∴ ?－8k2－－2k2?2＋?6k2?2＝?－2k2?， ?3＋4k3＋4k??3＋4k??3＋4k???????

2

2

222

整理得8k＋9＝0，∵方程8k＋9＝0无解， ∴不存在直线AB，使得S1＝S2.

21．(本小题满分12分)(2020·新乡模拟)已知函数f(x)＝x－2x＋2aln x，若函数f(x)在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1

(1)求实数a的取值范围；

3

(2)证明：f(x1)＋f(x2)＋ln 2＋>0.

2

解 (1)因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2，且x1

2

x即x－x＋a＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的根x1，x2，

??Δ＝1－4a>0，所以?

?a>0，?

2

1

解得0

4

2

(2)证明：由题意可知x1，x2(0

??x1＋x2＝1，所以?

??x1x2＝a，

2

1

其中0

4

2

故f(x1)＋f(x2)＝x1－2x1＋2aln x1＋x2－2x2＋2aln x2 ＝(x1＋x2)－2x1x2－2(x1＋x2)＋2aln (x1x2) ＝2aln a－2a－1，

1

令g(a)＝2aln a－2a－1，其中0

4故g′(a)＝2ln a<0，

2

?1?所以g(a)在?0，?上单调递减， ?4?

3?1?则g(a)>g??＝－ln 2－， 2?4?3

即f(x1)＋f(x2)＋ln 2＋>0.

2

(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

(2020·辽宁抚顺一模)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l的参数方程为

1x＝t，??2?3??y＝2t＋2

2

(t为参数)．

(1)求曲线C1的参数方程和直线l的直角坐标方程；

(2)设D为曲线C1上在第二象限内的点，且在点D处的切线与直线l平行，求点D的直角坐标．

解 (1)由已知，得ρ＝2ρsinθ，得x＋y＝2y， 即x＋(y－1)＝1，

??x＝cosα，

所以C1的参数方程为?

?y＝1＋sinα?

2

2

2

2

(α为参数)．

直线l的直角坐标方程为3x－y＋2＝0.

(2)由(1)知曲线C1是以C(0,1)为圆心、半径为1的圆， 设点D(cosα，1＋sinα)，因为点D在第二象限， 所以直线CD的斜率kCD＝tanα＝－

3

，得 3

α＝

5π33??

，得点D的直角坐标为?－，?. 6?22?

23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]

?1?(2020·辽宁抚顺一模)已知函数f(x)＝|x＋a|＋?x－?.

?

a?

(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥5；

(2)若?x∈R，f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的取值范围． 解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－1|， 当x≤－1时，f(x)＝－x－1－x＋1＝－2x≥5， 5解得x≤－；

2

当－1

5

当x≥1时，f(x)＝x＋1＋x－1＝2x≥5，解得x≥；

2

5??5??综上，当a＝1时，不等式f(x)≥5的解集为?－∞，－?∪?，＋∞?. 2??2??(2)显然有a≠0，由绝对值的三角不等式，得

f(x)＝|x＋a|＋?x－?≥?x＋a－x＋?＝?a＋?＝|a|＋??≥2，

a??a??a???a?

?

1??1??

1??1?所以|m－1|≤2，解得－1≤m≤3， 即m∈[－1,3]．