【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案． 【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ， ∵AB∥CF，

∴BM＝BC×sin30° 5 ， CM＝BC×cos30°＝15，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5 ，

∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ． 故答案是：15﹣5 ．

【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答． 三、解答题（本大题6小题，共80分） 21．（12分）（1）计算：| |+（﹣1）（2）解方程：1

【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）原式 1 1＝﹣1； （2）去分母得：2x+2﹣x+3＝6x， 解得：x＝1，

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2019

+2﹣（π﹣3）；

﹣10

经检验x＝1是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 22．（12分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．

（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；

（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP （90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．

【分析】（1）由PC为圆O的切线，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BCP＝∠A，由∠A的度数求出∠BCP的度数，进而确定出∠P的度数，再由PB＝BC，AB＝2BC，等量代换确定出PB与PA的关系即可；

（2）由三角形内角和定理及圆周角定理即可确定出两角的关系． 【解答】解：（1）∵AB是直径 ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝30°， ∴AB＝2BC ∵PC是⊙O切线 ∴∠BCP＝∠A＝30°， ∴∠P＝30°， ∴PB＝BC，BC AB， ∴PA＝3PB

（2）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B， ∴∠BCP＝∠A，

∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°， ∴2∠BCP＝90°﹣∠P，

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∴∠BCP （90°﹣∠P）

【点评】本题考查了切线的性质，内角和定理，圆周角定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

23．（14分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两封；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：

（1）此次抽样调查了 500 名学生，条形统计图中m＝ 225 ，n＝ 25 ； （2）请将条形统计图补全；

（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有 425 封；

（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？

【分析】（1）由B选项人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数乘以对应百分比可得m、n的值；

（2）先求出C选项的人数，继而可补全图形； （3）各选项次数乘以对应人数，再求和即可得； （4）利用样本估计总体思想求解可得．

【解答】解：（1）此次调查的总人数为150÷30%＝500（人）， 则m＝500×45%＝225，n＝500×5%＝25， 故答案为：500，225，25；

（2）C选项人数为500×20%＝100（人）， 补全图形如下：

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（3）1×150+2×100+3×25＝425，

答：接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有425封， 故答案为：425；

（4）由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有110000×（1﹣45%）＝60500（名）．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

24．（14分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表： x（元） y（袋） 15 25 20 20 30 10 … … 若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：

（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？

【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可

（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可． 【解答】解：

（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b得

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