2019年
第1讲 概 率
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．
热点一 古典概型 古典概型的概率
mA中所含的基本事件数P(A)＝＝. n基本事件总数
例1 (2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，
B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个， 31
则所求事件的概率为P＝＝. 155
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，
B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有 {A1，B2}，{A1，B3}，共2个， 2
则所求事件的概率为P＝. 9思维升华 求古典概型概率的步骤
(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意． (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件．
(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m. (4)计算事件A的概率P(A)＝.
跟踪演练1 (2018·北京朝阳区模拟)今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有n套房源，则设置n个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．
mn 2019年
(1)求每个家庭中签的概率；
(2)已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号．目前该小区剩余房源有某单元27,28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，房间号分别记为2702,2703；第28层4套房，房间号分别记为2803,2804,2806,2808.
①求该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数； ②求甲、乙两个家庭能住在同一层楼的概率．
解 (1)因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的， 63
所以每个家庭中签的概率P＝＝. 2010
(2)①该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数
x＝
2702＋2703＋2803＋2804＋2806＋2808
＝2771.
6
②将这6套房编号，记第27层2套房分别为X，Y，第28层4套房分别为a，b，c，d， 则甲、乙两个家庭选房可能的结果有
(X，Y)，(X，a)，(X，b)，(X，c)，(X，d)，(Y，a)，(Y，b)，(Y，c)，(Y，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，
c)，(b，d)，(c，d)，共15种．
其中甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有(X，Y)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共7种，
7
所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为P＝. 15热点二 几何概型 1．几何概型的概率公式：
P(A)＝
构成事件A的区域长度?面积或体积?
.
试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?
2．几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．
例2 (1)(2018·北京朝阳区模拟)若在集合{x|－2 4119A. B. C. D. 510510答案 C 解析 若log2m>1，可以求得m>2， 在集合{x|－2 满足条件的取值所对应的几何度量就是区间[2，3]的长度，为3－2＝1， 而在集合{x|－2 5 2019年 (2)(2018·衡水调研)甲、乙两人各自在400 m长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m的概率是( ) 111151A. B. C. D. 836644答案 C ??0≤x≤400，解析 设甲、乙两人跑的路程分别为x m，y m，则有? ?0≤y≤400，? 2 表示的区域为如图所示的正方形OABC，面 1 2 积为160 000 m，相距不超过50 m，满足|x－y|≤50，表示的区域如图阴影部分所示，面积为160 000－ 37 5002 ×(400－50)×(400－50)×2＝37 500(m)，所以在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m的概率为P＝ 160 00015＝. 64 思维升华 当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 跟踪演练2 (1)(2018·安徽省“皖南八校”联考)2018年平昌冬季奥运会于2月9日～2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟在长为8、宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n个，圆环半径为1，则比值P的近似值为( ) 32n32n8n5πnA. B. C. D. 5πNπNπN32N答案 C 解析 设奥运五环所占的面积为S1，矩形的面积为S＝8×5＝40. 由在长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n个， 根据面积比的几何概型概率公式得＝， S1nSNn40n则S1＝S＝， NN单独五个环的面积为S3＝5π×1＝5π， 2 2019年 40nN8n所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值为P＝＝. 5ππN(2)(2018·延安模拟)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是________． 1答案 6 解析 由题意知这是一个几何概型， ∵电台在每小时的整点和半点开始播送新闻， ∴事件总数包含的时间长度是30， 又新闻时长均为5分钟， 1 ∴一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是P＝. 6 热点三 互斥事件与对立事件 1．事件A，B互斥，那么事件A∪B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．在一次试验中，对立事件A和B不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P(B)＝1－P(A)． 例3 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示： 命中环数 概率 求该射击队员在一次射击中： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 解 记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak之间彼此互斥． (1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6. (2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. (3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22. 思维升华 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事 10 0.32 9 0.28 8 0.18 7 0.12