【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB

为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将答．

【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0）， 则PA=PB=

，

表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解

∠APO=α，则∠APB=2α， sinα=，

==

×

（1﹣2sin2α） ）=﹣3， 时取“=”，故

的最小值为2

﹣3．

=（x2﹣1）（1﹣=x2+

﹣3≥2

∴当且仅当x2=故选D．

12．（5分）（2010?大纲版Ⅰ）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．

【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的

距离为h， 则有

当直径通过AB与CD的中点时，故选B．

，

，故

．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）（2010?大纲版Ⅰ）不等式

的解集是 [0，2] ．

【分析】法一是移项后平方，注意等价转化为不等式组，化简求交集即可； 法二是化简为等价不等式组的形式，求不等式组的解集． 【解答】解：法一：原不等式等价于解得0≤x≤2．

法二：

故答案为：[0，2]

14．（5分）（2010?大纲版Ⅰ）已知α为第三象限的角，

=

．

，则

【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又

＜0确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再

由两角和的正切公式展开代入求值．

方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同． 【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z）， 又于是有

＜0，所以，

，

，

所以=．

方法二：α为第三象限的角，＜

2α

＜

4kπ+3π

?

，2α

在

二

象

?4kπ+2π限

，

15．（5分）（2010?大纲版Ⅰ）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是 （1，） ．

【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．

【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a， 观图可知，a的取值必须满足解得

．

，

故答案为：（1，）

16．（5分）（2010?大纲版Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且

，则C的离心率为

．

【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出 的值． 【解答】解：如图，

作DD1⊥y轴于点D1，则由

，

即

，由椭圆的第二定义得

，a2=3c2，解得e==

，

，

，得

，所以，

又由|BF|=2|FD|，得故答案为：

．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）（2010?大纲版Ⅰ）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足