?0??02.(中科院2005).(1)求矩阵A??0??0?100011001??1?Ae的Jordan标准形,并计算 (注：按通常定义?1?0??4.5?1??4??1213A2005B??3?3.51e?I?A?A?A??);(2)设??， 求B (精确到小数点后4位).
2!3!??2?31.5???3.(中科院2011).设A是n阶实方阵,其特征多项式有如下分解：p(?)?det(?E?A)??(???k?1sk)rk,
其中E为n阶单位方阵,诸?k两两不相等.试证明A的Jordan标准形中以?k为特征值的Jordan块的个数等于特征子空间V?k的维数.
4.(中科大1999).设Fn[x]是数域F上次数?n的全体多项式构成的线性空间. Fn[x]上线性变换
D将每个多项式f(x)映到其导函数f'(x).(1)求D的特征多项式和最小多项式.(2)找出Fn[x]的
一组基,使D在这组基下的矩阵是Jordan标准形.(3)设I是Fn[x]上的单位变换,
DkA?I??.求证A是Fn[x]上的可逆变换,并求出A的逆.
k?1k!n?15.(中科大2008).填空：(1)已知四阶?方阵A(?)的秩为4,初等因子组为
?,?2,?3,(??1)2,(??1)3,??1,
则A(?)的不变因子是 ,行列式因子是 .
?00?2??????0?,求它的Smith标准形 . (2) A(?)??0??2??0?0???1??0(3) A??0??0?0?0100??1010?0101?的Jordan标准形是 . ?0010?0001?? 43
???1??2?1???226.(中科大2010).填空: ??矩阵?3??1??2?3??1?的Smith标准形是 .
???1?22???1???2?11????17.(中科大2010).设A??22?1?,求方阵P,使得PAP为A的Jordan标准形.
?12?1????01030???28.(2010省区赛).设B??002010?.证明X?B无解,这里X为三阶未知复方阵.
?000???
6.3 最小多项式
?110???1.(北大1999).设实数域上的矩阵A为：A???101?. (1)求A的特征多项式fA(?);(2)
??300???fA(?)是否为实数域上的不可约多项式;(3)求A的最小多项式,要求写出理由;(4)实数域上的矩阵
A是否可对角化,要求写出理由.
2.(北大2006).(1)设A是实数域R上的n阶对称矩阵,它的特征多项式f(?)的所有不同复根为实数: ?1,?2,?,?n. 把A的最小多项式m(?)分解成上不可约多项式的乘积,说明理由;(2) 设A是实数域R上的n阶对称矩阵,令A(?)?A?,???R. 根据第(1)问中m(?)的因式分解,把分解
nRn成线性变换A的不变子空间的直和, 说明理由.
3.(中科大1998).证明:复方阵A的最小多项式与特征多项式相等的充要条件是:A的特征子空间
都是一维的.
七、多项式环
7.1 一元多项式的整除理论
1.(北大2000).设f(x)和p(x)都是首项系数为的整系数多项式,且p(x)在有理数域Q上不可约.如果p(x)与f(x)有公共复根?,证明(1)在Q[x]中,p(x)整除f(x);(2)存在首项系数为1的整系数多项式g(x),使得f(x)?p(x)g(x). 2.(北大2002).对于任意非负整数n,令fn(x)?xn?2?(x?1)2n?1, 证明: x2?x?1,fn(x)?1.
?? 44
3.(中科院2007).设多项式f(x),g(x),h(x)只有非零常数公因子,证明:存在多项式
u(x),v(x),w(x),使得u(x)f(x)?v(x)g(x)?w(x)h(x)?1.
4.(中科院2007).设m,n,p都是非负整数,证明：x2?x?1|x3m?x3n?1?x3p?2.
5.(中科院2005).试求7次多项式f(x),使f(x)?1能被(x?1)4整除,而f(x)?1能被(x?1)4整除.
7.2 根与可约性
1.(北大1997).设f(x)是有理数域Q上的一个m次多项式(m?0),n是大于m的正整数,证明
n2不是f(x)的实根.
2.(北大2000).设f(x)和p(x)都是首项系数为的整系数多项式,且p(x)在有理数域Q上不可约.如果p(x)与f(x)有公共复根?,证明(1)在Q[x]中,p(x)整除f(x);(2)存在首项系数为1的整系数多项式g(x),使得f(x)?p(x)g(x)..
3.(北大2008).f(x)为一整系数多项式,n不能整除f(0),f(1),?,f(n?1),证明f(x)无整数根.
4.(北大2010).整系数多项式f(x)??ak?0nkxk(n?2010),若存在素数p满足:
i) an不被p整除, ⅱ) p|ak,k?0,1,2,?,2008; ⅲ) p2|a0.
证明f(x)必有次数不低于2009的不可约整系数因式.
npk5.(中科院2011).设是既约分数, f(x)??akx是整系数多项式,而且
qk?0?p?(1) p|a0,f??q???0.证明：
??而q|an;(2)对任意整数m,有(p?mq)|f(m).
7.3 实系数多项式实根的分布 7.4 多元多项式
八、解析几何
8.1 向量与坐标
1.(北大2001). 在空间直角坐标系中,点A,B,C的坐标依次为：(?2,1,4),(?2,?3,?4),(?1,3,3) (1)求四
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面体OABC的体积;(2)求三角形ABC的面积.
2.(北大2006).证明四面体的每个顶点到对面重心的连线都相交于一点,而且该点分线段比为3:1.
x2y2z2???1被点(2,?1,1)平分的弦. 3.(北大2007).求椭球面
251694.(中科大1998,2008). 求以A(1,2,2),B(2,4,1),C(1,?3,5),D(4,?2,3)为顶点的四面体的体积. 5.(中科大1999).设平面?:Ax?By?Cz?D?0与连接两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的线段相交于点M,且M1M?kMM2.证明 k?Ax1?By1?Cz1?D.
Ax2?By2?Cz2?D?????????????6.(2009决赛).填空: 设?a?b??c?6,则?a?b??(b?c)?(a?c)? .
????
8.2 轨迹与方程
1.(北大1997).过x轴和y轴分别做动平面,交角?是常数,求交线轨迹的方程,并且证明它是一个锥面.
2.(北大1998). 在直角坐标系中,球面的方程为：(x?1)2?y2?(z?1)2?4.求所有与向量
u(1,1,1)平行的球面的切线所构成的曲面的方程.
3.(北大2001). 在空间直角坐标系中, l1:x?ayzxy?1z??与l2:??,是一对相交直1?2321?2线(1)求a;(2)求l2绕l1旋转出的曲面的方程.
?z?3x?2,4.(北大2002). 在空间直角坐标系中,求直线? 绕z轴旋转所得旋转曲面的方程.
z?2y?1?5.(北大2010). 求直线??x?y?z?1, 绕z轴旋转所得旋转曲面的方程,并指出这是什么曲面.
?x?y?z?1?2x?y?z?06. (北大2005).在直角坐标系中，求直线l:?到平面?:3x?By?z?0的正交投
x?y?2z?1?影轨迹的方程。其中B是常数.
7.(北大2006).一条直线与坐标平面yOz面、zOx面、xOy面的交点分别是A,B,C.当直线变动时,直线上的三个定点A,B,C也分别在坐标平面上变动.此外,直线上有第四点P,点P到三点的距离分别是a,b,c.求该直线按照保持点A,B,C分别在坐标平面上的规则移动时,点P的轨迹.
?8.(北大2006). P是球内一定点, A,B,C是球面上三动点, ?APB??BPC??CPA?2,以
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