解：由高斯定理求得两球壳间的场强为 E?q4??0r2 ?R1?r?R2? 2分
方向沿半径指向内球壳．电子在电场中受电场力的大小为 F?eE?eq 2分 4??0r2R2方向沿半径指向外球壳．电子自内球壳到外球壳电场力作功为
A??RFdr?1R2eq4??0?R1eqdr?4??0r2由动能定理
eq?R2?R1?1mev2? 2分 24??0R1R2eq?R2?R1?＝1.983107 m/s
2??0R1R2me?11?eq?R2?R1????? 2分 ?R?4??0R1R2?1R2?得到 v?第十四章 静电场中的导体
1、厚度为d的“无限大”均匀带电导体板两表面单位面积上电荷之和为? ．试求图示离左板面距离为a的一点与离右板面距离为b的一点之间的电势差．
?1adb2解：选坐标如图．由高斯定理，平板内、外的场强分布为：
E = 0 (板内)
? Ex???/(2?0) (板外) 2分
a1、2两点间电势差 U1?U2??Exdx b 2
121d?d/2 ??(a?d/2)???dx?2?0b?d/2d/2??dx 2?0Ox
??(b?a) 3分 2?02、半径分别为 1.0 cm与 2.0 cm的两个球形导体，各带电荷 1.0310-8 C，两球相距很远．若用细导线将两球相连接．求(1) 每个球所带电荷；(2) 每球的电势．(
解：两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响．球上电荷均匀分布．设两球半径分别为r1和r2，导线连接后的电荷分别为q1和q2，而q1 + q1 = 2q，则两球电
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1?9?109N?m2/C2) 4??0q1 q势分别是 U1?， U2?2 2分
4??0r14??0r2两球相连后电势相等， U1?U2，则有
q1q2q1?q22q??? 2分 r1r2r1?r2r1?r2r2q?6.67?10?9C 1分 由此得到 q1?1r1?r2r2q?13.3?10?9C 1分 q2?2r1?r2q两球电势 U1?U2?1?6.0?103 V 2分
4??0r1
3、如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求：
(1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O点处的总电势．
解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+Q．
2分
(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的 距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为
U?q?QraqOb ?dq4??0a??q 2分 4??0a (3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点
产生的电势的代数和 2分 UO?Uq?U?q?UQ?q
?qqQ?qq111Q??(??)? ? 2分 4??0r4??0a4??0b4??0rab4??0b4、半径分别为R1和R2 (R2 > R1 )的两个同心导体薄球壳，分别带有电荷Q1和Q2，今将内球壳用细导线与远处半径为r的导体球相联，如图所示, 导体球原来不带电，试求相联后导体球所带电荷
R2OR1rq．
解：设导体球带电q，取无穷远处为电势零点，则
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导体球电势： U0?q 2分 4??0rQ?qQ2?内球壳电势： U1?1 2分 4??0R14??0R2
Q?qQ2q?1? 2分 4??0r4??0R14??0R2r(R2Q1?R1Q2)解得 q? 2分
R2(R1?r)二者等电势，即
第十五章 静电场中的电解质
1. 一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R1 = 2 cm，R2 = 5 cm，其间充满相对介电常量为?r 的各向同性、均匀电介在电压U = 32 V的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 点的电场强度和A点与外筒间的电势差．
解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+?和??, 根可求得两
R2质．电容器接
?rR1RA3.5 cm处的A
据高斯定理
U?圆筒间任一点的电场强度为 E? 2 分
2??0?rr??R2?drR??ln2 则两圆筒的电势差为 U??E?dr??2??0?rr2??0?rR1R1R1R2解得 ??2??0?rU 3分 R2lnR1于是可求得Ａ点的电场强度为 EA?U
RlnR(2/R1)R = 998 V/m 方向沿径向向外 2分
R22UdrA点与外筒间的电势差： U???Edr? ?lnR(2/R1)RrR ?RUln2 = 12.5 V 3分
ln(R2/R1)R2.一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E0= 200 KV/cm．试求该电容器可能承受的最高电压． (自然对数的底e = 2.7183)
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解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为?，则电容器两极板之间的场强分布
为 E??/(2??r) 2分
设电容器内外两极板半径分别为r0，R，则极板间电压为
??R U??E?dr??rrR?R?dr?ln 2分 2??r2??r0电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E0时电容器击穿，这时应有
??2??r0E0
U?r0E0lnR r0 2分
适当选择r0的值，可使U有极大值，即令
dU/dr0?E0ln(R/r0)?E0?0
得 r0?R/e 2分
显然有
d2Udr02< 0， 故当 r0?R/e 时电容器可承受最高的电压
Umax?RE0/e = 147 kV 2分
第十六章 磁场和它的源
1、已知半径为R的载流圆线圈与边长为a的载流正方形线圈的磁矩之比为
2∶1，且载流圆线圈在中心O处产生的磁感应强度为B0，求在正方形线圈中心O＇处的磁感强度的大小．
解：设圆线圈磁矩为pm1，方线圈磁矩为pm2，则 pm1?I1?R2， pm2?I2a2
∴ I2??R2I1/(2a2) 3分
正方形一边在其中心处产生的磁感强度为 B1??0I2/(2?a)
正方形各边在其中心产生的磁感强度大小相等，方向相同，因此中心O＇处总的
22?0I22?0R2I1???磁感强度的大小为 B0 3分
?aa32RB0?I∵ B0?01， 得 I1?
?02R??(2R/a)3B0 2分 ∴ B02、假定地球的磁场是由地球中心的载流小环产生的，已知地极附近磁感强度B为 6.27310-5 T，地球半径为R =6.373106 m．?0 =4?310-7 H/m．试用毕奥－萨伐尔定律求该电流环的磁矩大小．
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