这里dim表示空间维数. 7.(2009省区赛).设Cn?n是n?n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间,
?0??1F??0???0?0001?0?????0?an??n?10?an?1?n?1?kn?n, 其0?an?2?. (1)假设A??aij?n?n?C,若AF?FA,证明:A??an?k,1Fk?0???1?a1??n?n中, F?E(n阶单位矩阵). (2)求C的子空间C(F)?X?Cn?n:FX?XF的维数.
??
3.3 线性映射与线性变换
1.(北大1996).设V是数域K上的n维线性空间,并且V?U?W,任给??V,设
???1??2,?1?U,?2?W,令P(?)??1.证明:(1) P是V上的线性变换,并且P2?P;;(2)
P的核kerP?W, P的像(值域) ImP?U;(3) V中存在一个基,使得P在这个基下的矩阵是
?Ir??O?O??,其中Ir表示r级单位矩阵,请指出等于什么？ O??2.(北大1999). 设V和U是数域K上的n维, m维线性空间, A是V到U的一个线性映射.(1)证明：dim(KerA)?dim(ImA)?dimV;(2)证明:如果dimV?dimU,则A是单射当且仅当是A满射. 3.(北大2000).设V和V'是数域K上的有限维线性空间, A是V到V'的一个线性映射.证明,存在直和分解: V?U?W,V'?M?N,使得KerA?U,并且W?M.
4.(北大2001).设A是数域K上n维线性空间上的一个线性变换.在K[x]中,
f(x)?f1(x)f2(x),且f1(x)与f2(x)互素,用KerA表示线性变换A的核.证明：
Kerf(A)?Kerf1(A)?Kerf2(A).
5.(北大2001).设A是数域K上n维线性空间上的一个线性变换.是I恒等变换.证明：A?A的充分必要条件是 rank(A)?rank(A?I)?n.
6.(北大2002).设正整数n?2,用Mn(K)表示数域K上全体n?n矩阵关于矩阵加法和数乘所构成的K上的线性空间.在Mn(K)中定义变换?如下：
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???aij?n?n??aij?n'' 其中 a??(a)?M(K),?aij,?i?aijijn?nnn?n?ii??i?1??i?j;i?j.
(1)证明?是Mn(K)上的线性变换.(2)求出Ker(?)的维数与一组基.(3)求出?的全部特征子空间.
7.(北大2005).设A是数域R上n维线性空间V上的一个线性变换，用I表示V上的恒等变换，证明： A3?I?rank(I?A)?rank(I?A?A2)?n
8.(北大2006).设V是数域K上的n维线性空间, A1,A2,?,As是V上的线性变换,令
A?A1?A2???As.证明:
A为幂等变换且 rank(A)?rank(A1)?rank(A2)???rank(As)
的充分必要条件是各均为Ai幂等变换,且AiAj?0,i?j.
9.(北大2007). n维线性空间V上的一个线性变换A的最小多项式与特征多项式相同.试证明存在??V,使得
??,A?,?,A??为V的一个基.
n?110.(北大2008).设V是数域K上的n维线性空间, A,B是V上的线性变换,且A,B的最小多项式互素,求满足AC?CB的所有线性变换C.
n11.(中科院2006).设f是有限维向量空间V上的线性变换,且f是V上的恒等变换,这里n是某
个正整数.设W?{v?V:f(v)?v}.证明W是V的一个子空间,并且其维数等于线性变换
1(f?f2???fn)的迹. n12.(中科院2004).设V是n维向量空间, f,g是V上的线性变换(即f,g?L(V)),且f有n个互异的特征根.证明: fg?gf的充要条件是g是
f0?I (恒等变换), f,f2,?,fn?1 的线性组合.
13.(中科院2010).设Mn(C)是复数域上所有n阶方阵构成的线性空间, T:Mn(C)?C是一个线性映射,满足
T(AB)?T(BA).
证明:存在??C,使得对任意A?Mn(C),T(A)???Tr(A),其中, Tr(A)表示矩阵A的迹.
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14.(中科院2011).设?,?,?是3维线性空间V的一组基,线性变换A满足
?A(??2???)??,??A(3??4?)??, ?A(4??5?)??.?试求A在基?,2???,?下的矩阵.
15.(中科大1998).设V是实数域上全体2?2矩阵组成的线性空间(维数为4), V上的线性变换?将每个矩阵X映到它的转置X',求V的一组基,使?在这组基下的矩阵为对角阵. 16.(中科大2010).设A为数域F上的线性空间U到V上的线性映射.证明:
dimKer(A)?dimIm(A)?dimU.
17.(2009决赛).设V是复数域C上的n维线性空间,fj:V?C是非零的线性函数,j?1,2.若不存在0?c?C使得f1?cf2,证明:任意的??V都可表为???1??2使得
f1(?)?f1(?2), f2(?)?f2(?1).
3.4 线性变换与矩阵的特征问题、不变子空间
1.(北大1997).设A是实数域R上的3维线性空间V内的一个线性变换,对V的一组基
?1,?2,?3,有:
A?1?3?1?6?2?6?3, A?2?4?1?3?2?4?3, A?3??5?1?4?2?6?3.
(1)求A的全部特征值和特征向量;(2)设B?A?5A,求B的一个非平凡的不变子空间. 2.(北大2007).复矩阵A满足：对任意k,有Tr(A)?0.试求A的特征值.
3.(中科院2007).设A是复数域上6维线性空间V的线性变换, A的特征多项式为(??1)(??1)(??2),
证明V能分解成三个不变子空间的直和,而且它们的维数分别是1,2,3.
4.(中科院2003).给定R上二维线性空间V的线性变换A,A在一组基下的矩阵表示为
32k31??0A???1?a0??,a?0.
??求A的不变子空间.
5.(中科院2010).已知3阶正交矩阵A的行列式为1.证明: A的特征多项式一定为
f(?)??3?a?2?a??1,
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其中,a是实数,且?1?a?3.
6.(中科院2010).证明:任意n阶实方阵A的特征向量也是其伴随矩阵A*的特征向量.
7.(中科院2010).设A是n维实线性空间V的线性变换,证明: A至少有一个维数为1或2的不变子空间.
?c0??cn?1CC?8.(中科院2010).设n阶循环矩阵为????c?1应的特征向量;(2)求C的行列式det(C).
c1c0?c2?cn?1???cn?2?. (1)求C的所有特征值以及相?????c0???ab?201129.(中科院2011).已知二阶矩阵A???cd??的特征多项式为(??1),试求A?2011A.
??2?2??2??5?4?..(1)求A的特征多项式,并确定其是否有重10.(中科院2011).已知矩阵A??2??2?45???根;(2)求一个正交矩阵P,使得PAP?1为对角矩阵;(3)令V是所有与A可交换的实矩阵全体,证明
V是一个实数域上的线性空间,并确定V的维数.
11.(中科院2011).设A,B是两个n阶复矩阵n?1.(1)如果AB?BA,证明A,B有公共的特征向量;(2)如果AB?BA??B,其中?是一个非零复数,那么A,B是否会有公共的特征向量？回答“是”请给出证明;回答“否”请给出反例.
12.(中科大1999).设A是复数域上的n维线性空间V上的线性变换,具有n个不同的特征值
?1,?,?n,而?1,?,?n分别是属于这些特征值的特征向量.求证: ?1????n生成的循环子空间
等于V.
13.(中科大2010)设数域F上有限维空间V上线性变换A和B满足AB?aBA(a?F,a?1),且
A是可逆线性变换,证明:(1)B为幂零变换(即存在正整数n,B?0).(2)A和B有一个公共特征
向量.
14.(2009省区赛).假设V是复数域C上n维线性空间(n?0),f,g是V上的线性变换,如果
nfg?gf?f,证明: f的特征值都是0,且f,g有公共特征向量.
四、双线性函数与二次型
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