习题9
9.1选择题
(1) 正方形的两对角线处各放置电荷Q，另两对角线各放置电荷q，若Q所受到合力为零，则Q与q的关系为：（）
3/23/2
（A）Q=-2q (B) Q=2q (C) Q=-2q (D) Q=2q
[答案：A]
(2) 下面说法正确的是：（）
（A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有电荷；
（B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。
[答案：D]
(3) 一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（） （A）σ/ε0 （B）σ/2ε0 （C）σ/4ε0 （D）σ/8ε0
[答案：C]
(4) 在电场中的导体内部的（）
（A）电场和电势均为零； （B）电场不为零，电势均为零；
（C）电势和表面电势相等； （D）电势低于表面电势。
[答案：C]
9.2填空题
(1) 在静电场中，电势不变的区域，场强必定为 。
[答案：相同]
(2) 一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为 ，若将点电荷由中心向外移动至无限远，则总通量将 。
[答案：q/6ε0, 将为零]
(3) 电介质在电容器中作用（a）——（b）——。
[答案：(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命]
(4) 电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比 。
[答案：5：6] 9.3 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题9.3图示
(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷 解得 q???3q 3 (2)与三角形边长无关．
题9.3图 题9.4图
9.4 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹
角为2?,如题9.4图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．
解: 如题9.4图示
解得 q?2lsin?4??0mgtan? 9.5 根据点电荷场强公式E??q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，
这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解: E?q4π?0r2?r0仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是
错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 9.6 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=
q24??0d2,又有人说，因为f=qE,E?q，所以?0Sq2．试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少?f=?0S
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E?q看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的?0Sqq2电场为E?，另一板受它的作用力f?q，这是两板间相互作用的电场力． ?2?0S2?0S2?0Sq9.7 长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m-1的正电荷．试求：(1)
在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强．解： 如题9.7图所示
(1) 在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点
dEP?1?dx 24π?0(a?x)
产生场强为
?EP??dEP?4π?0?l2l?2dx 题9.7图 2(a?x)用l?15cm，??5.0?10?9C?m?1, a?12.5cm代入得
EP?6.74?102N?C?1方向水平向右
(2)同理
dEQ?1?dx 方向如题9.7图所示 224π?0x?d2
由于对称性?dEQxl??0，即EQ只有y分量，
1?dx?4π?0x2?d22d2x?d222∵ dEQy
以??5.0?10?9C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得
EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向
9.8 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强． 解: 如9.8图在圆上取dl?Rd?
题9.8图
dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为
dE??Rd?方向沿半径向外
4π?0R2则 dEx?dEsin??积分Ex??0??sin?d?
4π?0R??sin?d?? 4π?0R2π?0R?，方向沿x轴正向． 2π?0R∴ E?Ex?9.9 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E．
?q解: 如9.9图示，正方形一条边上电荷在P点产生物强dEP方向如图，大小为
4∵ cos?1?l2r2?l22
∴ dEP??4π?0r2?l42lr2?l22
?dEP在垂直于平面上的分量dE??dEPcos?
∴ dE??题9.9图
?l4π?0r2?l42rr2?l22r2?l42
由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为 ∵ ??∴ EP?qr4π?0(r2?ll)r2?4222q 4l 方向沿OP
9.10 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?
??q 解: (1)由高斯定理?E?dS?
s?0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量?e?q． 6?0(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长
2a的正方形上电通量?e?q 6?0q， 24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?如果它包含q所在顶点则?e?0．
如题9.10图所示． 题9.10 图
9.11 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10?5C·m-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强．
解: 高斯定理?E?dS??,E4πr2??
s?0?0??qq?当r?5cm时，?q?0,E?0
r?8cm时，?q?p4π33(r ?r内) 3?∴ E?4π32r?r内3?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外． 24π?0r??r?12cm时,?q??4π33(r外?r内 ）3