的固有频率原设计在在一个模仿人耳体腔体积为V的小盒子上进行，如固有频率，设振膜有效质量为m，有效面积为S。 图 习题3-11 f1，测试时将耳机压紧 图所示。求这时系统的 3-14 试画出如图(a)所示带通声滤波器的类比线路图，并求出其截止频率。 3-16 如图为一压强式电容传声器打有许多小孔，构成声阻尼元件Ma1，图。 3-18 号筒式扬声器的简单结构如换能得到的交变力F作用在振膜上，振膜的别为Mm，Cm和S，Ca1和Ca2分别为前室和筒吼部面积，假设已知吼部的声辐射阻抗为号筒式扬声器的类比线路图。 图 习题3-18 图 习题3-16 结构示意图，背电极上 Ra1，试画出其类比线路 图(a)所示，有动圈式质量、力顺及面积分后室的声容，S0为号 Rra??0C0S0，试画出 习题4 4-1 试分别在一维及三维坐标里，道德质点速度v的波动方程。 解：小振幅声波一维波动方程： ?v?p????,(1)?0?t?t??v???????,(2) ?0?x?t?2?p?c0??,(3)??由（3）得???1c02p代入（2）得 ?v1?p， （4） ?2?xc0?t??0（4）对x求导，得 ?2v?2p??0c02?， （5） ?x?x?t2?2v?2p（1）对t求导，得 ?02??， （6） ?x?t?t?2v1?2v（5）与（6）相加，得 2?22 ?xc0?t三维波动方程： ??v??0?t??gradp,??????div(?v)?, ?0?t?2p?c0??,???推导方法与一维相似，得 1?2vgrad(div(v))?22 c0?t4-2 如果媒质中存在体积流源，单位时间内流入单位体积里的质量为ρ0q(x,y,z,t)，试导出有流源分布时的声波方程. (?v)x(?v)x?dxx首先考虑在一维x方向上的连续性方程 m流入?(?vx)xS?(?vx)x?dxS??0qx?Sdx x?dx 解：由于媒质中存在体积流源，媒质的连续性方程发生改变. ?(?vx)??0qx)?Sdx ?x??m增加?Sdx ?t?(?由质量守恒可得 (??(?vx)????0qx)?Sdx??Sdx. ?x?t?(?vx)??'??0qx?即 ?. ?x?t将其扩展到三维的情况 ??'?div(?0?)??0q? (1) ?t再由媒质的运动方程和物态方程得 ?0????gradp (2) ?tp?c0?' (3) 对(1)式两边同时求导得 ???q?2?'?div(?0)?div(?0)?2. ?t?t?t2将(2)式和(3)代入上式得 ?q1?2pdiv(gridp)?div(?0)?22 ?tc0?t可记为 1?2p?q?p?22?div(?0). ?tc0?t2上式即为有流源分布时的声波方程. 4-3 如果媒质中有体力分布，设作用在单位体积媒质上的体力为F(x,y,z,t),试导出有体力分布时的声波方程。 解：体力影响运动方程：首先考虑一维情况，取一足够小体积元 F1=（P0+p）S+FxSdx，F2= -（P0+p+dp）S-Fx+dxSdx 则合力为?(?p?FSdx?Sdx)，由牛顿第二定律，得 ?x?x?p?F?v?v?p?F?(?)Sdx??Sdx????(?) ?x?x?t?t?x?x再推广至三维情况，并考虑小振幅声波，得 ?v??grad(p?F) ?t???另两个方程仍为：?div(?0v)? ?t?0p?c0?? 1?2p由以上三式可推出：?(p?F)?22 c0?t224-4 如果在没有声扰动时媒质静态密度是不均匀的，即?0??0(x,y,z)，试证明这种情况下的声波方程为 1?2p?p?22?gradp?grad(ln?0)。 c0?t2证明：在密度不均匀的条件下的三维声波方程为： ?dv???gradp （1） dt???? （2） ?[div(?v)?vgrad?]??t2p?co?? （3） 在小振幅的情况下，经线性规划，（1）式和（2）式的三维线性方程可化为 ?dv?0??gradp （4） dt????? （5） ?[div(?0v)?vgrad?0]??t2（3）式不变，其中的系数c0是决定于媒质平衡态参数的一个常数。 将（3）式对t求导并代入（5）式得： ??1?p?[div(?0v)?vgrad?0]?2 （6） c0?t（6）式对t求导得： ???v?v1?2p?[div(?0)?grad?0]?22 （7） ?t?tc0?t2（4）式代入上式，且div(gradp)??p gradp1?2p? ?p?gra?d0?22 ?0c0?t21?2p即 ?p?22?grad?pgra(dln?0) c0?t24-5 一无限长圆柱形声源沿半径方向作均匀胀缩振动时，其辐射声波波阵面是圆柱形的，设径向半径为r、单位长度圆柱形波阵面面积为S?2?r，试求出这种声场里声波方程的具体形式。 解：因为为无限长圆柱，产生无限的均匀圆柱声场（即波振面的形状在传播过程中保持一定， ?且传播方向不变沿r方向），所以仅取单位长度的被一很小的立体角所割出的空间作为研究对象。 在r处，其波振面面积为S?2?r，单位时间内流入质量为?vS。 在r?dr处，?,v,S发生变化，单位时间内流出质量为 (?vS)r?dr?(?vS)r??(?vS)dr ?r?(?vS)dr， ?r所以单位时间流入体积元的质量为(?vS)r?(?vS)r?dr???因为传播仅在r方向，而且仅考虑小振幅情形，此时运动方程为 ?0?v?p?? ?t?r又因为该体积元内质量近似等于?Sdr，单位时间内质量变为 ?(?Sdr)， ?t?(?vS)?(?Sdr) ① dr??r?t?(vS)???因为???0???，所以①式可以写为??0 ② ?S?r?t由质量守恒定律有?22c0c0?v?S2???②式两边同乘，变为??0(S?v)?c0 ③ SS?r?r?t?p2??? ④ ?c0?t?t?p?(lnS)2?v由③和④推出，???0c0[?v] ?t?r?r2又物态方程为p?c0???2?2p?v?(lnS)2?v??] ⑤ 两边对t求导得，2???0c0[?r?t?t?r?t?2v?2p?2p?2p?p?(lnS)2??2，代入⑤式，得，2??c0[?2??] 由运动方程得，?0?t?r?r?r?r?t?r?2p1?p1?2p 整理得 ??22 2r?rc0?t?r4-6 如果声波的波阵面按幂指数规律变化，即S?S0(1?anx)n，其中S0为x?0处的面积，an为常数，试导出这时声波方程的具体形式。 解：特殊形式的声波方程为： ?2p?p?(lnS)1?2p??22 2?r?r?rc0?t由于S?S0(1?anx)n，代入上面的方程得： ?2p?p?[lnS0(1?anx)n]1?2p??22 2?r?r?rc0?t整理得这时声波方程的具体形式为 nan?p1?2p?2p??22 21?anx?rc0?t?r4-7 试问夏天（温度高达400C）空气中声速比冬天（设温度为00C）时高出多少？如果平面波声压保持不变，媒质密度也近似认为不变，求上述两种情况下声强变化的百分率及声强级差。 解：(1) 对于空气??1.402，标准大气压P0?1.013?105Pa，T0?273?t 3kgm/olR?8.31J/k?mol ??29?1?0， 则声速为 c0??P0?R?T0, ?0?c0(0℃)= ?R273?331.6m/s ?则 c0(t℃)?331.6?0.6t(m/s). C?) c0(40033?1.6?0.6?40m/3 5.6s5? c0=c0(400C)?c0(00C)?24m/s （2）声强I?W??c0 Spe2又平面波声压不变，媒质密度也不变，则??不变 2?0c0?c0(400C)??c0(00C)则?I%=?100%?7.24% 0?c0(0C)又 SIL?10log10IIref0(dB) I(400C)I(00C)则 ?SIL?SIL(40C)?SIL(0C)=10log10 ?10log10IrefIref0?c0(400C)I(400C)=10log10=10log10＝0.3dB 00I(0C)?c0(0C)4-8 如果两列声脉冲到达人耳的间隔时间约在(120)s以上时，听觉上可以区别出来，试问人离一垛高墙至少要多远的距离才能听到自己讲话的回声？ 解：设高墙距人L米， ?2L1? c020?L?c0?8.6(m) 20因此人离一垛高墙至少要8.6m的距离才能听到自己讲话的回声。 4-9 （1）试导出空气中由于声压p引起的绝对温度的升高?T的表达式。 （2）试问在200C、标准大气压的空气里，80dB的平面声波引起的温度变化幅值为多少？ ?解：（1）对理想气体有 PV0M?RT0 又 P?P0??P T?T 0??T则 (P0??P)V?M?R(T0??T) P0T0?P?T0 即 ?T?P0??PT0??TP0pe?20log（2） SPL10pref( dB)由题得 80?20log10则 ?P?0.22Pa ?T?pe 则 pe?0.2Pa 即 P?0.22Pa pref?P0.22?4T0??(273?20)?8.2?10K 5P1.01?104-10 在20oC的空气里，求频率为1000Hz、声压级为0dB的平面声波的质点位移幅值，质点速度幅值，声压幅值及平均能量密度各为多少？如果声压级为120dB，上述各量又为多少？为了使空气质点速度有效值达到与声速相同的数值，借用线性声学结果估计需要多大的声压级? 解：由SPL?20log10pepref(pref?2?10pa)得pe?pref10?5SPL20. 则：声压幅值pa?2pe；质点速度幅值va?vapa； ?0c02质点位移幅值?a?(1) SPL＝0dB ?；平均能量密度??pe?0c02. pa?2.828?10?5pa；va?6.815?10?8m/s；?a?1.085?10?11m； ??2.813?10?15J/m3. (2) SPL＝120dB pa?28.28pa；va?0.0682m/s；?a?1.085?10?5m；??2.813?10?3J/m3. (3) ve?pep2?c0?pe??0c0，则SPL?20log10e?197dB. ?0c0pref4-11 在20℃的空气里，有一平面声波，已知其声压级为74dB，试求其有效声压、平均声能量密度 和声强。 解：声压级SPL?20lgpe?74(dB)， pref?有效声压pe?0.1(Pa)， 2pe0.12 平均声能量密度????6.9?10?8(J?m?3)， 2?0c0415?344pe2 声强I??c0??2.4?10?5(W?s?2)。 ?0c04-12 如果在水中与空气中具有同样的平面波质点速度幅值，问水中声强将比空气中声强大多少倍？ 解：水中平面波质点速度幅值为va1，声压为Pa1，声强为I1 空气中平面波质点速度幅值va2，声压为Pa2，声强为I2 则 va1?va2，又Pa1?va1?1c1，Pa2?va2?2c2 则 Pa2?2c21? 又 I?Pava Pa1?1c12I2Pa2?2c21.480?106? ????3566倍 I1Pa1?1c14154-13 欲在声级为120dB的噪声环境中通电话，假设耳机再加一定电功率时在耳腔中能产生110dB的声压，如果在耳机外加上的耳罩能隔掉20dB噪声，问此时在耳腔中通话信号声压比噪声大多少倍？ 解： 耳机内信号声压P信=Pref·10 110/20 ， 到达耳机的噪声声压P噪=Pref·10所以P信/P噪=10 110/20 （120-20）/20 /10 100/20 =3.16 4-14 已知两声压级幅度之比为2，5，10，100，求它们声压级之差.已知两声压级之差为1dB，3dB，6dB，10dB，求声压幅值之比. 解：已知声压幅值比，则声压级之差为 ?SPL?20log10pe1ppp?20log10e2?20log10e1?20log10a1. prefprefpe2pa2?SPL20p已知声压级之差，则声压幅值比为a1?10pa2. (1) 当声压幅值比分别为2，5，10，100时，声压级之差分别为6.02dB，14.0dB，20dB，40dB. (2) 当声压之差分别为1dB，3dB，6dB，10dB时，声压幅值之比分别为1.1220，1.4125，1.9953， 3.1623. 4-15 20℃时空气和水的特性阻抗分别为R1?415Pa?sm及R2?1.48?106Pa?sm，计算平面声波由空气垂直入射于水面上时反射声压大小及声强透射系数。 解：声压反射系数rp?R2?R1?1， R2?R12Itpta2?2c2R124R1R2?3?tp??1.21?10声强透射系数rI??2。 2Iipia2?1c1R2(R1?R2)4-16 水和泥沙的特性阻抗分别为1.48?106Pa?s/m及3.2?106Pa?s/m，求声波由水垂直入射于泥沙时，在分界面上反射声压与入射声压之比及声强透射系数。 解: 水的特性阻抗为R1=1.48?106Pa?s/m 泥沙的特性阻抗为R2=3.2?106Pa?s/m 当声波由水垂直入射于泥沙时，在分界面上反射声压与入射声压之比为 rp?praR2?R1??0.37 piaR2?R1It4R1R2??0.86 2Ii1(R1?R2)声强透射系数为 tI?4-17 声波由空气以?i?30?斜入射于水中，试问折射角为多大？分界面上反射波声压于入射波声压之比为多少？平均声能量流透射系数为多少？ 解： sin?ic1?,查表知c1?344m/s，c2?1483m/s sin?tc2又 c21483sin?i?sin30??2.16?1，所以发生全反射现象 c1344反射波声压于入射波声压之比为rp?PrPi?1 平均声能量流透射系数为tw?tIcos?t?0 cos?i4-18 试求空气中厚为1mm的铁板对200Hz及2000Hz声波的声强透射系数tI(考虑垂直入射). 解：由(4-10-41)知声强透射系数为 tI?4. 2224cosk2D?(R12?R21)sink2D(1) f＝200Hz时，k2??c?2??200?0.2889，k2D?2.889?10?4. 4350由于k2D??1，则cosk2D?1,sink2D?0，?tI?1. (2) f=2000Hz时，分析过程同上，tI?1. 4-19 空气中有一木质板壁，厚为h，试问频率为f的声波的隔声量有多少？ 解：隔声量TL??42?20lgf?20lgM ??42?20lgf?20lg?h 其中?表示木质板壁的密度。 4-20 一骨导送话器的外壳用厚1mm的铁皮做成，试求这外壳对1000Hz气导声波的隔声量。 解：对于铁，其厚度为D?1mm?10?3m，??7.70?103kg/m3，c?3.70?103m/s R??c?28.49?106N?s/m3，M??D?7.7kg/m2 对于空气 R0??0c0?415N?s/m3 则R21?R0R1, 2?D?D??0.5 （??2?f?2000?Hz） c0?2???M?2?则所求隔声量为TL?10log10?1?????35.3dB 2R???0???4-21 房间隔墙厚度20㎝，密度?=2000㎏/m3，试求100Hz及1000Hz声波的隔声量分别为多少？如墙的厚度增加一倍，100Hz声波的隔声量为多少？如不是增加厚度，而是用相同材料切成双层墙，中间距10㎝，这时对100Hz声波的隔声量为多少？ 解：由质量定律TL=-42+20lgf+20lgM2,得 TL1=-42+20lg100+20lg（0.2×200）=50dB TL2=-42+20lg1000+20lg（0.2×200）=70dB 墙厚度增加一倍，即D=0.4m，故此时 TL1=-42+20lg100+20lg（0.4×200）=56dB 双层墙时，TL?20lgwMwM?20lgkD R12R1?20lg100?2000?0.2100?2000?0.2100?20lg(??0.1) 1.21?3442?1.21?344344=43dB 4-23 试导出三层媒质的声强透射系数（4－10－43）式。 解: 设一厚度为D，特性阻抗为R2??2c2的中间层媒质置于特性阻抗为R1??1c1与R3??3c3中，如图所示。 (t?1kx)?pi?piaej??p1r?p1raej(?t?k1x)?p2t?p2taej(?t?k2x)则 ? ；? ；? ； j?(t?k1x)j(?t?k1x)j(?t?k2x)??i??iae??1r?p1rae??2t?p2tae?p???j[?t?k3(x?D)]j(?t?k2x)?p?pe?pe?tta2r2ra ； ?j(?t?k2x)j[?t?k3(x?D)]?2r??2rae??t??tae其中 ?ia?piapppp,?1ra??1ra,?2ta?2ta,?2ra??2ra,?ta?ta R1R1R2R2R3,k2? k1??c1?c2,k3??c 3?pia?p1ra?p2ta?p2ra?pia?p1ra?p2ta?p2ra?当x?0时，? 即?piap1rap2tap2ra （1） ??ia??1ra??2ta??2ra?R?R?R?R?1122?p2tae-jk2D?p2raejk2D?pta?p2t?p2r?pt?当x?D时，? 即?p2ta-jk2Dp2rajk2Dpta （2） ?e???2t??2r??t?ReR2R3?2)pR)2r p (3) 由（1）得 2R2pia?(R1?R2t2?a(R?1R3?R2?jk2Dp?pe2tata?2R3?由（2）得 ? (4) R?R2?p?3ptae-jk2D2ra?2R3?把（4）代入（3）得 2R2pia?(R1?R2)2R3?R2R?R2ptaejk2D?(R1?R2)3ptae-jk2D 2R32R32p4R2R3则ta＝ jk2D-jk2Dpia(R1?R2)(R3?R2)e?(R1?R2)(R3?R2)e4R2R3??(R1?R2)(R3?R2)?(R1?R2)(R3?R2)?cosk2D?j?(R1?R2)(R3?R2)?(R1?R2)(R3?R2)sink2D?24R2R3 ?22R2(R1?R3)cosk2D?j2(R2?R1R3)sink2D224R2R3 ?222222R2(R1?R3)cosk2D?(R2?R1R3)sink2D2?4R32(R1?R3)2cos2k2D?(R2?R1R322)sink2DR2 |pta|2R14R1R3则 tI? ??|pia|2R3(R?R)2cos2kD?(R?R1R3)2sin2kD13222R24-24 有不同频率的两列声波，它们的声压可分别表示为p1?p1acos(?1t?k1x??1)， p2?p2acos(?2t?k2x??2)，这里初相位角φ1及φ2为常数，试求它们的合成声场的平均能量密度. 解：由题意可知，这两列声波是不相关的，由(4-12-11)可知合成声场的平均能量密度为 ???1??2?p1a?p2a2?0c0222. 4-25 试计算入射声波与反射声波振幅相等的平均驻波声场中的平均能量密度。 解：入射声波与反射声波频率相同，设入射声波为pi?paej(?t?kx)，反射声波为pi?paej(?t?kx)。 合成的声场为p?pi?pr?2pacoskxej?t。 2(2pacoskx)22pa2平均声能量密度???coskx 222?0c0?0c04-26 设有一沿x方向的平面驻波，其驻波声压可表示为p?piaej(?t?kx)?praej(?t?kx)，若已知 pra?piae2，试求该驻波声场的平均声能量密度?和平均声能量流密度（声强）I。 解：由题意得 p?piae ?piaej(?t?kx)j??praej(?t?kx)?piaej(?t?kx)?piaej(?t?kx?)2? j(?t?kx)?piaej(?t?(?kx?))2??p1?p2 两列波的相位差 ??(?kx?)?kx??2kx? 2222piapia 两列波的平均声能量密度分别为 ?1?，?2? 222?0c02?0c0222piapiapiapiapia?cos?该驻波声场的平均声能量密度???1??2?＝＋＋cos(?2kx?)＝2222?0c022?0c02?0c0?0c0??2pia2?0c02pia???(1?sin2kx) 1?cos(2kx?)?＝2?2??0c0?2pia该驻波声场的平均声能量流密度I??c0?(1?sin2kx) ?0c04-27 某测试环境本底噪声声压级40dB，若被测声源在某位置上产生的声压级70dB，试问置于该位置上的传声器接收到的总声压级为多少？如本底噪声也为70dB，总声压级又为多少？ 解：（1）LP?10lg22Pe22Pref2?Pe?Pref?1024010701022LP10 所以Pe?P1e?P2e?Pref?(10总声压级LP?10lgPe22?10) 4010Pref?10lg(10Pe22?10)?70 dB 701070107010（2）总声压级LP?10lgPref?10lg(10?10)?73 dB 4-28 房间内由n个人各自无关地朗读，假如每个人单独时在某位置均产生Lj (dB)的声音，那么n个人同时朗读时在该位置上总声压级应为多少？ 解：n各人同时朗读的声音是互不相关的，满足能量叠加原理. 由(4-12-14)得该位置上总声压级为 LjLjLjSPL?10log10(1010?1010??1010) Lj?10log10(n?1010) ?10log10(n)?Lj(dB). 习题5 5-1 有一声管在末端放一待测吸声材料,现用频率为500Hz的平面声波,测得管中的驻波比G等于10,并确定离材料表面0.25m处出现第一个声压极小值.试求该吸声材料的法向声阻抗率以及法向吸声系数. 解：由公式（5-1-9）得 0.25?(1??)c0 4f其中c0?344ms，f?500Hz 计算得??0.453。 声压反射系数rp?G?19? G?111?1?rpej??因此，可得法向声阻抗率Zs???1?rej??p?法向吸声系数?????c?401.6?j321.8 ?00?4Rs?0c0?0.87 22(Rs??0c0)?Xs5-2 试求在末端有声学负载的声管中，相邻的声压极大值与极小值之间的距离。 解：对于末端有声学负载的声管中 2k(x?? 2k(x???4)??(2n?π1)(n?0,1,2, )总声压有极小值 )??2nπ(n?0,1,2, ) 总声压有极大值 ?4 取n?0，管中声压极小值的位置为 (?x)min??1??? 管中声压极大值的位置为 (?x)max??则相邻声压极大值与极小值之间的距离为 ?44 ??(?x)max?(?x)min??4