习题精解解题方法与例题分析
一、已知运动方程（位置矢量），计算位移、速度和加速度。
计算（瞬时）速度和加速度一般用求导的方法：位置矢量（运动方程）对时间求导即为速度，速度对时间求导就是加速度。计算位移、平均速度、平均加速度可先由始末时刻确定始末位置，再由定义计算。
例1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为
22， r?ati?btj （其中a、b为常量）
则该质点作何种形式的运动？
解 由质点的位置矢量 r?at2i?bt2j
??x?at???y?bt22得运动方程
ba轨道方程
xy?ab， y?x
质点的速度 v?drdt?2ati?2btj ?2ai?2bj
bax质点的加速度 a?dvdt质点的加速度为非零恒量，故该质点在xy平面内作匀变速直线运动，其轨道方程为y?。
例2 某质点的运动方程为 x =2t–7t3+3（SI），则该质点作何种形式的运动？并确定加速度的方向。 解 由质点的运动方程 x =2t–7t3+3 得质点的速度 v?质点的加速度 a?dxdtdvdt?2?21t??42t2
质点的加速度为时间的函数，故该质点作变加速直线运动；加速度为负，说明加速度方向沿x轴负方向。
例3 一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x =5t2– 3t3 (SI)。试求： （1）在第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒末的加速度。 解 （1）由平均速度的定义：
v??x/?t2
323?(5?2?3?2)?(5?1?3?1)2?1??6m/s
（2）由定义 v?dx/dt?10t?9t2
t?2s时，有 v2??16m/s
（3）由定义 a?dv/dt?10?18t
t?2s时，有 a2??26m/s2
例4 在离船高度为h的岸边，绞车以恒定的速率v0收绳（绳原长l0），使船靠岸，如图1—1所示，试描述船的运动。
1
解 建立如图坐标系，显然船
l?l0?v0tv0h在x轴上作直线运动。t时刻绳长为
l
船的运动方程为
x?(l0?v0t)?h
22oxx图1—1
v?dxdt??(l0?v0t)v0(l0?v0t)?h22速度为
方向沿x轴负向。 加速度为 a?dvdt??v0h22
?(l0?v0t)?h22?3?2?v0hx322
方向沿x轴负向。
可见，船作加速直线运动，离岸越近，x越小，a越大。 例5 已知质点的运动方程x=2t，y=4–t2（SI）。试求任一时刻质点的速度、切向加速度、法向加速度、总加速度的大小。
解 由运动方程可求得质点速度的x、y分量
vx?dxdt?2, vy?dydt??2t
速度大小为 v?vx?vy?21?t2
同理：ax?dvxdt?022， ay?dvydt??2 m/s
2
所以加速度大小为 a?ay??2 m/s2 切向加速度：at?法向加速度：an?dvdt?22t1?t2
21?t2a?at2?
二、已知加速度及初始条件，计算速度和运动方程。
此类问题是前一类问题的逆过程，加速度对时间的积分即为速度，速度对时间的积分就是运动方程。解决此类问题时应注意由初始条件确定积分上下限。
例6 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为 a=3+6x2（SI）。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。
解 设质点在任意位置x处的速度为v，则 a?dvdt?dvdx?dxdt?vdvdx?3?6x
2分离变量，两边积分：
?v0vdv??x0(3?6x)dx2
得 v?6x?4x3
例7 一艘正在行驶的汽船，当关闭发动机后，沿一直线运动，加速度与船速的平方成正比且反向，即
2
2a??kv，其中常量k>0。若关闭发动机时汽船的速度为v0，求：
（1）关闭发动机后t时刻的汽船速度；
（2）关闭发动机后的t时间内，汽船行驶的距离。
解 以汽船为研究对象，由于它做减速直线运动，所以取汽船运动方向为坐标轴x的正方向，坐标原点选择在刚关闭发动机的位置处。
（1）按直线运动的加速度公式有 a?dvdt
由题意a??kv2，代入上式，有 ?kv2?dv
dt分离变量 kdt??dvv2
已知t=0时，v?v0，并设t时刻的速度为v，对上式取定积分
k?t0dt??vv?dv0v2
∴ v?v0kv0t?1 （2）由 v?dxdt 有
dxdt?v0kv?1
0t分离变量，两边取定积分，有
?xdx?dt
0?tv00kv0t?1由此得汽船的运动方程为 x?1kln(kv0t?1)
汽船在t时间内行驶的距离
?s?|x?x10|?kln(kv0t?1)?0?1kln(kv0t?1)
例8 一质点从静止出发沿半径为R=3m的圆周运动，切向加速度为a2t?3m?s?。求： （1）经过多少时间它的总加速度a恰好与半径成45o角？ （2）在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？ 解 已知advt?3dtdt?3，即 dv?
由初始条件: t =0时，v0?0，得质点的瞬时速率
v??v0dv??t03dt?3t
av2质点的法向加速度的大小为 (3t)22n?R?3?3t
这样总加速度为：a?at?an?3t?3t2n
其中n为沿半径指向圆心的单位矢量，t为切向单位矢量。
（1）设总加速度与半径夹角为?， 则有： acos??an， asin??at
3
当?=45o时，有at?an，即要求
3t =3，t =1s（另一负根舍去） 所以t =1s时，总加速度a与半径成45o角。 （2）由
s?dsdt?v2
和初始条件：t =0时，s0=0 ，得：
?32vdt??t03tdt?32t2
将t =1s 代入，求出这段时间内的路程：
s1?t2t?1?32?1?1.5m2
sR由角位移与路程的关系 ??当t =1s时, ?1?s1R?1.53?0.5rad
三、利用角量与线量的关系解题。
例9 质点P在水平面内沿一半径为R =1m的圆轨道转动，转动的角速度?与时间t的函数关系为? =kt2
（k为常量）。已知t =2s时质点P的速率为16m/s，试求t =1s 时，质点P的速度与加速度的大小。
解 首先确定k值：k??/t2?v/Rt2?所以有 ??4t2， v?R??4Rt2
2t?1s时，v?4Rt?4m/s
2at?dv/dt?8Rt?8m/s
161?22?4rad/s2
an?v/R?16m/s
22a?22an?at?85m/s
21-1
?某质点的速度为v?2i?8tj，已知t=0时它经过点（3，7），则该质点的运动方程为（ ）
2A.2ti?4tj B.?2t?3?i??4t?7?j C.?8j D.不能确定
2????解：本题答案为B.
??dr因为 v?
dt???所以 dr?2i?8tjdt
??于是有 ?rr0?dr??t0???2i?8tj?dt
????2即 r?r0?2ti?4tj
?????2亦即 r??3i?7j??2ti?4tj
故 r??2t?3?i??4t?7?j
2??? 4