表1 真值表 A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 L 0 0 0 1 0 1 1 1 LBC00 A

00 10

010111111001 图1 例1的卡诺图

2．从逻辑表达式到卡诺图

（1）如果逻辑表达式为最小项表达式，则只要将函数式中出现的最小项在卡诺图对应的小方格中填入1，没出现的最小项则在卡诺图对应的小方格中填入0。 例2 用卡诺图表示逻辑函数F?ABC?ABC?ABC?ABC

解： 该函数为三变量，且为最小项表达式，写成简化形式F?m0?m3?m6?m7然后画出三变量卡诺图，将卡诺图中m0、m3、m6、m7对应的小方格填1，其他小方格填0。 （2）如果逻辑表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入，直接填入的具体方法是：分别找出每一个与项所包含的所有小方格，全部填入1。

例3 用卡诺图表示逻辑函数G?AB?BCD

FA0110001101AGBCC00010111D00010001B00011110 图2 例2的卡诺图 图3 例3的卡诺图

（3）如果逻辑表达式不是“与—或表达式”，可先将其化成“与—或表达式”再填入卡诺图。

1.7.2 用卡诺图化简逻辑函数

1．卡诺图化简逻辑函数的原理

（1）2个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消去1个取值不同的变量而合并为l项，如图4所示。

（2）4个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消去2个取值不同的变量而合并为l项，如图5所示。

（3）8个相邻的最小项结合（用一个包围圈表示），可以消去3个取值不同的变量而合并为l项，如图6所示。

C1BCDA1ABDD1ABC11B1A1BD（四角）D1BC11A1C1ABD1111B1C11111CCD1B11D11B

图4 2个相邻的最小项合并 图5 4个相邻的最小项合并 图6 8个相邻的最小项合并

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总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为一项。 2．用卡诺图合并最小项的原则

用卡诺图化简逻辑函数，就是在卡诺图中找相邻的最小项，即画圈。为了保证将逻辑函数化到最简，画圈时必须遵循以下原则：

n（1）圈要尽可能大，这样消去的变量就多。但每个圈内只能含有2（n=0,1,2,3??）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。

（2）圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的与项就少。

（3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。

（4）取值为1的方格可以被重复圈在不同的包围圈中，但在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。 3．用卡诺图化简逻辑函数的步骤

(1)画出逻辑函数的卡诺图。

（2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。 （3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。

例4 用卡诺图化简逻辑函数：

L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）

解：（1）由表达式画出卡诺图如图7所示 画包围圈合并最小项，得简化的与—或表达式:

L?C?AD?ABD

注意图中的包围圈AD是利用了对边相邻性。

例5 用卡诺图化简逻辑函数：F?AD?ABD?ABCD?ABCD 解：（1）由表达式画出卡诺图如图8所示。

（2）画包围圈合并最小项，得简化的与—或表达式: F?AD?BD

L110A00D11001111C11B1A11D11011F100000C100B

图7 例4卡诺图 图8 例5卡诺图

注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉；图中的包围圈BD是利用了四角相邻性。 例6 某逻辑函数的真值表如表2所示，用卡诺图化简该逻辑函数。

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解法1：（1）由真值表画出卡诺图，如图9所示

（2）画包围圈合并最小项，如图9（a）所示，得简化的与—或表达式： L?BC?AB?AC

表2 例6真值表

A B C 0 0 0 0 0 1 L 0 1 0 1 0 1

LB0 1 1 1

1 0 0 1 00011 0 1 1

0A111 1 1 0 1 1 1 1 0 C

解法2：（1）由表达式画出卡诺图，如图9所示

（2）画包围圈合并最小项，如图9（b）所示，得简化的与—或表达式： L?AB?BC?AC

L0A111C¨a￡￡?10B11AL0111C¨b￡￡?10B11

图9 例6卡诺图 （a）解法1 （b）解法2

通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有

时不是唯一的。

4．卡诺图化简逻辑函数的另一种方法——圈0法

如果一个逻辑函数用卡诺图表示后，里面的0很少且相邻性很强，这时用圈0法更简便。但要注意，圈0后，应写出反函数L，再取非，得原函数。

例7 已知逻辑函数的卡诺图如图10所示，分别用“圈0法”和“圈1法”写出其最简与—或式。

解：（1）用圈0法画包围圈如图10（a）所示，得

L?BCD 对L取非，得： L?BCD?B?C?D （2）用圈1法画包围圈如图10（b）所示，得： L?B?C?D

LC100A11D¨a￡￡?1111111111B1A111D￡b￡¨?10111L101111C11B

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图10 例7的卡诺图 （a）圈0的卡诺图 （b）圈1的卡诺图

1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简 1．什么是无关项

例8：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。

解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为1，灯灭为0。车用L表示，车行L=1，车停L=0。列出该函数的真值表如表3所示。

表3 真值表

红灯 绿灯 黄灯 车 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 L ? 0 1 ? 0 ? ? ? 显而易见，在这个函数中，有5个最小项是不会出现的，如ABC（三个灯都不亮）、ABC（红灯绿灯同时亮）等。因为一个正常的交通灯系统不可能出现这些情况，如果出现了，车可以行也可以停，即逻辑值任意。

无关项；在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项，在卡诺图中用符号×来表示其逻辑值。

带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为： L=∑m（ ）+∑d（ ）

如本例函数可写成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7） 2．具有无关项的逻辑函数的化简

化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。

画出例8的卡诺图如图11所示，如果不考虑无关项，包围圈只能包含一个最小项，如图11（a）所示，写出表达式为L?ABC

如果把与它相邻的三个无关项当作1，则包围圈可包含4个最小项，如图11（b）所示，写出表达式为L?B，其含义为：只要绿灯亮，车就行。

注意，在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些无关项当作0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。

LLBB

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