第二章 复习题

一、判断题

1、对任意E?R，mE都存在。（√ ） 2、对任意E?R，mE都存在。（× ） 3、设E?R，则mE可能小于零。（× ）

**4、设A?B，则mA?mB。（√ ）

n*nn***5、设A?B，则mA?mB。（× ）

6、m(?Sn)?n?1?*??mS*n?1??n。（× ）

7、m(?Sn)?n?1n*?mS*n?1n。（√ ）

8、设E为R中的可数集，则mE?0。（√ ） 9、设Q为有理数集，则m*Q?0。（√ ）

10、设I为R中的区间，则mI?mI?I。（√ ） 11、设I为R中的无穷区间，则mI???。（√ ） 12、设E为R中的有界集，则mE???。（√ ） 13、设E为R中的无界集，则mE???。（× ） 14、E是可测集?E是可测集。（√ ）

15、设{Sn}是可测集列，则?Sn，?Sn都是可测集。（√ ）

n?1n?1??cnnnn*****16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。（√ ）

*19、若E??，则mE?0。（× ）

20、若E是无限集，且mE?0，则E是可数集。（× ） 21、若mE???，则E必为无界集。（√ ）

*22、在R中必存在测度为零的无界集。（√ ）

23、若A，B都是可测集，A?B且mA?mB，则m(B?A)?0。（× ） 24、?和R都是可测集，且m??0，mR???。（√ ） 25、设E1,E2为可测集，则m(E1?E2)?mE1?mE2。（× ）

26、设E1,E2为可测集，且E1?E2，则m(E1?E2)?mE1?mE2。（× ）

nnn二、填空题

1、若E是可数集，则mE? 0 ；E为 可测 集；mE? 0 。 2、若S1,S2,?,Sn为可测集，则m?Si 小于或等于 i?1nn*?mS；若S,S,?,Sin12n为两两不相

i?1交的可测集，则m?Si 等于 i?1?mS。

ii?1n3、设E1,E2为可测集，则m(E1?E2)?mE2 大于或等于 mE1；若还有mE2???，则

m(E1?E2) 大于或等于 mE1?mE2。

4、设E1,E2为可测集，且E1?E2，mE2???，则m(E1?E2) 等于 mE1?mE2。

*5、设x0为E的内点，则mE 大于 0。

6、设P为康托三分集，则P为 可测 集，且mP? 0 。 7、m?? 0 ，mR? +∞ 。

8、叙述可测集与G?型集的关系 可测集必可表示成一个G?型集与零测集的差集 。 9、叙述可测集与F?型集的关系 可测集必可表示成一个F?型集与零测集的并集 。

n三、证明题

1、证明：若E有界，则mE???。

??证明：因为E有界，所以，存在一个有限区间I，使得E?I，从而mE?mI?I???。

*

2、证明：若mE?0，则E为可测集。

*c**证明：对任意A?E，B?E，因为mE?0，可得mA?0，所以，

m*B?m*(A?B)?m*A?m*B?m*B，

从而m*(A?B)?m*A?m*B，所以，E为可测集。

3、证明：有理数集Q为可测集，且mQ?0。

证明：因为有理数集Q可数集，从而m?Q?0，所以，Q为可测集，且mQ?m?Q?0。

4、证明：若E，F都是可测集，且mE???，E?F，则m(F?E)?mF?mE；若

mE???，则上面的结论还是否成立。

证明：因为F?(F?E)?E，且(F?E)?E??，所以，mF?m(F?E)?mE。又mE???，所以，m(F?E)?mF?mE。 若mE???，则上面的结论不一定成立。

5、若R中的区间为可测集，则R中的开集为可测集。

证明：由R中开集的结构得，R中的开集或为空集，显然是可测集；或为至多可数个互不相交的开区间的并集，而区间是可测集，至多可数个可测集的并集还是可测集，所以，它还是可测集。综上所述，结论成立。

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