解得:y?17.
设所获利润为w万元，
则w??18?12?y??6?4??20?y??4y?40, 由于4?0，所以w随y的增大而增大， 即当y?17时，w最大， 此时w?4?17?40?108.
从而安排生产甲种型号的口罩17万只，乙种型号的口罩3万只时，获得最大利润，最大利润为108万元 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24.如图，抛物线y?ax?3ax?4a的图象经过点C?0,2?，交x轴于点A、B(点A在点B左侧)，连接BC,2直线y?kx?1?k?0?与y轴交于点D,与BC上方的抛物线交于点E,与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
EF是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． DF123【答案】（1）y??x?x?2，A??1,0?,B?4,0?；（2）存在，当t?2时，有最大值且最大值为2，
22（2）
此时点E的坐标为?2,3?． 【解析】 【分析】
（1）直接将C?0,2?代入y?ax?3ax?4a求出a，即可确定抛物线解析式；然后令y=0求得x的值，再
3结合已知即可确定A、B的坐标；
（2）作EG//y轴，交BC于点G，由平行线等分线段定理可得
EFEG?；再根据题意求出D点坐标和DFCDCD的长，可得
13EF???EG；然后再根据B、C的坐标求出直线BC的解析式；再设E?t,?t2?t?2?，
22DF??
则G?t,???1EF?t?2?，运用两点间距离公式求得EG，然后再代入?EG，根据二次函数的性质即可说明 2DF?【详解】解：?1?把C?0,2?代入y?ax3?3ax?4a，即?4a?2，解得a??∴抛物线的解析式为y??令?1 2123x?x?2 22123x?x?2?0 22可得:x1??1,x2?4, ∴A??1,0?,B?4,0?；
?2?存在，
如图，由题意，点E在y轴的右侧，作EG//y轴，交BC于点G
?CD//EG
?EFEG? DFCD直线y?kx?1?k?0?与y轴交于点D ∴D?0,1?，
?CD?2?1?1,
?EF?EG DF设BC所在直线的解析式为y?mx?n(m?0)，
?0?4m?n将B?4,0?,C?0,2?代入上述解析式得：?
2?n?1??m??解得:?2
??n?21?BC的解析式为y?-x?2
2设E?t,???123?t?t?2? 22?则G?t,???1?t?2?，其中0?t?4. 2?1312?1??EG??t2?t?2??-x?2????t?2??2
222?2??EF1??(t?2)2?2, DF21??0, 2∴抛物线开口方向朝下
∴当t?2时，有最大值，最大值为2. 将t=2代入?123t?t?2=-2+3+2=3 22∴点E的坐标为?2,3?．
【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、平行线等分线段定理以及运用二次函数的性质求最值，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．
25.如图1，在等腰三角形ABC中，?A?120,AB?AC,点D、E分别在边AB、AC上，AD?AE,连接BE,点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段NM、NP的数量关系是____，?MNP的大小为_____； （2）探究证明
把ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE,判断△MNP的形状，并说明理由； （3）拓展延伸
把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD?1,AB?3，请求出△MNP面积的最大值．
【答案】（1）相等，60；（2）△MNP是等边三角形，理由见解析；（3）△MNP面积的最大值为3. 【解析】 【分析】
（1）根据＂?A?120,AB?AC,AD?AE,点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点＂，可得MN//BD，NP//CE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出?MNP．
（2）先求出△ABD≌△ACE，得出?ABD??ACE，根据MN//BD，NP//CE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出?MNP，即可求解．
（3）根据BD?AB?AD，可知BD最大值，继而求出△MNP面积的最大值．
【详解】?1?由题意知：AB=AC，AD=AE，且点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点， ∴BD=CE，MN//BD，NP//CE，MN=∴MN=NP
又∵MN//BD，NP//CE，∠A=120?，AB=AC， ∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=30 根据三角形外角和定理， 得∠ENP=∠NBP+∠NPB
∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB， ∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE， ∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C =∠ABC+∠C =60．
11BD，NP=EC 22?2?MNP是等边三角形．
理由如下：
如图，由旋转可得?BAD??CAE 在ABD和ACE中