1.3 逻辑代数中的基本公式和常用公式

逻辑代数和普通代数一样，有一套完整的运算规则，包括公理、定理和定律，用它们对逻辑函数式进行处理，可以完成对电路的化简、变换、分析与设计。 1.3.1 逻辑代数的基本公式

包括9个定律，其中有的定律与普通代数相似，有的定律与普通代数不同，使用时切勿混淆。

表1 逻辑代数的基本公式

名称 0-1律 互补律 重叠律 交换律 结合律 分配律 反演律 吸收律 公式1 A?1?A 公式2 A?0?A A?1?1 A?A?1 A?0?0 AA?0 AA?A AB?BA A(BC)?(AB)C A(B?C)?AB?AC A?A?A A?B?B?A A?(B?C)?(A?B)?C A?BC?(A?B)(A?C) AB?A?B A(A?B)?A A(A?B)?AB A?B?AB A?AB?A A?AB?A?B AB?AC?BC?AB?AC (A?B)(A?C)(B?C)?(A?B)(A?C) 对合律 A?A

表中略为复杂的公式可用其他更简单的公式来证明。 例1 证明吸收律A?AB?A?B

证：A?AB?A(B?B)?AB?AB?AB?AB?AB?AB?AB?AB ?A(B?B)?B(A?A)?A?B

表中的公式还可以用真值表来证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。 例2 用真值表证明反演律AB?A?B和A?B?AB

证：分别列出两公式等号两边函数的真值表即可得证，见表2和表3

表2 证明AB?A?B

A B 0 0 0 1

AB A?B 1 1 13

1 1 1 0 1 1

1 0 1 0 表3 证明A?B?AB

A B 0 0 0 1 1 0 1 1 A?B AB 1 0 0 0 1 0 0 0

反演律又称摩根定律，是非常重要又非常有用的公式，它经常用于逻辑函数的变换，以下是它的两个变形公式，也是常用的。

AB?A?B A?B?AB

1.3.2 逻辑代数的常用公式

这些常用公式是利用基本公式导出的，直接运用这些导出公式可以给化简逻辑函数的工作带来很大方便。各常用公式如下，并给出各式的简单证明。 1．A?A?B?A

证：A?A?B?A?(1?B)?A?1?A

上式说明在两个乘积项相加时，若其中一项以别一项为因子，则该项是多余的，可以直接删去。 2．A?A?B?A?B

证：A?A?B?(A?A)(A?B)?1?(A?B)?A?B

这一结果表明，两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。

3．A?B?A?B?A

证：A?B?A?B?A(B?B)?A?1?A

这个公式的含意是当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B两个因子而其它因子相同，则两项定能合并，且可将B和B两个因子消去。 4．A?(A?B)?A

证：A?(A?B)?A?A?A?B?A?A?B?A?(1?B)?A?1?A 该式说明，变量A和包含A的和相乘时，其结果等于A，即可以将和消掉。 5．A?B?A?C?B?C?A?B?A?C

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A?B?A?C?B?C?A?B?A?C?B?C(A?A) 证：

?A?B?A?C?A?B?C?A?B?C?A?B?(1?C)?A?C?(1?B)?A?B?A?C

这个公式说明，若两个乘积项中分别包含A和A两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。 从上式不难进一步导出

A?B?A?C?B?C?A?B?A?C

6． A?A?B?A?B ；A?A?B?A

A?A?B?A?(A?B)?A?A?A?B?A?B

上式说明，当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，则A这个因子可以消去。

A?A?B?A?(A?B)?A?A?A?B?A?(1?B)?A

此式表明，当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，其结果就等于A。

1.4 逻辑代数的基本规则

1、代入规则

代入规则的基本内容是：对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。

利用代入规则可以方便地扩展公式。例如，在反演律AB?A?B中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：

ABC?A?BC?A?B?C

2、对偶规则

将一个逻辑函数L进行下列变换：

·→＋，＋ →· 0 → 1，1 → 0

所得新函数表达式叫做L的对偶式，用L'表示。

对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。 利用对偶规则可以帮助我们减少公式的记忆量。例如，表3.1.1中的公式l和公式2就互为对偶，只需记住一边的公式就可以了。因为利用对偶规则，不难得出另一边的公式。 3、反演规则

将一个逻辑函数L进行下列变换：

·→＋，＋ →· ； 0 → 1，1 → 0 ；

原变量 → 反变量， 反变量 → 原变量。

所得新函数表达式叫做L的反函数，用L表示。

利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数

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例3 求函数L?AC?BD的反函数。 解：L?(A?C)?(B?D) 例4 求函数L?A?B?C?D的反函数。

解：L?A?B?C?D 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：

保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例3。

变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例4。

1.6 逻辑函数的代数化简法

1.6.1逻辑函数式的常见形式

一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。常见的逻辑式主要有5种形式，例如：

L?AC?AB 与—或表达式 ?(A?B)(A?C) 或—与表达式 ?AC?AB 与非—与非表达式 ?A?B?A?C 或非—或非表达式 ?AC?AB 与—或非表达式

在上述多种表达式中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。因此，在化简逻辑函数时，通常是将逻辑式化简成最简与—或表达式，然后再根据需要转换成其他形式。 最简与—或表达式的标准

（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。

（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。 1.6.2 逻辑函数的公式化简法

用代数法化简逻辑函数，就是直接利用逻辑代数的基本公式和基本规则进行化简。 一、常用的化简方法有以下几种。

1、并项法。运用公式A?A?1，将两项合并为一项，消去一个变量。如

L?ABC?ABC?AB(C?C)?AB

L?A(BC?BC)?A(BC?BC)?ABC?ABC?ABC?ABC?AB(C?C)?AB(C?C)?AB?AB?A(B?B)?A

2、吸收法。运用吸收律A?AB?A消去多余的与项。如

L?AB?AB(C?DE)?AB

3、消去法。运用吸收律A?AB?A?B消去多余的因子。如

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