第4章习题答案

三、解答题

1. 设随机变量X的分布律为 X pi 求E(X)，E(X2)，E(3X?5)．

解：E (X ) =

– 2 0.4 0 0.3 2 0.3 ?xp

i?1

?

i

= ??2??0.4+0?0.3+2?0.3= -0.2

E (X ) =

2

?xi?1?2pi= 4?0.4+ 0?0.3+ 4?0.3= 2.8

E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3???0.2?+5 = 4.4

2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi 的分布律为

P{X?i}?1/6,i?1,2,?,6

记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (Xi ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28

3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．

(2) 某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望． 解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B(n, p1),所以E (X )= n p1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B(n, p),

记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 - p1 p2 所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 )

4. 将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)．

解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1.

5. 设X~P(?)，且P{X?5}?P{X?6}，求E(X)．

解：由题意知X～P（?），则X的分布律P

?X?k?=

?kk!e??，k = 1,2,...

又P?X?5?=P?X?6?, 所以

?55!e????66!e??

解得 ??6，所以E(X) = 6.

6. 设随机变量X的分布律为P{X?k}?在？

解：因为级数?((?1)k?1k?k?1???66k?16)?((?1))???2k2?2k?2k?16,k?1,?2,3,?4,?,问X的数学期望是否存22?k?(?1)k?1k?1?1， 而 k?k发散，所以X的数学期望不存在.

k?117. 某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为

?1?x/3?xe,x?0, f(x)??9?其它.?0求一天的平均耗电量．

1?x/31?2?x/3xedx??xedx=6.

??0990 8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为

解：E(X) =?xf(x)dx??x???25?1?,x?5,

F(x)??x2?其它.?0求这种家电的平均寿命E(X)．

解：由题意知，随机变量X的概率密度为f(x)?F?(x)

?2?2550?3，当x?5时，f(x)?0. 3xx????5050??|5?10 E(X) =?xf(x)dx??x3dx??-?5xx 当x>5时，f(x)? ?所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.

9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为

?42x(1?x)5,0?x?1, f(x)??0其它.?求X的数学期望E(X)．

解：E(X) =

??1?-?xf(x)dx??42x2(1?x)5dx=1/4

0 10. 设随机变量X的概率密度如下，求E(X)．

?32?2(1?x)，?1?x?0，??3f(x)??(1?x)2,0?x?1，

?20，其它.?????031322解：E(X)??xf(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx?0.

???1202

11. 设X~B(4,p)，求数学期望E(sin?X． )2kk解：X的分布律为P{X?k}?Cnp(1?p)n?k， k = 0，1，2，3，4，

X取值为0，1，2，3，4时，sin?X相应的取值为0，1，0，-1，0，所以

2E(sin?X21133)?1?C4p(1?p)3?1?C4p(1?p)1?4p(1?p)(1?2p)

W?kV， 12. 设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：

（k > 0，常数），求W的数学期望．

2?1, 0?v?aa解：V的分布律为f(v)??，所以 ??0, 其它???a11k1aE(W)??kv2f(v)dx??kv2dv?(v3)|0?ka2

??0aa3313. 设随机变量(X, Y )的分布律为 Y X 0 1 2 0 3/28 3/14 1/28 1 9/28 3/14 0 2 3/28 0 0 求E(X)，E(Y )，E(X – Y )．

解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.

?24xy,0?x?1,0?y?1,x?y?114. 设随机变量(X，Y)具有概率密度f(x,y)??，求

其它?0,E(X)，E(Y)，E(XY)

解：E(X)=

2x?24xydxdy?24x????ydydx D0011?xyy??x?11122212??24x?(1?x)dx??(12x2?24x3?x4)dx?(4x3?6x4?x5)? 00255011x

E(Y)???y?24xydxdy??24y2?xdxdy?2/5D0011?y

E(XY)???xy?24xydxdy??24xD012?1?x011ydydx??24x2?(1?x)3dx

032182442?(x3?6x4?x5?x6)?.353150 15. 某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律 X 10 11 12 13 14 pi 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 所得利润（以元计）为Y?1000(12?X),求E(Y)，D(Y)．

解： E(Y) = E［1000(12-X)］

=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400

E(Y2) = E［10002(12-X)2］

=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1 +（12-14）2×0.1]=1.6×106

D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6×106- 4002=1.44×106

16. 设随机变量X服从几何分布 ，其分布律为P{X?k}?(1?p)k?1p,k?1,2,?, 其中0 < p < 1是常数，求E(X)，D(X)．

解：令q=1- p ,则

E(X)??(k?P{X?k})??(k?qk?1k?1??k?1p)?p?k?qk?1?k?1dqk?p?k?1dq?

d?kd1?p?q?p()?1/p

dqk?0dq1?qE(X)??(k?P{X?k})??(k?q222k?1k?1??k?1p)?p[?k(k?1)?qk?1?k?1??k?qk?1]

k?1??pq?k(k?1)?qk?1?k?2d2kd2?1/p?pq?2q?1/p?pq(2dqk?0dq??qk?1?k)?1/p

d212?pq2()?1/p?pq?1/p?2q/p2?1/p 3dq1?q(1?q)D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p2

1?,|x|?1?17. 设随机变量X的概率密度为f(x)???1?x2，试求E(X)，D(X)．

?0,其它?解：E(X)=

????xf(x)dx??x?111?1?x2dx?0