的正交补.
7.(中科大1999).设V?Rm?n是实数域上全体m?n实矩阵组成的向量空间, S是正定的n阶实
对称方阵.对任意X,Y?V,定义(X,Y)?Tr(XSY').证明(X,Y)是V上的Euclid内积. 8.(中科大2010).填空:用Gram-Schmidt正交化方法将(标准内积)的基
?(1,1,1)T,(?1,0,?1)T,(?1,2,3)T
?化成的标准正交基是 .
9.(中科大2010).设V是n维欧氏空间, (?,?)为其内积, V*为其对偶空间.证明：(1)对于每个给定的??V,映射f?:V?R,??(?,?)是V*中的一个元素.(2)映射f:V?V*,??f?是
n维线性空间V到V*的同构映射.
5.2 欧氏空间中的特殊线性变换
1.(北大1997).设A是维欧氏空间V内的一个线性变换,满足：
(A?,?)??(?,A?) (??,??V).
(1)若?是A的一个特征值,证明 ??0;(2)证明V内存在一组标准正交基,使A在此组基下的矩阵为对角矩阵;(3)设A在V的某组标准正交基下的矩阵为A,证明：把A看作复数域C上的n阶方阵,其特征值必为0或纯虚数.
2.(北大1998).用M2(C)表示复数域C上所有2级矩阵组成的集合.令
2V??A?M2(C):Tr(A)?0,A*?A?,
其中Tr(A)表示A的迹, A*表示A的转置共轭矩阵.
(1)证明V对于矩阵的加法,以及实数与矩阵的数量乘法成为实数域上的线性空间,并且说明V中元素形如
?a1??a?ia3?2(2)设A???a2?ia3??, 其中a1,a2,a3都是实数, i??1 ; ??a1?b2?ib3??,考虑上的一个二元函数： ?b1??a1?a2?ia3?a2?ia3??b1??,B? ?b?ib?a1?3??2(A,B)?a1b1?a2b2?a3b3.
证明这个二元函数是V上的一个内积,从而V成为Euclid空间,并且求出V的一个标准正交基,要
求写出理由;
(3)设T是一个酉矩阵(即, T满足T*T?I,其中I是单位矩阵),对任意A?V,规定
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?T(A)?TAT?1, 证明?T是V上的正交变换;
(4) ?T的意义同第(3)小题,求下述集合S?{T:det(T)?1,?T?1V},其中det(T)表示T的行列式, 1V表示V上的恒等变换.
3.(北大2007). V是Euclid空间, U是V的子空间, ??V.试证明?是?在U上的正交投影的充分必要条件是：对任意??U,都有|???|?|???|.
4.(北大2008). A是维欧氏空间V上的正交变换,证明A是第一类的当且仅当存在V上的正交变换B,使得A?B.
5.(北大2010).线性变换A是对称变换,且A是正交变换.证明A是某个对合(即满足A?E,E是单位变换).
6.(北大2010).V是内积空间,?,?是中两个长度相等的向量,证明必存在某个正交变换,将?变到?. 7.(中科院2003).设A是欧氏空间R的一个变换.试证:如果A保持内积不变,即对于R中任意两个向量?,?都有(A?,A?)?(?,?), 那么,它一定是线性的,而且是正交的.
8.(中科大1997).设A是n维欧氏空间V的线性变换,称A是对称的,如果对任意
nn2?,??V,(A?,?)?(?,A?).称对称线性变换A是非负的,如果对任意??V,(?,Aa)?0.证明:
对称线性变换A非负的充要条件是, A的特征值全是非负实数.
5.3 酉空间(酉矩阵与酉变换)
1.(北大2006).设X?{1,2,?,n},用C表示定义域为X的所有复值函数组成的集合,它对于函数
X的加法和数量乘法成为复数域C上的一个线性空间.对于f(x),g(x)?C,规定
nX?f(x),g(x)???f(j)g(j).这个二元函数是复线性空间CX上的一个内积,从而CX成为一个
j?1X酉空间.设p1(x),p2(x),?,pn(x)?C,且对任意j?X,满足
pk(j)?X1n?,其中??ekj2?in.
X(1)求复线性空间C的维数.(2)证明p1(x),p2(x),?,pn(x)是酉空间C上的一个标准正交基.(3)
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对任意f(x)?C,令??f(x)??f(x),?f(x)?C,其中f(x)在x?k处的函数值f(k)是f(x)在
XX???标准正交基p1(x),p2(x),?,pn(x)下的坐标的第k个分量.证明?是酉空间C上的一个线性变换,并且求出?在标准正交基p1(x),p2(x),?,pn(x)下的矩阵.(4)证明第(3)题中的?是酉空间C上的一个酉变换.
2.(中科大2008,2010).证明: 酉矩阵的特征值的模长是1.
XX
六、矩阵与线性变换的标准形
6.1 矩阵的化简(对角化)与分解
1.(北大1996). n级矩阵A称为周期矩阵,如果存在正整数m使A?I,其中I是单位矩阵,证明:复数域上的周期矩阵一定可以对角化.
3.(北大1998).用J表示元素全为1的n级矩阵,n?2.设f(x)?a?bx是有理数域上的一元多项式,令A?f(J).(1)求J的全部特征值和全部特征向量;(2)求A的所有特征子空间;(3)A是否可以对角化？如果可对角化,求出有理数域上的一个可逆矩阵P使得PAP为对角矩阵,并且写出这个对角阵.
3.(北大2000).设V是数域K上的n维线性空间, A是V上的线性变换,且满足A?7A??6I,其中I表示V上的恒等变换.判断A是否可对角化,写出理由.
3?1m?010???4.(北大2001).(1)设A??001?.(a)若把A看成是有理数域上的矩阵,判断A是否可对角
??23?1???化,写出理由. (b)若把A看成是复数域上的矩阵,判断A是否可对角化,写出理由.
(2)设A是有理数域上的n级对称矩阵,并且在有理数域上合同于单位矩阵I.用?表示元素全为1的列向量, b是有理数.证明：在有理数域上 ??0?Ab???I????相似. 与2?1????b?'b??0b?b?'A??5.(北大2006). (1)设A是数域K上的n阶矩阵,证明：如果矩阵A的各阶顺序主子式都不为0,那么可以唯一地分解成A?BC,其中B是主对角元都为1的下三角矩阵, C是上三角阵.(2) 设A是数域K上的n阶可逆矩阵,试问：A是否可以分解成A?BC,其中B是主对角元都为1的下三角矩阵, C是上三角阵?说明理由.
6.(北大2008). 设A是数域K上的n阶矩阵, A的特征多项式的复根都属于K,证明A相似于上三角矩阵.
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?100???nn?2?A2?I,并计算A100,其中7.(中科院2007).已知A??101?,试证明对n?3,有A?A?010???I表示单位矩阵.
8.(中科院2005).证明：(1)任何n阶实对称方阵A必合同于对角阵D?diag{?1,?,?n},即存在n阶非奇异实方阵C使得CAC?D,这里?i??1或0或1;(2)任何n阶实反对称非奇异方阵B必为偶数阶(即n?2k),且合同于块对角阵F?diag{J1,?,Jm},即存在n阶非奇异实方阵E使得
T?0?1?ETBE?F,这里Jk???10??;(3)对迹(对角元之和)为0的n阶实方阵G,必存在实正交阵H,
??使得HGH的主对角元全为零.(注：这里X表示X的转置).
7.(中科院2003).设A是2003阶实方阵,且A?0,这里r是自然数.问A的秩rank(A)最大是多少？
8.(中科大1998).设A,B是n阶复方阵,且AB?BA.证明:(1)A,B有公共的特征向量;(2)如果
rTTA,B都相似于对角阵,则存在同一个可逆复方阵T,使T?1AT与T?1BT同时为对角阵.
8.(中科大2008).证明: n阶实方阵A正交相似于一个准上三角阵
?B1???B??0?0????0其中Bj为二阶实方阵,?k为实数.
?**?*?????0???Bs?0???0?2s?1?0*????*?, *?????n?9.(中科大2008).设实方阵A,B相似且相合,问A,B是否正交相似,试证之.
10.(2010决赛).设A?Mn(C),定义线性变换?A:Mn(C)?Mn(C),?A(X)?AX?XA.证明:当A可对角化时, ?A也可对角化,这里Mn(C)是复数域C上n阶方阵组成的线性空间.
6.2 Jordan标准形及其应用
1.(中科院2006). A?R2006?2006是给定的幂零阵(即：存在正整数p,使得A?0而App?1?0),试
分析线性方程Ax?0(x?R2006)非零独立解个数的最大值与最小值.
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