几何证明专题
宝山区、嘉定区
23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图6，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足?MAN?90?，联结MN、AC，MN与边AD交于点E. （1）求证；AM?AN；
（2）如果?CAD?2?NAD，求证：AM2?AC?AE. C
23.证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB?AD，?BAD??B??ADC??BCD?90?……1分 ∴?MAB??MAD?90? ∵?MAN?90?
∴?NAD??MAD?90? ∴?MAB??NAD………1分 ∵?ADN??ADC?180? ∴?ADN?90?……1分 ∴?B??ADN……………………1分 ∴△ABM≌△ADN ………………………1分 ∴AM?AN ……………………………1分
（2）∵四边形ABCD是正方形 ∴AC平分?BCD和?BAD ∴?BCA?D E N
M B A 图6
11?BCD?45? ，?BAC??CAD??BAD?45?……1分 22∵?CAD?2?NAD ∴?NAD?22.5?
∵?MAB??NAD ∴?MAB?22.5?………1分 ∴?MAC?22.5? ∴?MAC??NAE?22.5? ∵AM?AN,?MAN?90? ∴?ANE?45?
∴?ACM??ANE…………………1分 ∴△ACM∽△ANE…………1分
C D E N
M B 图6
A 1
∴
AMAC……1分 ?AEAN∵AM?AN
∴AM?AC?AE…………1分
长宁区
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E在BC的延长线，联结AE分别交BD、CD于点
2G、F，且AD?GF．
BEAG（1）求证：AB//CD；
（2）若BC2?GD?BD，BG=GE，求证：四边形ABCD是菱形．
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
BAGFDCE第23题图
证明：（1）∵AD//BC ∴AD?DG （2分）
BEBG∵
ADGF ∴DG?GF （1分） ?BEAGBGAG∴ AB//CD （2分） （2）∵AD//BC，AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形 ∴BC=AD （1分）
∵ BC2?GD?BD∴ AD2?GD?BD即
ADGD ?BDAD 又 ∵?ADG??BDA ∴?ADG∽?BDA （1分） ∴?DAG??ABD
∵AB//CD ∴?ABD??BDC ∵AD//BC ∴?DAG??E
∵BG=GE ∴?DBC??E ∴?BDC??DBC （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴平行四边形ABCD是菱形. （1分）
2
崇明区
23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）
如图，AM是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交
E BC于点K，CE∥AM，联结AE．
A （1）求证：
ABCM； ?EKCK（2）求证：BD?AE．
23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE∥AB
∴ ∠ABC?∠EKC ……………………………………………………1分
∵CE∥AM
∴ ∠AMB?∠ECK ……………………………………………………1分
∴△ABM∽△EKC ……………………………………………………1分 ∴
B
K M
（第23题图）
D
C
ABBM ………………………………………………………1分 ?EKCK ∵ AM是△ABC的中线
∴BM?CM ………………………………………………………1分
∴
ABCM ………………………………………………………1分 ?EKCK（2）证明：∵CE∥AM
DECM ………………………………………………………2分 ?EKCKABCM 又∵ ?EKCK ∴
∴DE?AB ………………………………………………………2分 又∵DE∥AB
3
∴四边形ABDE是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD?AE ………………………………………………………1分
奉贤区
23．（本题满分12分，每小题满分各6分）
已知：如图7，梯形ABCD，DC∥AB，对角线AC平分∠BCD， 点E在边CB的延长线上，EA⊥AC，垂足为点A． （1）求证：B是EC的中点；
（2）分别延长CD、EA相交于点F，若AC2?DC?EC，
图7
D C A B
求证：AD:AF?AC:FC．
E
黄浦区
23．（本题满分12分）
如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点. （1）求证：BE=BF；
（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.
23. 证：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2分）
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