等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

ex21.已知函数f?x??2．

x?2mx?1（1）若m?(?1,1)，求函数f?x?的单调区间；

?1?m?（2）若则当x?[0,2m?1]时，函数y?f?x?的图象是否总在不等式y?x所?0,?，

?4?表示的平面区域内，请写出判断过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

（2）将原问题进行等价转化，分别考查所构造函数的最大值和最小值即可判定题中的结果是否成立.

【详解】（1）解：∵m?(?1,1)，∴??4m2?4?0，∴y?x?2mx?1?0恒成立， ∴函数定义域为R,

2f?(x)?ex?x2?2mx?1??ex(2x?2m)?x2?2mx?1?，

2?2ex?x??(2m?2)x?2m?1???x2?2mx?1?2?ex(x?1)(x?2m?1)?x2?2mx?1?2①当m?0时，即2m?1?1，此时f?(x)…0，f(x)在R上单调递增， ②当0?m?1时，即1?2m?1?3，

x?(??,1)时，f?(x)?0，f(x)单调递增， x?(1,2m?1)时，f?(x)?0，f(x)单调递减， x?(2m?1,??)时，f?(x)?0，f(x)单调递增；

③?1?m?0时，即?1?2m?1?1时，

x?(??,2m?1)，f?(x)?0，f(x)单调递增，

x?(2m?1,1)时，f?(x)?0，f(x)单调递减， x?(1,??)，f?(x)?0，f(x)单调递增，

综上所述，①m?0时，f(x)在R上递增，

②0?m?1时，f(x)在(??,1)和(2m?1,??)上递增，在(1,2m?1)上递减； ③?1?m?0时，f(x)在(??,2m?1)和(1,??)上递增，在(2m?1,1)上递减. （2）当m??0,?时，由（1）知f(x)在[0,1]递增，在[1,2m?1]递减，

4??1??令g(x)?x，则g(x)在R上为增函数，

函数y?f(x)的图象总在不等式y?x所表示的平面区域内，等价于函数f(x)图象总在

g(x)图象的上方，

①当x?[0,1]时，f(x)min?f(0)?1，g(x)max?g(x)?1， 所以函数f(x)图象在g(x)图象上方； ②当x?[1,2m?1]时，函数f(x)单调递减，

2m?1e所以f(x)最小值为f(2m?1)?，g(x)最大值为g(2m?1)?2m?1，

2m?2所以下面判断f(2m?1)与2m?1的大小，

e2m?1即判断与2m?1的大小，

2m?2因为m??0,?，所以即判断e2m?1与(2m?1)(2m?2)的大小，

4??1??令x?2m?1，∵m??0,?，.∴x??1,?，

42??1???3???即判断ex与x(x?1)x大小，作差比较如下：

?3?xx?令u(x)?e?x(x?1)，?1,?，则u?(x)?e?2x?1，

?2?令h(x)?u?(x)，则h?(x)?e?2，

x因为x??1,?，所以h?(x)?0恒成立，u?(x)在x??1,?上单调递增；

22?3????3????3?又因为u?(1)?e?3?0，u????e2?4?0，

?2??3?xx?所以存在0?1,?，使得u??x0??e0?2x0?1?0，

?2?所以u(x)在?1,x0?上单调递减，在?x0,?上单调递增，

23??3??222u?x0??e0?x0?x0?2x0?1?x0?x0??x0?x0?1， 所以u(x)…x因为二次函数v(x)??x?x?1的图象开口向下，其对称轴为x?所以v(x)??x?x?1在?1,?上单调递减..

2221， 2?3???931?3??3?vx?v????1??0， x?1,??因为0?时，0???424?2??2?u?x0??v?x0??0，即ex?(1?x)x，也即f(2m?1)?2m?1， 所以u(x)…所以函数f(x)的图象总在直线y?x上方，

所以函数y?f(x)的图象总在不等式y?x所表示的平面区域内

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

?x?1?cos?22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为? （?为参数），以O为极点，

y?sin???3?x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为??sin??cos???3??1．

??（1）求C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）射线???1??1??????????,??与圆C的交点为O，M，与直线l的交点为N，求?63??OM?ON的取值范围．

【答案】（1）圆C的极坐标方程为??2cos?.直线l的直角坐标方程为x?（2）[1,3] 【解析】 【分析】

(1)首先化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得C的极坐标方程，展开三角函数式可得l的普通方程；

(2)利用极坐标方程的几何意义，将原问题转化为三角函数求值域的问题，据此整理计算可得OM?ON的取值范围．

【详解】（1）圆C的普通方程是(x?1)?y?1，

223y?1?0.3(?cos??1)2??2sin2??1，将x??cos?，y??sin?代入上式：化简得：??2cos?，

所以圆C的极坐标方程为??2cos?. 直线l的极坐标方程为????3?sin??cos???1，

??3?3y?1?0， 3将x??cos?，y??sin?代人上式，得：x?∴直线l的直角坐标方程为x?3y?1?0. 3（2）设M??1,?1?，因为点M在圆C:??2cos?上，则有?1?2cos?1，

1?3??2?设N??2,?1?，因为点N在直线l:??则有， 3?3sin??cos????1，sin??cos?11??3