(2)求A的逆矩阵A;(3)求A的Jordan标准形;(4)求对称矩阵A的正、负惯性指数;(5)将阶数5改为n,求n阶方阵A的行列式和逆矩阵. 14.(中科大1998).计算矩阵：
?1???cos7(1) ???sin??7??7??cos??7?sin??1997?1??0; (2) ?0??0?111??111?011??001???19.
15.(中科大1999). n?2,n阶方阵A?(aij)其中aij???0,i?j,?1求det(A)及A.
?1,i?j.16.(中科大1999,2008).求证:与任意n阶方阵可交换的方阵一定是纯量阵.
二、行列式
2.1 定义、性质和计算方法
1.(北大2010).A是复矩阵,B是幂零矩阵,且AB?BA.证明|A?2010B|?|A|. 2.(中科院2007).计算n阶3对角行列式
Dn?2cos?112cos??.
??112cos????????????n?n3.(中科院2006).已知?,?,?为实数,求A??的行列式的值. ?R????????????4.(中科院2005).给定一单调递减序列b1?b2???bp?0,定义????p!p?1????p?1?k?p?1?1min(bk?bk?1).
假设复数ak(k?1,2,?,p)满足|ak|??|ak?1|,k?1,2,?,p?1,且|ap|?1.证明以下行列式
a1b1b1a2D??1abpa1b2b2a2?2abp?a1p?a2p
???appbbbp1pbkb其绝对值有上下界如下：?|ak|?|D|?2?|ak|k.
pk?1k?1 27
5.(中科院2004).设A?(aij)是2004阶方阵,且aij?ij,1?i,j?2004.I是2004阶单位阵,计算
f(x)?det(I?Ax),这里x?R.
6.(中科院2010).设A,B分别是n?m和m?n矩阵, Ik是k阶单位矩阵.(1)证明
det(In?AB)?det(Im?BA);
(2)计算行列式
a1?x2?1?a1?x1?1?a2?x2?a?x1Dn?det?2????a?xan?x21?na1?xn???a2?xn??. ???1?an?xn???7.(中科院2011).设n阶方阵An??|i?j|?1?i,j?n,其行列式记为Dn,试证明:
Dn?4Dn?1?4Dn?2?0.
并由此求出行列式Dn.
8.(中科大2010).填空：(1)设n?2,A?(aij)n?n,aij?aj?bi则det(A)? .
a0??0??10?a1??(2)设n?1,矩阵A????,则A的特征多项式是 . ????0an?2????1an?1??
2.2 应用
1.(中科院2003).给了n个不同的数a1,a2,?,an,试求一个?n?1次的多项式f(x),使
f(ai)?bi,这里bi也是给定的值, i?1,2,?,n.
三、线性空间与线性变换
3.1 线性空间的基本理论
1.(北大1996).设线性空间V中的向量组
?1,?2,?3,?4线性无关. (1)试问：向量组
?1??2,?2??3,?3??4,?4??1是否线性无关？要求说明理由.(2)求向量组
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?1??2,?2??3,?3??4,?4??1
生成的线性子空间W的一个基以及W的维数.
2.(北大1998).设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合,对于f,g?V,a?R分别用下列式子定义f?g与af：
(f?g)(x)?f(x)?g(x), (af)(x)?af(x), ?x?R.
则V成为实数域R上的一个线性空间. 设
f0(x)?1,f1(x)?cosx,f2(x)?cos2x,f3(x)?cos3x.
(1)判断f0,f1,f2,f3是否线性相关,写出理由;(2)用?f,g?表示f,g生成的线性子空间,判断
?f0,f1???f2,f3?是否为直和,写出理由.
3.(北大1999).设V是实数域R上的n维线性空间, V上的所有复值函数组成的集合,对于函数的加法以及复数与函数的数量乘法,形成复数域C上的一个线性空间,记作C. 证明：如果
Vf1,f2,?,fn?1是CV中n?1个不同的函数,并且它们满足:
fj(???)?fj(?)?fj(?), ??,??V,
fj(k?)?kfj(?), ?k?R,??V,
则f1,f2,?,fn?1是C中线性相关的向量组.
4.(中科院2006).若向量?1,?2,?,?s(s?2)线性无关,讨论?1??2,?2??3,?,?s?1??s,?s??1 的线性相关性.
5.(中科大2010).填空：(1)设?1,?2,?3,?4是线性空间V中4个线性无关的向量,则向量组
V?1??2,?2??3,?3??4,?4??1的秩等于 . (2)在3维实向量空间R3中,设
?1,?2,?3?下的坐标?1?(?1,1,1)T,?2?(1,?1,0)T,?3?(1,0,?1)T,??(?4,3,4)T.则?在基?是 .
3.2 线性空间的子空间和商空间
1.(北大1999).设V是数域K上的一个n维线性空间, ?1,?2,?,?n是V的一个基.用V1表示由
?1??2????n生成的线性子空间,令
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n?n?V2???ki?i:?ki?0,ki?K?.
i?1?i?1?(1)证明V2是V的子空间;(2)证明V?V1?V2;(3)设V上的一个线性变换A在基?1,?2,?,?n下的矩阵A是置换矩阵(即: A的每一行与每一列都只有一个元素是1,其余元素全为0),证明V1与V2都是A的不变子空间.
2.(北大2002).用R表示实数域,定义R到R的映射如下：
nf(X)?|x1|???|xr|?|xr?1|???|xr?s|, ?X?(x1,x2,?,xn)T?Rn,
n其中r?s?0..证明：(1)存在R的一个n?r维子空间W,使得f(X)?0,?X?W.(2)若
W1,W2是Rn的两个n?r维子空间,且满足f(X)?0,?X?W1?W2,则一定有
dim(W1?W2)?n?(r?s).
3.(北大2002).设V是数域K上的n维线性空间, V1,?,Vs是V的s个真子空间,证明：(1)存在
??V,使得??V1?V2???Vs.(2)存在V中的一组基?1,?2,?,?n,使得
{?1,?2,?,?n}??V1?V2???Vs???.
4.(北大2005).设数域K上的n级矩阵A的(i,j)元为ai?bj （1）.求A; (2).当n?2时，
a1?a2,b1?b2.求齐次线性方程组AX?0的解空间的维数和一个基.
5.(北大2005).（1）设数域K上n级矩阵，对任意正整数m，求C [C是什么？]
（2）用Mn(K)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K上
ma1的线性空间。数域K上n级矩阵A?a2a3?anana1a2?an?1称为循环矩阵。用U表示K上所有n?????a2a3a4?a1级循环矩阵组成的集合。证明：U是Mn(K)的一个子空间，并求U的一个基和维数。 6.(中科院2003).给定R上线性空间V的子空间W1,W2,证明:
dim(W1?W2)?dim(W1)?dim(W2)?dim(V),
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