15、解：（1）由题意可设抛物线的解析式为．

抛物线过原点，

．

．

抛物线的解析式为，

即．

（2）如图1，当四边形是平行四边形时，

．

由，

得，，

，．

点的横坐标为．

将代入，

得，

；

根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为

，

当四边形

?

（3）如图2，由抛物线的对称性可知：

是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为．????

，．

若与相似，

必须有．

设交抛物线的对称轴于点，

显然，

直线的解析式为．

由，得，．

．

过作轴，

在中，，，

．

．．

与不相似，

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．

所以在该抛物线上不存在点，使得与相似．

16、解：（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，

∴ m=-2×(-2)-1=3. ∴ B(-2,3)

∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，

∴ 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).

将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .

∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即.

（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).

过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G， 则BG⊥直线x=2，BG=4.

在Rt△BGC中，BC=.

∵ CE=5， ∴ CB=CE=5.

②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).

又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)， ∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°. ∴ △DFB≌△DHE （SAS）， ∴ BD=DE.

即D是BE的中点. （3）存在. 由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，

∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 .

∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.