4.1 双线性函数
1.(北大2000). (1)设V是实数域上的线性空间, f是V上的正定的对称双线性函数, U是V的有限维子空间.证明：V?U?U,其中U?????V:f(?,?)?0,???U?.(2) 设V是数域K上的n维
?线性空间, g是V上的非退化的对称双线性函数. W是V的子空间.令
W?????V:g(?,?)?0,???W?,证明：(a) dimV?dimW?dimW?;(bW?????W).
2.(北大2007). f为双线性函数,且对任意的?,?,?都有f(?,?)f(?,?)?f(?,?)f(?,?).试证明为对称的或反对称的.
3.(2010省区赛).设A为n?n实矩阵(未必对称),对任一n维实向量??(a1,?,an),?A?T?0 (这
T里?表示?的转置),且存在n维实向量?,使得?A?T?0,同时对任意n维实向量x和y,当时
xAyT?0有xAyT?yAxT?0.证明:对任意n维实向量v,都有vA?T?0.
4.(2010决赛).设?:Mn(R)?R是非零线性映射,满足?(XY)??(YX),?X,Y?Mn(R),这里
Mn(R)是实数域R上n阶方阵组成的线性空间.在Mn(R)上定义双线性型(X,Y)??(XY).(1)证明
双线性型(?,?)是非退化的,即若(X,Y)?0,?Y?Mn(R),则X?0;(2)设?A2n2k1?是Mn(R)的一组基,
?B?
n2k1n?1,i?j,是相应的对偶基,即(Ai,Bj)??ij?? 证明?AiBi是数量矩阵.
0,i?j.i?1?4.2 二次型
1.(北大2002).用正交变换化下面二次型为标准形：
22f(x1,x2,x3)?x12?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3.
(要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形).
2222.(中科院2007).设二次型f?x1?x2?x3?2ax1x2?2x1x3?4bx2x3.通过正交变换化为标准22形f?y2,求参数a,b及所用的正交变换. ?2y33.(中科院2006).已知二次曲面方程x?ay?z?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换
222(x,y,z)T?P(x',y',z')T化为椭圆柱面方程y'2?4z'2?4..求a,b的值和正交矩阵P.
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?a12??a2a14.(中科院2005).(1)考虑如下形式的矩阵P?????aa?n1a1a22a2?ana2?a1an???a2an?,其中,ai(1?i?n)都????2??an?为实数.证明:矩阵P非负定;(2)证明:非零实二次型f(x1,?,xn)可以写成
f(x1,?,xn)?(u1x1???unxn)(v1x1???vnxn)
的充要条件是：或者它的秩为1,或者它的秩为2且符号差为0.
2225.(中科大2008).已知二次型Q(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x2?4x2x3?4x1x3.(1)用正交变
换将Q(x1,x2,x3)化为标准形.(2)判断曲面Q(x1,x2,x3)?1的类型.
6.(中科大2010).填空:定义所有n阶实方阵构成的实线性空间V上的对称双线性函数为
f(X,Y)?Tr(XTY),X,Y?V,二次型为Q(X)?f(X,X),
则Q(X)的正、负惯性指数分别为 .
4.3 二次型的应用.
1.(中科院2006).设有实二次型f?xTAx, 其中x是x转置,A是3?3实对称矩阵并满足以下方
32222程：A?6A?11A?6I?0.试计算 maxmaxf(x),其中||x||2?x1?x2?x3,第一个极大值是
A||x||?1T满足以上方程的所有实对称矩阵A来求.
222.(中科院2004).令f(x,y)?2x?7xy?y.,求f(x,y)在R中单位圆上的极大值与极小值及极值点.
22223.(中科大1998).求证:曲面3x?2y.?2z?2xy?2xz?8?0是椭球面.并求出这个椭球面所围成
4x2y2z2的体积.(允许引用椭球面2?2?2?1(a,b,c?0)所围成的体积的公式V??abc..).
3abc
4.4 对称矩阵与Hermite矩阵
1.(北大2008).(1) A,C分别是n阶实矩阵, B是n?m实矩阵,并且???AT?BB??是正定矩阵.证明, ?C??Adet??BT?B???det(A)?det(C),并且等号成立当且仅当B?0. C??2(2) A?(aij)n?n是n阶实矩阵, |aij|?1,证明?det(A)??n2.
2.(中科院2007).设A是实对称矩阵,如果A是半正定的,则存在实的半正定矩阵B,使得A?B.
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2
3.(中科院2005).证明函数logdet(?)在对称正定矩阵集上是凹函数,即:对于任意两个n?n对称正定矩阵A,B,及???[0,1],有
logdet??A?(1??)B???logdet(A)?(1??)logdet(B),
其中,函数logdet(A)表示先对矩阵A取行列式再取自然对数.
4.(中科院2004).设A,B为同阶对称正定阵.若A?B (即A?B为正定阵),试问是否一定有
A2?B2？为什么？
5.(中科院2004).证明:若S为n阶对称正定矩阵,则(1)存在唯一的对称正定矩阵S1使得
S?S12;(2)若A是n阶实对称矩阵,则AS的特征值是实数.
6.(中科院2004).设A为n阶实对称矩阵,b为n维实向量,证明: A?bb?0的充要条件是
TA?0及bTA?1b?1. 其中bT表示b的转置.
7.(中科院2003).若Q为n阶对称正定方阵,x为n维实向量,证明: 0?xT(Q?xxT)x?1,这里
xT表示x的转置.
8.(中科院2010).(1) n阶方阵A能表成:A?H?K,其中H?H,K??K,B是矩阵B的共轭转置.设a,h,k代表A,H,K中元素的最大模.若z?x?iy(x,y分别是实部与虚部)是A的任一特征值,试证明: |z|?na,|x|?nh,|y|?nk; (2)证明:Hermite矩阵的特征值都是实数;(3)证明:反对称矩阵的特征值都是纯虚数.
9.(中科院2011).设A是n阶实方阵,证明A为实对称矩阵当且仅当AA?A,其中A表示矩阵A的转置.
10.(中科大2008). n阶实对称方阵A,B,A?B的正惯性指数分别是pA,pB,pA?B.证明:
T2TTTTpA?pB?pA?B.
11.(2009决赛).设A,B均为n阶半正定实对称矩阵,且满足n?1?rank(A)?n.证明存在实可逆矩阵C使得CAC,CBC均为对角阵.
TT
五、带度量的线性空间
37
5.1 Euclid空间与Schmidt正交化
1.(北大1996).用R4[x]表示实数域R上次数小于4的一元多项式组成的集合,它是一个Euclid空间,其上的内积：(f,g)?个基.
?10f(x)g(x)dx.设W是由零次多项式组成的子空间, 求W?以及它的一
1??10???2?. (1)判断A是否为正定矩阵,要求写2.(北大1999). 设实数域上的矩阵A为：A??06?1?22???出理由;(2)设V是实数域上的3维线性空间, V上的一个双线性函数f(?,?)在
V的一个基?1,?2,?3下的度量矩阵为A. 证明f(?,?)是V的一个内积,并且求出V对于这个内
积所成的欧氏空间的一个标准正交基.
3.(北大2001).在实数域上的n维列向量空间R中,定义内积为(?,?)??'?,从而R成为Euclid
nn?1?35?2????31?.求齐次线性方程组AX?0的解空间的一空间.(1)设实数域上的矩阵A???21??1?79?4???个正交基.(2)设A是实数域R上的矩阵,用W表示齐次线性方程组AX?0的解空间,用U表示A'的列空间(即, A'的列向量组生成的子空间).证明：U?W. 4.(北大2005).（1）设实数域R上n级矩阵H的(i,j)元为
?1（n?1）。在实数域上n维线
i?j?1nn性空间R中，对于?,??R，令f(?,?)???H?。试问：f是不是R上的一个内积，写出理
n由。
n（2）设A是n级正定矩阵（n?1）??R，且?是非零列向量。令B?A???，求B的最大特
征值以及B的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基.
5.(中科院2005).给定两个四维向量?1?(1/3,?2/3,0,2/3)T,?2?(?2/6,0,1/6,1/6)T.求作一个四阶正交矩阵Q,以?1,?2作为它的前两个列向量.
6.(中科大1997).设R是所有n维行向量组成的n维欧氏空间,其中向量??(x1,?,xn)和
n??(y1,?,yn)的内积为(?,?)??xkyk. Rn中所有下标k为偶数的xk之和为零的向量之集
k?1nV是R的子空间;(2)求维数dim(V),并给出V的一组标准正交基;(3)确定V合记作V.(1)证明：
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n