点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．

小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：

x/m 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 y/m

2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3

请你通过计算，补全表格；

（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．

3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10

3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： 0≤x≤1.25时，y随x最大而减小，

当1.25＜x≤4.10时，y随x最大而增大 ．

（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是 2.68或7.45 cm．（保留两位小数）．

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【分析】（1）①当x＝BM＝0时，则y＝MN＝BN＝则y＝MN＝MDtanα，即可求解；

＝3；②MD2＝HD2+EH2＝

，

（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势； （3）MN＝2BM，即y＝2x，在上图中作直线y＝2x，即可求解． 【解答】解：（1）①当x＝BM＝0时， 连接AD，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，

cos∠ABD＝

＝＝cosα，则sinα＝

，

则y＝MN＝BN＝②x＝BM＝，

＝3；

在△MBD中，BD＝4，BM＝， cos∠B＝＝cosα，tanα＝过点M作MH⊥BD于点H，

，

则BH＝BMcosα＝MD2＝HD2+EH2＝则BD2＝BM2+MD2， 故∠BMD＝90°，

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，则EH＝，

，

则y＝MN＝MDtanα＝（DBsinα）tanα＝故：答案为3，

；

；

（2）描点出如下图象，

从图象可以看出：0≤x≤1.25时，y随x最大而减小， 当1.25＜x≤4.10时，y随x最大而增大； （3）MN＝2BM，即y＝2x， 在上图中作直线y＝2x，

直线与曲线交点的纵坐标为：2.68和7.45， 故答案为：2.68或7.45．

【点评】本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难点于，弄懂x、y代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据． 27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】

如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE． 我们把这个数学模型成为“K型”． 推理过程如下：

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【模型应用】

如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO?GB．

【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为⊙O直径，故只需证AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC＝90°和∠DAE＝∠ABC可证得∠DAE+∠BAC＝90°，而E、A、C在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD＝90°，得证． （2）依题意画出图形，由要证的结论FG2＝GO?GB联想到对应边成比例，所以需证△FGO∽△BGF．其中∠FGO＝∠BGF为公共角，即需证∠FOG＝∠BFG．∠BFG为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC后有∠BFG＝∠BOC，问题又转化为证∠FOG＝∠BOC．把DO延长交BC于点H后，有∠FOG＝∠BOH，故问题转化为证∠BOH＝∠BOC．只要OH⊥BC，由等腰三角形三线合一即有∠BOH＝∠BOC，故问题继续转化为证DH∥CE．联系【模型呈现】发现能证△DEA≌△ACB，得到AE＝BC＝2，AC＝DE＝1，即能求AD＝AB＝

．又因为O为AB中点，可得到

，再加上第（1）

题证得∠BAD＝90°，可得△DAO∽△AED，所以∠ADO＝∠EAD，DO∥EA，得证． 【解答】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆

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