3A. 54B. 252C. 254D. 5
14．(2019·雅安)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是(B)
15．(2019·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为(B)
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
16．(2019·张家界)如图，在?ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G.
(1)求证：BF＝CF；
(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∴△EBF∽△EAD. BFEB1∴＝＝. ADEA211
∴BF＝AD＝BC.∴BF＝CF.
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(2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴△FGC∽△DGA. FGFCFG1∴＝，即＝. DGAD42解得FG＝2.
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17．(2019·成都)如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，点D为BC边上的动点(点D不与点
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B，C重合)．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)当DE∥AB时(如图2)，求AE的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE.∴△ABD∽△DCE. (2)过点A作AM⊥BC于点M.
3
在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM·tanB＝4k·＝3k.
4
由勾股定理，得AB2＝AM2＋BM2， 即202＝(3k)2＋(4k)2，解得k＝4. ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BC＝2BM＝8k＝32. ∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE.
又∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB， ∴∠BAD＝∠ACB. ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA. ABDBAB220225∴＝，则DB＝＝＝. CBABCB322∵DE∥AB， AEBD∴＝， ACBC
2520×
2125AC·BD
∴AE＝＝＝.
BC3216
考点6 相似三角形的实际应用
18．(2018·义乌)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD.垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(C)
A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m
19．(2019·荆门)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为
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1.6 m，试确定楼的高度OE.
解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC，FA相交于点M， 连接GF并延长交OE于点H. ∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG. ACMAMO∴＝＝， FGMFMHACOEOEOE即＝＝＝. BDMHMO＋OHOE＋BFOE2∴＝.∴OE＝32. OE＋1.62.1
答：楼的高度OE为32米．
20．(2019·枣庄)如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9.若AA′＝1，则A′D等于(B)
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A．2 B．3 C．4 D. 2
21．(2019·凉山州)如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC＝(B)
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3
22．(2019·贵港)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B.若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为(C)
A．23 B．32 C．26 D．5
23．(2019·江西)在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(4，0)，(4，4)，(0，4)，点P在x轴上，点D在直线AB上．若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为(2，0)或(2－22，0)或(2＋22，0)．
24．(2019·安徽)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.
(1)求证：△PAB∽△PBC；
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(2)求证：PA＝2PC；
2＝hh. (3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h123
证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠PBA＋∠PBC＝45°. 又∵∠APB＝135°，
∴∠PAB＋∠PBA＝45°.∴∠PBC＝∠PAB.
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC.
PAPBAB
(2)∵△PAB∽△PBC，∴＝＝.
PBPCBC
AB
在Rt△ABC中，BC＝AC，∴＝2.
BC
∴PB＝2PC，PA＝2PB.∴PA＝2PC.
(3)过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F. ∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3.
∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°， ∴∠APC＝90°.∴∠EAP＋∠ACP＝90°. 又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°， ∴∠EAP＝∠PCD.∴Rt△AEP∽Rt△CDP. PEAPh3
∴＝＝2，即＝2.∴h3＝2h2. DPPCh2
h1AB
∵△PAB∽△PBC，∴＝＝2.∴h1＝2h2.
h2BC
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∴h21＝2h2＝2h2·h2＝h2h3，即h1＝h2h3.
25．(2018·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，四边形DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步
2 000恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为步．
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