∴大正方形的边长为5a，
a21
则小正方形与大正方形的面积比为2＝.故选B.
5a5
10．(2020·广州二模)若曲线y＝x－2x＋2在点A处的切线方程为y＝4x－6，且点A12
在直线mx＋ny－1＝0(其中m＞0，n＞0)上，则＋的最小值为( )
3
2
mnA．42 B．3＋22 C．6＋42 D．82 答案 C
解析 设A(s，t)，y＝x－2x＋2的导数为y′＝3x－4x，可得切线的斜率为3s－4s， 由切线方程为y＝4x－6，可得3s－4s＝4，t＝4s－6， 226解得s＝2，t＝2或s＝－，t＝－，
33
由点A在直线mx＋ny－1＝0(其中m＞0，n＞0)上， 226??可得2m＋2n＝1成立?s＝－，t＝－，舍去?， 33??12?12??n2m?则＋＝(2m＋2n)?＋?＝2?3＋＋?≥
2
3
2
2
2
mn?mn??
mn?
2?3＋2
?
?n2m?
·?＝6＋42， mn?
当且仅当n＝2m时，取得最小值6＋42，故选C.
x2y2
11．(2020·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，
ab以OF为直径的圆与圆x＋y＝a交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.2 B.3 C．2 D.5 答案 A
2
2
2
x2y2
解析 设双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及
ab条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|＋|MP|＝|OP|得??＋??＝a，
2?2??2?
c222
?c?2?c?2
2
故＝2，即e＝2.故选A.
ca12．(2020·深圳二模)如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD＝3，AD＝BC＝5，
E，F分别是AD，BC的中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平
面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为( )
A.6 B.答案 B
解析 将四面体ABCD补成长、宽、高分别为3，2，1的长方体(如图)． 由于EF⊥α，故截面为平行四边形MNKL，
655
C. D. 224
可得KL＋KN＝5，
设异面直线BC与AD所成的角为θ，则sinθ＝sin∠HFB＝sin∠LKN， 2626?NK＋KL?26
解得sinθ＝，∴S四边形MNKL＝NK·KL·sin∠NKL≤＝， ??55?2?2当且仅当NK＝KL时取等号．故选B.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
x>0，
??y>0，
13．(2020·合肥一模)设x，y满足约束条件?x－y＋1>0，
??x＋y－3<0，
则z＝2x－y的取值范围为________． 答案 (－1,6) 解析 由约束条件
??y>0，
?x－y＋1>0，??x＋y－3<0，
x>0，
作出可行域如图，
化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，
由图可知，当直线y＝2x－z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为－1； 当直线y＝2x－z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6. 所以z＝2x－y的取值范围为(－1,6)．
14．(2020·肇庆二模)已知数列{an}为等比数列，a1＝2，a3＝4，则a1＋a2＋a3＋…＋a8
＝________.
答案 1020
解析 ∵数列{an}为等比数列，a1＝2，a3＝4， ∴q＝＝2， ∴an＝(a1q2
1
22
22
2
2
2
2
a3a1
n－12
)＝4×(q)
28
2n－1
＝4×2
8
n－1
＝2
n＋1
，
∴a＋a＋a＋…＋a＝23
4
1－21－2
＝1020.
2
2
15．(2020·长春质检)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b＋c－bc，bc＝4，则△ABC的面积为________．
答案
3
2
2
2
2
b2＋c2－a21
解析 因为在△ABC中，a＝b＋c－bc，根据余弦定理，可知cosA＝＝，
2bc2
π3
所以A＝，sinA＝.又bc＝4，
32113所以S△ABC＝bcsinA＝×4×＝3.
222
ln x?1?16．(2020·宣城二模)关于x的方程kx－＝2在区间?，e?上有两个实根，则实数
x?e?
k的最小值是________．
答案
2e＋1
2
e
ln xln x解析 由kx－＝2得kx－2＝，
xxln x设g(x)＝，
x
1
·x－ln xx1－ln x则g′(x)＝＝， 22
xxln e1?1??1?则当x∈?，e?时，g′(x)≥0，即函数g(x)在?，e?上为增函数，且g(e)＝＝，
ee?e??e?直线y＝kx－2过定点(0，－2)， 设过点(0，－2)与g(x)相切的切线为l， ln x?1?若方程kx－＝2在区间?，e?上有两个实根，
x?e?
?1?则直线y＝kx－2在切线l与过点A?e，?的直线之间，
?e?
由图象知当直线过点A时直线的斜率最小， 11－－2＋2ee2e＋1
此时k的最小值为k＝＝＝2. e－0ee
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2020·郑州第二次质量预测)已知数列{an}中，a1＝1，an>0，前n项和为Sn，若an＝Sn＋Sn－1(n∈N，且n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
*
a(2)记cn＝an·2n ，求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)在数列{an}中，an＝Sn－Sn－1(n≥2)， ① ∵an＝Sn＋Sn－1， ②