(全国通用版)2019高考数学二轮复习 压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)文【优品】 下载本文

积最大时,求椭圆C的方程.

解 (1)M(0,b),A(-a,0),B(a,0),k1=,k2=-,

bababbb22c3

k1k2=-·=-2=-,e==.

aaa3a3

(2)由(1)知e==2

2

2

2

ca3, 3

得a=3c,b=2c,

可设椭圆C的方程为2x+3y=6c, 设直线l的方程为x=my-3,

2

2

2

?2x+3y=6c,由?

?x=my-3,

2

2

222

2

2

得(2m+3)y-43my+6-6c=0,

因为直线l与椭圆C相交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点, 所以Δ=48m-4(2m+3)(6-6c)>0,

43m6-6c由根与系数的关系得,y1+y2=2,y1y2=2. 2m+32m+3→→

又DP=3QD,所以y1=-3y2, 36m代入上述两式得6-6c=-2,

2m+3

2

2

2

2

2

13?83m?

所以S△OPQ=|OD||y1-y2|=?2?

22?2m+3?=

12|m|12=≤6, 2

2|m|+33

2|m|+

|m|

3522

当且仅当m=时,等号成立,此时c=,

22代入Δ,此时Δ>0成立, 2xy所以椭圆C的方程为+=1.

155

2

2

x2y22

5.(2018·天津市部分区模拟)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为,椭圆的一个顶点

ab2

与两个焦点构成的三角形面积为2. (1)求椭圆C的方程;

(2)已知直线y=k(x-1)(k>0)与椭圆C交于A,B两点,且与x轴,y轴交于M,N两点. →→

(ⅰ)若MB=AN,求k的值;

5

(ⅱ)若点Q的坐标为??7?4,0???

,求证:→QA·→QB为定值.

x2y2(1)解 因为222

a2+b2=1(a>b>0)满足a=b+c,

又离心率为

2c2,所以a=22

, 即a2

=2c2

,代入a2

=b2

+c2

,得b2

=c2

.

又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2, 即12×b×2c=2,即bc=2,b2c2

=4, 以上各式联立解得a2

=4,b2

=2, 则椭圆C的方程为x2y2

4+2

=1.

(2)(ⅰ)解 直线y=k(x-1)与x轴交点为M(1,0),与y轴交点为N(0,-k),联立???y=k?x-1?,??

x2+2y2

=4

消去y得,

(1+2k2

)x2

-4k2

x+2k2-4=0,

Δ=16k4

-4(1+2k2

)(2k2

-4)=24k2

+16>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 2

则x+x4k12=1+2k2,

又→MB=(x,y→

2-12),AN=(-x1,-k-y1), 2

由→MB=→

AN,得x4k1+x2=1+2k2=1,

解得k=±

22,由k>0,得k=22

. (ⅱ)证明 由(ⅰ)知x4k2

2k2

-4

1+x2=1+2k2,x1x2=1+2k2,

所以→QA·→QB =???x71-??7?4,y1??·??x2-4,y2??

=???

x71-4?????7?x2-4???+y1y2

=???

x71-4??????x72-4??2

?+k(x1-1)(x2-1),

=(1+k2

)2k2-4?72

2?4k2

491+2k2+??-4-k??1+2k2+k+

16, 6

2k-4+2k-4k-7k-4k+k+2k49=+, 2

1+2k16-8k-4494915

=+=-4+=-,为定值, 2

1+2k161616→→

所以QA·QB为定值.

2

2422424

7