积最大时，求椭圆C的方程．
解 (1)M(0，b)，A(－a,0)，B(a,0)，k1＝，k2＝－，
bababbb22c3
k1k2＝－·＝－2＝－，e＝＝.
aaa3a3
(2)由(1)知e＝＝2
2
2
2
ca3， 3
得a＝3c，b＝2c，
可设椭圆C的方程为2x＋3y＝6c， 设直线l的方程为x＝my－3，
2
2
2
?2x＋3y＝6c，由?
?x＝my－3，
2
2
222
2
2
得(2m＋3)y－43my＋6－6c＝0，
因为直线l与椭圆C相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点， 所以Δ＝48m－4(2m＋3)(6－6c)>0，
43m6－6c由根与系数的关系得，y1＋y2＝2，y1y2＝2. 2m＋32m＋3→→
又DP＝3QD，所以y1＝－3y2， 36m代入上述两式得6－6c＝－2，
2m＋3
2
2
2
2
2
13?83m?
所以S△OPQ＝|OD||y1－y2|＝?2?
22?2m＋3?＝
12|m|12＝≤6， 2
2|m|＋33
2|m|＋
|m|
3522
当且仅当m＝时，等号成立，此时c＝，
22代入Δ，此时Δ>0成立， 2xy所以椭圆C的方程为＋＝1.
155
2
2
x2y22
5．(2018·天津市部分区模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的一个顶点
ab2
与两个焦点构成的三角形面积为2. (1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线y＝k(x－1)(k>0)与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点． →→
(ⅰ)若MB＝AN，求k的值；
5
(ⅱ)若点Q的坐标为??7?4，0???
，求证：→QA·→QB为定值．
x2y2(1)解 因为222
a2＋b2＝1(a>b>0)满足a＝b＋c，
又离心率为
2c2，所以a＝22
， 即a2
＝2c2
，代入a2
＝b2
＋c2
，得b2
＝c2
.
又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2， 即12×b×2c＝2，即bc＝2，b2c2
＝4， 以上各式联立解得a2
＝4，b2
＝2， 则椭圆C的方程为x2y2
4＋2
＝1.
(2)(ⅰ)解 直线y＝k(x－1)与x轴交点为M(1,0)，与y轴交点为N(0，－k)，联立???y＝k?x－1?，??
x2＋2y2
＝4
消去y得，
(1＋2k2
)x2
－4k2
x＋2k2－4＝0，
Δ＝16k4
－4(1＋2k2
)(2k2
－4)＝24k2
＋16>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2
则x＋x4k12＝1＋2k2，
又→MB＝(x，y→
2－12)，AN＝(－x1，－k－y1)， 2
由→MB＝→
AN，得x4k1＋x2＝1＋2k2＝1，
解得k＝±
22，由k>0，得k＝22
. (ⅱ)证明 由(ⅰ)知x4k2
2k2
－4
1＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2，
所以→QA·→QB ＝???x71－??7?4，y1??·??x2－4，y2??
＝???
x71－4?????7?x2－4???＋y1y2
＝???
x71－4??????x72－4??2
?＋k(x1－1)(x2－1)，
＝(1＋k2
)2k2－4?72
2?4k2
491＋2k2＋??－4－k??1＋2k2＋k＋
16， 6
2k－4＋2k－4k－7k－4k＋k＋2k49＝＋， 2
1＋2k16－8k－4494915
＝＋＝－4＋＝－，为定值， 2
1＋2k161616→→
所以QA·QB为定值．
2
2422424
7