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2007年韶关市高三模拟测试数学试题(理科)答案及评分标准
一、选择题答案 AACCA ACD 二、填空题 9.
32am?k,an?k,al?k?，
x29?y23?1 (第一空2分，第二空3分)， 10. 4 ， 11. 8， 12.
(k?N)开放题，答案不唯一. 13.x?(??,?2]?[3,??)，14.
??2sin?, 15. 15
三、解答题
16.(本题满分12分) 解: (Ⅰ)由cosC?255, C是三角形内角，得sinC?1?cosC?255……………..2分
∴ sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC………………………………………..5分
2225225531010 ??5???…………………………………………………………6分
(Ⅱ) 在?ACD中,由正弦定理，
BCsinA?ACsinB ，BC?ACsinBsinA?2522?31010?6
…………………………………………………………………………………………………..9分
AC?25,CD?12BC?3, cosC?255,
由余弦定理得:AD?AC2?CD?2AC?CD?cosC
2552 =20?9?2?25?3??5…………………………………12分
17.(本题满分12分)
解: (Ⅰ)设事件A表示“甲选做14题”,事件B表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB?AB”,且事件A、B相互独立…………………………..2分
∴ P(AB?A)B?(P)A(P?)B(P)A (P)B ………………………………..4分
=
12?12?(1?12)?(1?12)?112………………………………6分
(Ⅱ)随机变量?的可能取值为0,1,2,3,4.且??B(4,).
2∴ P(??k)?C4()(1?2k1k12)4?k?C4(k12)4(k?0,1,2,3,4)………………….8分
高三数学(理)第9页共14页
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所以变量?的分布列为
0 1 2 3 4 11311 P 1648416
…………………………………………………………………………………………….10分
? E??0?116?1?14?2?38?3?14?4?116?2 或E??np?4?12?2…………..12分
18.(本题满分14分)
(Ⅰ)证明：连结AC，在?CPA中EF//PA ………………………………………………………………..2分
且PA?平面PAD，EF?平面PAD ?EF//平面PAD…………………………………………………………………………………………………….4分 (Ⅱ)证明：因为面PAD?面ABCD 平面PAD?面ABCD?AD CD?AD 所以，CD?平面PAD ?CD?PA………………………………………………………………………6分
22 又PA?PD?AD，所以?PAD是等腰直角三角形，且?PAD??2
即PA?PD…………………………………………………………………………………………………………………….8分 CD?P?D，且CD、PD?面ABCD
PA?面PDC
又PA?面PAD 面PAD?面PDC……………………………………………………………..10分
P(Ⅲ)解：设PD的中点为M,连结EM,MF,则EM?PD 由(Ⅱ)知EF?面PDC, EF?PD
MPD?面EFM PD?MF
D?EMF是二面角B?PD?C的平面角……………………………………….12分
Rt?FEM中，EF?12PA?24a EM?EC12CD?12a
AFB2tan?EMF?EFEM?41222a?a22 故所求二面角的正切值为
zP……………………………….14分
E另解：如图,取AD的中点O, 连结OP,OF. ∵PA?PD, ∴PO?AD.
∵侧面PAD?底面ABCD,平面PAD?平面ABCD?AD, AODCFBy∴?PO?平面ABCD,
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而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF//AB,又ABCD是正方形,故OF?AD.
22∵PA?PD?AD,∴PA?PD,OP?OA?a2.
以O为原点,直线OA,OF,OP为x,y,z轴建立空间直线坐标系,则有
A(a2,0,,F0()0,a2,0),D(?a2a4,0,0),P(0,0,,a2,a)a2),B(a2,a,0),C(?a2,a,0).
∵E为PC的中点, ∴E(?4????????aaa（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为OF?(0,,0)而EF?(,0,?),
244????????aaa且OF?EF?(0,,0)?(,0,?)?0, ∴EF //平面PAD.
244????????????aa????aa(Ⅱ)∵PA?(,0,?),CD?(0,a,0) ∴PA?CD?(,0,?)?(0,a,0)?0,
2222????????∴PA?CD,从而PA?CD,又PA?PD,PD?CD?D,
.
∴PA?平面PDC,而PA?平面PAD, ∴平面PDC?平面PAD (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面PDC的法向量为PA?(????a,0,?a).
22?????aa????设平面PBD的法向量为n?(x,y,z).∵DP?(,0,),BD?(?a,a,0),
22??????????n?DP?0,n?BD?0∴由
a?a?z?0??x?0?y?可得?2,令x?1,则y?1,z??1, 2??a?x?a?y?0?z?0??故n?(1,1,?1)
a22a?363??????????n?PA∴cos?n,PA????????nPA?,
即二面角B?PD?C的余弦值为19.(本题满分14分) 解（Ⅰ）解：设P(x,y) 则
63,二面角B?PD?C的正切值为22.
????????AP?(x?xA,y) PB?(?x,yB?y) ……………………………………………...2分 ????????由AP??PB 得 xA?2x，yB?2y ……………………………………………..4分
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????又MA?(xA京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com
????????????,2) AP?(x?xA,y) 即MA?(2x,2)，AP?(?x,y)……………6分
????????2由MA?AP?0 得 x?y(y?0)……………………………………………………..8分
（Ⅱ）设E(x1,y1)，F(x2,y2)
因为y'?x ，故两切线的斜率分别为x1、x2……………………………10分
?x?2y2由方程组? 得x?2kx?4k?0 x1?x2?2k x1?x2??4k………..12
?y?k(x?2)2当l1?l2时，，x1?x2??1，所以 k?18
所以，直线l的方程是 y?
20.(本题满分14分) (Ⅰ)证: ?f(x)?ax218(x?2) ……………………………….14分
?2bx?c ?f(1)?a?2b?c??0? 1(又a?b?c?4a?a?2b?c?4c…………………………2分
即4a?0?4c?a?0,c?0…………………………………4分
(Ⅱ) 证:由(1)得:c将c故
??4b?8ab?02??a?2b代入a?b?c结合a?0知:?13?ba?1…………(2)???6分
??a?2b代入at2?2bt?c??a得at2?2bt?2b?0,即方程ax2?2bx?2b?0有实根,
?(ba)?2(2ba)?0?ba??2或
ba?0…………………(3)?????7分
联立(2) (3)知0?ba?1………………………………………8分
?2bx?a?c?0(Ⅲ)解:由f(x)??a得:ax2?a?0?x?2?2
ba2x?2?ba?0…………………9分
即(2x令g(ba?2)?ba?x?0ba……………………………………………11分
2)?(2x?2)??x,据题意g(ba)?0对
ba?[0,1]恒成立
2??g(?1)?0?x?2x?2?0???x??故?2g(0)?0x?0???3?1或x?3?1…………13分
所以: 不等式: f(x)??a的解集为:?x|x21.(本题满分14分)
??1?3或x??1?3?………14分
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