昆明理工大学试卷（历年试题）

考试科目： 概率统计B(48学时) 考试日期： 命题教师：

2013年概率统计试题

一、填空题（每小题4分，共40分）

1.设A,B,C为三个事件，则A,B,C中至少有两个发生可表示为 。

1112.已知p(A)?，p(A|B)?，p(B|A)?，则p(A?B)? 。

423113.设事件A,B互不相容，且p(A)?，p(B)?，则p(AB)= 。

234．进行独立重复实验，设每次成功的概率为p,失败的概率为1?p,将实验进行到出现一次成功为止，以X表示实验次数，则p(X?k)= 。

0)= 。5．已知随机变量X服从参数??2的泊松分布，即X?P(2)，则p(X? 6．已知随机变量X?N(?2,1)，Y?N(2,1)且X,Y相互独立，则2X?Y服从的分布是 。

7．若随机变量X满足E(X)??1,D(X)?2,则E(3X2?1)= 。

21?1?18．设X1,X2是来自于总体X的样本，?1?X1?X2，?2?X1?X2为总体均值?3322??的无偏估计，则?1,?2中较有效的是 。

9．设X1,X2?,Xn为来自总体N(?,?2)的一个样本，?2已知，则

?(Xi?1ni?X)22?服从的分布是 ，

?(Xi?1ni??)22?服从的分布是 。

10．设X1,X2?,Xn为来自总体N(?,?2)的一个样本，?2未知，则?的1??的置信区间是为 。

一、 填空题（每小题4分，共40分）

111．AB?BC?AC 2. 3. 4. p(X?k)=(1?p)k?1p k?1,2,?

32?5. e?2 6.N(?6,5) 7. 8 8. ?2 9. ?2(n?1),?2(n)

10. (x_sst?2(n?1),x?t?2(n?1)) nn二、(10分)某保险公司把被保险人分为三类：谨慎的、一般的、冒失的，统计资料表

明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30。如果谨慎的占总的被保人数的20%，一般的占50%，冒失的占30%，(1)求某被保人在一年内发生事故的概率；(2)若此人在一年内发生事故，则他是谨慎的客户的概率是多少。 解. 设事件B为 “被保险人在一年内出了事故” 这一事件；事件A1,A2,A3分别为“谨慎的、一般的、冒失的被保险人”，则根据全概率公式可得：

P(B)?p(B|A1)p(A1)?p(B|A2)p(A2)?p(B|A3)p(A3) 3分 =0.2×0.05+0.5×0.15+0.3×0.3=0.175 5分

P(A1|B)? =

p(B|A1)p(A1) 8分

p(B|A1)p(A1)?p(B|A2)p(A2)?p(B|A3)p(A3)0.05?0.2?0.0571 10分

0.175三、(10分)已知连续型随机变量X有分布函数：

F(x)?A?Barctanx,???x??，试求

(1)系数A,B；，(2) 求概率密度f(x)；(3) X在区间(a,b)内取值的概率。

??A?B?0??F(??)?0?2解.(1) ? ?

??F(?)?1?A?B?1??2(2) f(x)?dF(x)1?dx?(1?x2)1?A???2 3分 ?1?B????(???x??) 6分

(3) p(a?x?b)?F(b)?F(a) 8分 ? ?

1111?arctanb?(?arctana) 2?2?arctabn?aractan 10分

?

??2xe?xF(x)??四、(10分)已知连续型随机变量X的概率密度函数为：

??0求Y?X2的概率密度。 解. 显然当y?0,2x?0 x?0fY(y)?0

当y?0, FY(y)?P(Y?y) 3分 =P(X2?y)

=P(?y?X?y) =P(0?X?y) =?y02xe?xdx 7分

2fY(y)?FY'(y) =2ye?y?12y?e?yy?0 10分 y?0y?0?e?y所以： fY(y)???0

五、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下，求

(1)a，(2) 二维随机变量(X,Y)的 边缘分布律 (3) X,Y是否独立 (4) E(X)，D(X)。

Y X 1 2 0 0.15 0.15 1 a 0.35

解. (1)有概率的规范性可知，0.15?0.15?0.35?a?1

所以有：a?0.35 2分 (2)

X 1 2 Y 0 1

p 0.5 0.5 p 0.3 0.7

5分

(3) 因为 X Y 满足：

p(X?xi,Y?yj)?p(X?xi)p(Y?yj)，i?1,2

j?0,1

所以X,Y独立。 7分

(4) E(X)?1?0.5?2?0.5?1.5

22 E(X2)?1?0.?5?2?0.5 2.5 D(X)?E(X2)?E2(X)?2.5?1.52?0.25 10分

六、（10分）一工厂生产某种元件的寿命X（以小时计）服从参 数为??160,?的正态分布。

(1)若要求P?120?X?200??0.80，允许?最大为多少？ (2)若??20, P?120?X?200???(Ф?1.28??0.9,Ф?2??0.977)

120?160X?160200?160??} 解. (1)P{120

40?31.25； 5分

?1.28120?160X?160200?160??} (2)当σ=20时，P{120

20

)??(1.28) 亦 ??

七、(10分)设X1,X2?,Xn为来自于总体 X的一个样本, 总体 X的密度函数为

x|1?|?f(x)?e,2?40???x??，求参数?的极大似然估计??。

解

L(?)??f(xi,?) 2分

i?1nn??i?11e2??|xi|??1????e?2??n???ii?1n|x|??0 5分

lnL(?)??nln2??|x| 7分 ??ii?11n